概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第3章多維隨機(jī)變量及其分布習(xí)題及答案

1、第三章多維隨機(jī)變量及其分布、填空題1、隨機(jī)點(diǎn)（X,Y）落在矩形域x1 x x2, y1 y y2的概率為F(x2,y2) F(x2,yj Fj.yj F(Xi, y2).2、（X,Y）的分布函數(shù)為F(x, y),F(,y)0 .3、（X,Y）的分布函數(shù)為F(x, y),F(x0,y) F(x,y)4、（X,Y）的分布函數(shù)為F(x, y),F(x,)Fx(x)5、設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為f(x, y)k(6 x y) 0 x 02.2 y其它（X,Y）的分布如下，寫出其邊緣分布6、隨機(jī)變量7、設(shè)f （x, y）是X,Y的聯(lián)合分布密度,fX（x）是X的邊緣分布密度,fX（X）8、二維正態(tài)隨

2、機(jī)變量（X,Y）, X和Y相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù)9、如果隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合概率分布為應(yīng)滿足的條件是口B 若X與Y相互獨(dú)立，則-18-一 18一10、設(shè)X,Y相互獨(dú)立,X N(0,1), Y N(0.1),則(X,Y)的聯(lián)合概率密度f(wàn)(x, y)Y的概率密度f(wàn)z(Z)、2 2ex2 3413C：PX 0,Y 0 7 PX 0,Y 1 33 PX 0,Y 2 C30.y12、設(shè)（F x,y二、證明和計(jì)算題1、袋中有三個(gè)球,分別標(biāo)著數(shù)字1,2,2 ,從袋中任取一球，不放回,再取一球，設(shè)第一次取的上標(biāo)的數(shù)字為X ,第二次取的球上標(biāo)的數(shù)字 Y ,求（X,Y）的聯(lián)合分布律1 -解：PX 1,Y 1

3、 - 0311PX 1, Y 2 - 1 332 11PX 2,Y13 232、三封信隨機(jī)地投入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)信箱中，設(shè)X為投入1號(hào)信箱的信數(shù),Y為投入2號(hào)信箱的彳t數(shù)，求（X,Y）的聯(lián)合分布律解：X的可能取值為0,1,2,3Y的可能取值為0,1,2,3333PX0,Y3133PX1,Y0333PX1,Y1)PX1,Y2)PX1,Y3)PX2,Y0)C3233PX2,Y1)3)PX3,Y3、設(shè)函數(shù) F(x , y)=PX2)PX2,Y2,Y3,Y 3)2y1x某02331量的聯(lián)解：數(shù)并說(shuō)明理由0)F(x , y)因P0隨機(jī)變2,0 <1)=F(2 , 1)F(0 ,1)F(2 ,

4、0)+ F(0 ,F(x , y)量的2g(. x24、設(shè) g(x) 0,且 0 g(x)dx 1,有 f (x, y)合分y2),0 x, y0,其它證明：f (x, y)可作為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。證明：易驗(yàn)證 f(x,y) 0,又f (x, y)dxdy2g('.x2 y2)dxdy血rdr0 rg(r)dr 12萬(wàn)d0符合概率密度函數(shù)的性質(zhì)，可以是二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。5、在0,上均勻地任取兩數(shù)X與Y,求Pcos( X Y) 0的值解：f(x, y)1 ct ,0 x, y2, Pcos( X0,其它Y) 0=P X26、設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為

5、f (x, y)(3x 4y)ke x 0, y0 其它確定常數(shù)k (2)求(X,Y)的分布函數(shù)求 P0 X 1, 0Y 2解:0ke(3x4y)dx 14yxe dy03x edxk104yl e o 4 F(x, y)x12e0(3u4v)一dudv 121 3x. 3e (112(1 e3x)(14y)F(x,y)P01, 0 Y2F(1,2) F(0,0)(1 e3)(1e 8) 00.950217、設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)xy/3 0 x 1, 0其它解：PX Y 1f(x,y)dxdyx y 11dx0k123x)(1F(1,0)H 4x2 5x3)dx 650

