傳染病模型數(shù)學建模論文(2)

1、甲型H1N1流感傳播模型研究摘要本文采用了 SIR模型對的甲型hlnl流感病毒的傳播規(guī)律進行了研究和預測，文章收集了美國地區(qū)的甲流實驗室確認病例數(shù)量的數(shù)據(jù)，對模型進行了驗證，并提出了如何降低流感在人群中發(fā)病率的倆種可靠方法。一、問題重述近年來由墨西哥發(fā)端的甲型hlnl型流感（又稱豬流感）正成為人們關(guān)注的 焦點，通過相關(guān)網(wǎng)站獲得數(shù)據(jù)，建立一個模型對甲型hlnl流感的走勢進行預測。二、問題分析甲型hlnl流感的傳播是一道傳染病問題。在數(shù)學建模領(lǐng)域已經(jīng)有很多關(guān)于 這方面的研究，其中SIR模型是比較完整的模型。SIR模型通過建立微分方程組, 按照一般的傳播機理建立集中模型。本文選取美國地區(qū)的甲流實驗室

2、確認病例數(shù) 量，建立SIR模型，對甲型hlnl流感的傳播規(guī)律進行預測。美國甲型H1N1流感實驗室確認病例數(shù)量:時間確診（包括死亡病例）死亡（累計）4月23日504月24日804月25日1104月26日20104月27日4004月28日6404月29日91104月30日10915月1日14115月2日160r 15月3日22615月4日27915月5日403r 15月6日64225月7日89625月8日1639回5月9日225425月10日253235月11日2600回5月12日300935月13日335245月14日429845月15日47144三、建立模型(一)、不考慮潛伏期的數(shù)學模型1、模

3、型假設(shè)(1)、在甲型H1N1流感傳播期內(nèi)，美國境內(nèi)的總?cè)藬?shù)為N億不變，既不考慮生死，也不考慮遷移，人群分為易感染者S,發(fā)病人群I和退出人群R(括死 亡者和治愈者)四類，時刻t內(nèi)這三類人在總?cè)藬?shù)中所占比例分別為s(t)、i(t) 、 r(t)。(2)、i(t)關(guān)于時間的增長率與s(t)成正比，比例常數(shù)為 。病人的數(shù)量減少速度與當時的病人總?cè)藬?shù)成正比，比例常數(shù)為。治愈的病人具有了免疫力，即治愈后不再會成為二次患者。(3)、s(t)、r(t)、i(t)之和是一個常數(shù) 1。2、模型構(gòu)成易感者和發(fā)病者有效接觸后成為發(fā)病者者。設(shè)每個發(fā)病者平均每天有效接觸的易感者數(shù)為 S(t), NI (t)個發(fā)病者平均每

4、天能使S(t)NI (t)個易感者成為病毒潛伏者。所以有：(1)(2)(3)等 S(t)I(t)dt單位時間內(nèi)退出者的變化等于發(fā)病人群的減少，即颯 I(t)dt發(fā)病人群的變化等于易感人群轉(zhuǎn)入的數(shù)量，即個 S(t)I(t) I(t)dt記初始時刻的健康者和病人的比例分別為 So、R0 (不妨設(shè)R=0)3、模型求解方程組(1)、(2)、(3)無法求出解析解，我們定義一個新的變量/于是可以求出方程的解為：1 s/ ,、i (So io) s ln (4)So下面分析s、i(t) 、r(t)的變化情況：a、不論初始條件&、Ro如何，病人最終將消失，即i 0。b、最終未被感染者的健康者的比例是s ,是方

5、程1 s(So io) s -ln 0 在(0,1/ )內(nèi)的根。 soG若So 1/ ，則開始有：i先增加。當So 1/時，i(t)達到最大值，然后i(t)減小且趨于零，s(t)則單調(diào)減小至s od、若& 1/ ,則i(t)單調(diào)減小至5, s(t)則單調(diào)減小至s 。我們發(fā)現(xiàn)人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率越?。会t(yī)療水平越高，日治愈率越高，于是越小，所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有利于傳染病的蔓延。結(jié)合美國的具體情況和假設(shè)條件進行分析：根據(jù)所得的數(shù)據(jù)畫出美國患病人數(shù)變化曲線和治愈人數(shù)變化曲線：根據(jù)圖形來看，甲型h1n1流感在美國呈現(xiàn)出蔓延的形式，即現(xiàn)在屬于 與1/的情況，即/1/soo由假設(shè)條件可知的取

6、值范圍在1.41.6之間。現(xiàn)在我們?nèi)?=1.6,則表示 /(1/so) 1.6,即美國每天平均治愈的人數(shù)最多為1.6人，這與美國疾病預防與控制中心所發(fā)布的數(shù)據(jù)不同。如果美國平均每天治愈1.6個人的話，那么從4月23日期，治愈的總?cè)藬?shù)為1.6*23 36.8人，這與 實際的情況相差甚遠。產(chǎn)生這個問題的原因有以下幾個方面：第一：對每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)估計值偏小。 不是簡單的成正比關(guān)系， 應該是成多次方關(guān)系，甚至是指數(shù)關(guān)系。第二：美國疾病預防與控制中心所得到的數(shù)據(jù)具有滯后性。第三：在美國so o不一定成立。可以把那些身體強壯的、注意自己個人衛(wèi)生的人排除在外。(二)、考慮潛伏期的數(shù)學模型1、

7、模型假設(shè)(1)、在甲型H1N1流感傳播期內(nèi)，美國境內(nèi)的總?cè)藬?shù)為 N億不變，既不考慮生 死，也不考慮遷移，人群分為易感染者S,病毒潛伏人群E,發(fā)病人群I和退出人 群R(括死亡者和治愈者)四類，時刻t內(nèi)這三類人在總?cè)藬?shù)中所占比例分別為st、et、it、rt。(2)、每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)為 ，稱為日接觸率，當已感染者與易 感染者有效接觸時，使易感染者變?yōu)椴《緷摲巳?，病毒潛伏人群過一段時間再 轉(zhuǎn)換成發(fā)病人群，發(fā)病人群被治愈。2、模型構(gòu)成易感者和發(fā)病者有效接觸后成為病毒潛伏者。設(shè)每個發(fā)病者平均每天有效接 觸的易感者數(shù)為(t)S(t), NI (t)個發(fā)病者平均每天能使 S(t)NI個易感者成 為病毒潛伏者。所以有N吧D(t)S(t)NI(t)化簡得：dt病毒潛伏人群的變化等于易感人群轉(zhuǎn)入數(shù)量減去轉(zhuǎn)化為發(fā)病人群的數(shù)量，即 其中(t)表示潛伏期日發(fā)病率，即每個潛伏者平均有效發(fā)病的人數(shù)。單位時間內(nèi)退出者的變化等于發(fā)病人群的減少，即其中(t)表示日退出率，即每個病人平均有效病情結(jié)束的人數(shù)。發(fā)病人群的變化等于潛伏人群轉(zhuǎn)入的數(shù)量，即初始時刻易感染者，已感染者與病愈免疫者的比例分別是3、模型求解由于潛伏期的人群數(shù)量不能確定，所以可視為是易感人群的一部分，因此求 解過程跟忽略潛伏期的一樣。四、模型的改進就如何確定日接觸率 的值。就如何確定日接觸率可以進行改進， 根據(jù)以前 的流感疫情治