反比例函數(shù)導(dǎo)學(xué)案

1、26.1反比例函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、理解反比例函數(shù)的定義；2、用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的表達(dá)式；3、反比例函數(shù)的圖象畫法，反比例函數(shù)的性質(zhì)； 【重點(diǎn)難點(diǎn)】1、 用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的表達(dá)式；2、 反比例函數(shù)的圖象畫法，反比例函數(shù)的性質(zhì)；知識(shí)概覽圖 反比例函數(shù)的定義反比例函數(shù) 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)新課導(dǎo)引【生活鏈接】學(xué)校課外生物小組的同學(xué)準(zhǔn)備自己動(dòng)手，用圍欄建一個(gè)面積為24m2的矩形飼養(yǎng)場(chǎng)（如右圖所示），設(shè)它的一邊長(zhǎng)為x(m)，求另一邊長(zhǎng)y(m)與x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式.【問(wèn)題探究】這個(gè)函數(shù)有什么特點(diǎn)?自變量的取值有什么限制?教材精華知識(shí)點(diǎn)1反比例函數(shù)的定義 重點(diǎn);

2、理解一般地,形如(k為常數(shù),k0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù),其中x是自變量,y是函數(shù),自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù),y的取值范圍也是不等于0的一切實(shí)數(shù),k叫做比例系數(shù),另外,反比例函數(shù)的關(guān)系式也可寫成y=kx-1的形式.y是x的反比例函數(shù)(k0) xy=k(k0) 變量y與x成反比例,比例系數(shù)為k.拓展 (1)在反比例函數(shù)(k0)的左邊是函數(shù)y,右邊是分母為自變量x的分式,也就是說(shuō),分母不能是多項(xiàng)式,只能是x的一次單項(xiàng)式,如,等都是反比例函數(shù),但就不是關(guān)于x的反比例函數(shù).(2)反比例函數(shù)可以理解為兩個(gè)變量的乘積是一個(gè)不為0的常數(shù),因此可以寫成y=kx-1或xy=k的形式.(3)反比例函數(shù)

3、中,兩個(gè)變量成反比例關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)2用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的表達(dá)式 難點(diǎn):運(yùn)用由于反比例函數(shù)中只有一個(gè)待定系數(shù),因此只要有一對(duì)對(duì)應(yīng)的x,y值,或已知其圖象上一點(diǎn)坐標(biāo),即可求出k,從而確定反比例函數(shù)的表達(dá)式.其一般步驟:(1) 設(shè)反比例函數(shù)關(guān)系式(k0).(2) 把已知條件(自變量和函數(shù)的對(duì)應(yīng)值)代入關(guān)系式,得出關(guān)于k的方程.(3) 解方程,求出待定系數(shù)k的值.(4) 將待定系數(shù)k的值代回所設(shè)的關(guān)系式,即得所求的反比例函數(shù)關(guān)系式.知識(shí)點(diǎn)3反比例函數(shù)圖象的畫法 難點(diǎn);運(yùn)用反比例函數(shù)圖象的畫法是描點(diǎn)法,其步驟如下:(1)列表:自變量的限值應(yīng)以0為中心點(diǎn),沿0的兩邊取三對(duì)(或三對(duì)以上)相反數(shù),分別計(jì)

4、算y的值.(2)描點(diǎn):先描出一側(cè),另一側(cè)可根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)去找.(3)連線:按從左到右的順序用平滑的曲線連接各點(diǎn),雙曲線的兩個(gè)分支是斷開的,延伸部分有逐漸靠近坐標(biāo)軸的趨勢(shì),但永遠(yuǎn)不能與坐標(biāo)軸相交.說(shuō)明:在圖象上注明函數(shù)的關(guān)系式.拓展 (1)反比例函數(shù)的圖象是雙曲線,它有兩個(gè)分支,它的兩個(gè)分支是斷開的.(2)當(dāng)k0時(shí),兩個(gè)分支位于第一、三象限；當(dāng)k0時(shí)，兩個(gè)分支位于第二、四象限.(3)反比例函數(shù)(k0)的圖象的兩個(gè)分支關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(4)反比例函數(shù)的圖象與x軸、y軸都沒(méi)有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交，這是因?yàn)閤0，y0.知識(shí)點(diǎn)4反比例函數(shù)(k0)的性質(zhì) 難點(diǎn)；靈