6、 236724y)F(0,2)k 12求 PX Y 1(x2 ：)dy3X ,Y是否獨(dú)立8、設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)在矩形區(qū)域D (x, y)|a x b, c y d內(nèi)服從均勻分布,(1)求聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度.(2)問(wèn)隨機(jī)變量解：(1)根據(jù)題意可設(shè)(X,Y)的概率密度為fx (x)M f(x,y) 0f (x, y)dxdy(b a)(d c)f (x, y)dy即 fx (x)fY(y)f (x, y)dx即 fY(y)1/(d0c)(2)因?yàn)?f(x,y)a x b, c y d其它ddx dycf(x,y)dy其它M (b a)(d1/(ba)(d 0(b a)(d c)b dxa

7、 (b a)(d c)c y d其它c(diǎn))c)x b, c其它fx(x) fy(y),故x與Y是相互立的.1 39、隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x, y)x 3 y 3 x0,0, y其它0求:(1)邊緣密度；(2)驗(yàn)證X,Y是否獨(dú)立。解：(1)F(x,y)/ x ln3 (3 x 3 x y),2F(x, y).,ln 2x 0, y 0.ln23 3 xy x0, 0yf (x, y).、0其它一、ln23 3 x ydy ln3 3 x x 0fx(x)0"0其它一、ln2 3 3 x ydx ln3 3 y ,y 0fY (x)0, y0其它(2)因?yàn)?f(x, y)fx

8、（x）fy（y）,故x與y是相互獨(dú)立的10、一電子器件包含兩部分，分別以X,Y記這兩部分的壽命（以小時(shí)記），設(shè)（X,Y）的分布函數(shù)為F(x, y)(1)問(wèn)X和Y是否相互獨(dú)立解：(1) Fx(x) F(x,)FY(y)F( ,y)易證 FX(x)FY(y) F(x(2)由(1) X,Y相互獨(dú)立PX 120, Y 120 PX1 Fx(120)1 Fy(120)11、設(shè)隨機(jī)變量(，)的分(1 )系數(shù)A , B及C的值，(2 )0.01y0.01(x y)e ex01(2)并求 PX 120, Y0.01 x1 e x 00 x 00.01y1 ey y 00 y0y),故x,y相互獨(dú)立.120 P

9、Y 120 124e 240,091布函數(shù)為F(x , y)(,)的聯(lián)合0, y 0它120PX 120 1 PY 120A(B arctgx)(C arctg')求: 23率密度 (x , y)。解：（1 ） F（)A(B -)(C -) 1F( ,) A(B -)(C -) 0F()A(B -)(C -) 0，一1 f -由此解得Ar B C _226( 2 )(x，y)2 /2T77.27(4 x )(9 y )12、設(shè)(X,Y)相互獨(dú)立且分別具有下列表格所定的分布律11X210-Y13221111c111Pkp -1k 43123244試寫出(X,Y)的聯(lián)合分布律解：13、設(shè)X

10、,Y相互獨(dú)立，且各自的分布律如下:X12Y12Pk11Pk112222求Z X Y的分布律.解：PX kPkk 0,1,2,PY q0,1,2,Z X Y 的分布律為 PZ i Pkqi k i 0,1,2,Z的全部取值為2,3,4，、，1 11PZ 2 PX 1,Y 1 PX 1PY 12 24PZ 3 PX 1,Y 2 PX 2,Y 1PX 1 PYPZ 4 PX2 PX2,Y 22 PY 1PX 2PY 21 12 21 12 2121414、X,Y相互獨(dú)立，其分布密度函數(shù)各自為fX(X)1 -xe2x 020x 0fY(y)1m c e3y 030y0求Z X Y的密度函數(shù)解：Z X Y的密度函數(shù)為f