5、活應(yīng)用(1)如圖17-2所示，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，反比例函數(shù)的圖象是由兩支曲線組成的.當(dāng)k0時(shí)，兩支曲線分別位于第一、三象限內(nèi)；當(dāng)k0時(shí)，兩支曲線分別位于第二、四象限內(nèi)。它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，限圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形. (2)由反比例函數(shù)的圖象可知，當(dāng)k0時(shí)，在每一象限內(nèi)，y值隨x的增大而減??；當(dāng)k0時(shí)，在每一象限內(nèi)，y值隨x的增大而增大. (3)因?yàn)閤0，所以圖象與y軸不可能有交點(diǎn)，國(guó)此，不論x取值何值時(shí)，y的值永不為0，同理，圖象與x軸也不可能有交點(diǎn). 拓展 (1)反比例函數(shù)圖象的位置和函數(shù)的增減性都是由比例系數(shù)k的符號(hào)決定的，反過(guò)來(lái)，由雙曲線所在的位置或函數(shù)的增減性，

6、也可以判斷出k的符號(hào). (2)反比例函數(shù)的增減性，只能在每個(gè)象限內(nèi)討論，當(dāng)k0時(shí)，在每一象限(第一、三象限)y隨著x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說(shuō)：當(dāng)k0，y隨著x的增大而減小.同樣當(dāng)k0時(shí)，也不能籠統(tǒng)地說(shuō)：y隨x的增大而增大. 【規(guī)律方法小結(jié)】正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.函數(shù)正比例函數(shù)反比例函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx(k0)(k0)圖象過(guò)原點(diǎn)的直線與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)的雙曲線自變量的取值范圍全體實(shí)數(shù)x0的全體實(shí)數(shù)圖象位置當(dāng)k0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限當(dāng)k0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限當(dāng)k0時(shí)，圖象在第一、三象限當(dāng)k0時(shí)，圖象在第二、四象限性質(zhì)當(dāng)k0時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)k0時(shí)，y隨x的增大而減小當(dāng)k

7、0時(shí)，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小當(dāng)k0時(shí)，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大知識(shí)點(diǎn)5 反比例函數(shù)表達(dá)式中k的幾何意義 拓展；理解 如圖17-3所示，過(guò)雙曲線上的任意一點(diǎn)P(x,y)作x軸、y軸的垂線PM，PN，垂足分別為M，N，所得矩形PMON的面積S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|.因?yàn)椋詘y=k，所以S=|xy|=|k|.即過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積為|k|.已知反比例函數(shù)可求矩形面積，反之，已知矩形面積可求反比例函數(shù).課堂檢測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用題1、若變量y與x成正比例變量x與z成反比例，則 ( )A.y與z成反比例函數(shù)關(guān)系 B.y與

8、z成正比例函數(shù)關(guān)系C.y與z2成正比例函數(shù)關(guān)系 D.y與z2成反比例函數(shù)關(guān)系2、已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2，4)，則它的表達(dá)式是 .綜合應(yīng)用題3、已知正比例函數(shù)y=kx和反比例函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)A(m，1).求此正比例函數(shù)的關(guān)系式及另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo).探索創(chuàng)新題4、一定質(zhì)量的氧氣，它的密度(kg/m3)是它的體積V(m3)的反比例函數(shù)，當(dāng)V=10時(shí)，=1.43.(1)求與V的函數(shù)關(guān)系式；(2)求當(dāng)V=2時(shí)，氧氣的密度.體驗(yàn)中考1、點(diǎn)P（1，3）在反比例函數(shù)(k0)的圖象上，則k的值是（ ）A. B.3 C. D.-32、已知正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)（k為常數(shù)）的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，交

9、點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2.（1）求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)A（x1，y1）, B（x2，y2）是反比例函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，且x1y1，試比較y1，y2的大小.學(xué)后反思【解題方法小結(jié)】1）求反比例函數(shù)解析式的一般方法是待定系數(shù)法.由于解析式中只有一個(gè)系數(shù)k，故只需給出一對(duì)x，y的對(duì)應(yīng)值或一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可.（2）從函數(shù)(k0)的圖象上任意一點(diǎn)向x軸、y軸作垂線，與與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的矩形的面積均為|k|，一條垂線段與坐標(biāo)軸及該點(diǎn)與原點(diǎn)的連線構(gòu)成的直角三角形的面積為附： 課堂檢測(cè)及體驗(yàn)中考答案課堂檢測(cè)1、A分析 本題意在考查對(duì)反比例函數(shù)的理解和靈活運(yùn)用，由題竟可設(shè)y=k1x(k10),(k20)，把代入y=

10、 k1x中，得y= k1·.因?yàn)閗10，k20，所以k1k20，所以是反反函數(shù).【解題策略】 要注意正比例函數(shù)的比例系數(shù)和反比例函數(shù)的比例系數(shù)不一定是同一個(gè).2、分析 反比例函數(shù)中的k等于其圖象上某一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的積，設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為，函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(-2，4)，所以，所以k=-8，所以函數(shù)表達(dá)式為.3、分析 點(diǎn)A的坐標(biāo)(m,1)同時(shí)滿足函數(shù)y=kx和，所以可以求出m的值，進(jìn)而求出A點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入y=kx中求得k，再令兩個(gè)關(guān)系式相等，從而求得另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo).解：因?yàn)榈膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m，1)，則，所以m=3.把A(3,1)代入y=kx中，得1=3k，所以.所以正比例函數(shù)關(guān)系式

11、為.由得x=±3.當(dāng)x=3時(shí)，y=1；當(dāng)x=-3時(shí)，y=-1.所以另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3，-1).【解題策略】 確定解析式的方法是待定系數(shù)法，由于正比例函數(shù)y=kx只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對(duì)對(duì)應(yīng)值即可.4、分析 設(shè)=，代入數(shù)值，求出k，再代入V=2，即可求.解：(1)設(shè)=(k0)，當(dāng)V=10時(shí)，=1.43，所以1.43=，所以k=14.3.所以與V之間的函數(shù)關(guān)系式是=.(2)當(dāng)V=2時(shí)，=7.15.所以當(dāng)V=2時(shí)，氧氣的密度為7.15kg/m3.【解題策略】 了解密度與體積的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵.體驗(yàn)中考1、B. 分析 把x=1，y=3代入，k=3.故選B.2、分析 求兩圖象

12、交點(diǎn)坐標(biāo)的實(shí)質(zhì)是解兩函數(shù)的解析式組成的方程組，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可比較當(dāng)x1x2，時(shí)的函數(shù)值的大小.解：（1）由題意，得，解得k=1，所以正比例函數(shù)的表達(dá)式為y=x，反比例函數(shù)的表達(dá)式為.解，得x=±2.代入y=x，得y=±2.所以兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），（-2，-2）.（2）因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象在第一、三象限內(nèi)，在每一象限內(nèi)，y的值隨x值的增大而減小，所以當(dāng)x1x20時(shí)，y1y2.當(dāng)0x1x2時(shí)，y1y2.當(dāng)x10x2時(shí)，因?yàn)?，0，所以y1y2.【解題策略】 本題考查正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式及其性質(zhì)，注意對(duì)x1，x2要分類討論.26.2實(shí)際問(wèn)題與反比例函數(shù)學(xué)習(xí)

13、目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、理解反比例函數(shù)的定義；2、用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的表達(dá)式；3、反比例函數(shù)的圖象畫法，反比例函數(shù)的性質(zhì)； 【重點(diǎn)難點(diǎn)】1、 用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的表達(dá)式；2、 反比例函數(shù)的圖象畫法，反比例函數(shù)的性質(zhì)；知識(shí)概覽圖 （1）解決問(wèn)題時(shí)常用待定系數(shù)法實(shí)際問(wèn)題與反比例函數(shù) （2）考查函數(shù)圖象及其性質(zhì)、考查讀圖能力, 使我們能從函數(shù)圖象上得到有價(jià)值的信息新課導(dǎo)引【生活鏈接】在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強(qiáng)p（Pa）是受力面積S（m2）的反比例函數(shù)，其圖象如右圖所示.【問(wèn)題探究】這個(gè)反斃命函數(shù)應(yīng)如何表示？教材精華知識(shí)點(diǎn)反比例函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 難點(diǎn)；應(yīng)用應(yīng)用反

14、比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，我們應(yīng)抽象概括它的本質(zhì)特征，將其數(shù)學(xué)化、形式化，形成數(shù)學(xué)模型.例如池路程一定時(shí)，時(shí)間與速度成反比.根據(jù)已知條件寫出反比例函數(shù)的關(guān)系式，并能把實(shí)際問(wèn)題反映在函數(shù)的圖象上，結(jié)合圖象和性質(zhì)解決實(shí)際.因此利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是求出函數(shù)的關(guān)系式.一般地，建立反比例函數(shù)關(guān)系式有以下兩種方法：（1）待定數(shù)法：若題目提供的信息中明確此函數(shù)為反比例函數(shù)，則可設(shè)出反比例函數(shù)關(guān)系式為(k0)，然后求出k的值即可.（2）列方程法：若題目信息中變量之間的函數(shù)關(guān)系不明確，在這種情況下，通常是列出關(guān)于函數(shù)（y）和自變量（x）的二元一次方程，進(jìn)而解出函數(shù)，便得到函數(shù)關(guān)系式.生活中有許許多多成

15、反比例關(guān)系的實(shí)例.如當(dāng)路程s一定時(shí)，時(shí)間t與速度v成反比例關(guān)系，可以寫成（s是常數(shù)）；當(dāng)矩形面積S一定時(shí)，長(zhǎng)a與寬b成反比例關(guān)系，寫成（S的常數(shù)）；當(dāng)面積是常數(shù)S時(shí)，三角形的底邊長(zhǎng)y與這一底上的高x成反比例關(guān)系，寫成（S是常數(shù)）.在物理學(xué)上，當(dāng)功是常數(shù)W時(shí)，力F與物體在力的方向上通過(guò)的位移s成反比例關(guān)系，寫成（W的常數(shù)）；當(dāng)壓力F一定時(shí)，壓強(qiáng)p與受力面積S之間成反比例關(guān)系，寫成（F為常數(shù)）；在某一電路中，保持電壓U不變，電流I與電阻R成反比例關(guān)系，寫成（U的常數(shù)）.在利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一定要注意中k為常數(shù)且k0這一條件，結(jié)合圖象說(shuō)出性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)大致畫出圖象及求函數(shù)的表達(dá)式.知識(shí)拓

16、展 在利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)題目中的實(shí)際意義，找到基本的函數(shù)關(guān)系，再根據(jù)需要進(jìn)行變形或計(jì)算.課堂檢測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用題1、一定質(zhì)量的二氧化碳，當(dāng)它的體積V=10m3時(shí)，它的密度=3.96kg/m3.（1）求與V的函數(shù)關(guān)系式；（2）求當(dāng)V=5m3時(shí)二氧化碳的密度.綜合應(yīng)用題2、你吃過(guò)拉面嗎？實(shí)際上，在做拉面的過(guò)程中就滲透著數(shù)學(xué)知識(shí)，一定體積的面團(tuán)做成拉面，面條的總長(zhǎng)度y（m）是面條的粗細(xì)（橫截面面積）S（mm2）的反比例函數(shù)，其圖象如17-24所示.（1）寫出y與S的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)面條粗1.6mm2時(shí)，求面條的總徹底是多少.3、消費(fèi)者對(duì)于取消市場(chǎng)上使用桿秤的呼聲越來(lái)越高，原因在于

17、一些不法商販在賣貨時(shí)將秤砣挖空，或更換小秤砣，使秤砣較輕，從而欺騙顧客.（1）如圖17-25所示，對(duì)于同一個(gè)物體，哪個(gè)用的是標(biāo)準(zhǔn)秤砣，哪個(gè)用的是較輕的秤砣？（2）寫出在稱同一物體時(shí)，所稱得的物體質(zhì)量y（千克）與所用秤砣質(zhì)量x（千克）之間滿足的關(guān)系；（3）當(dāng)秤砣較輕時(shí)，稱得的物體變重，這正好符合哪個(gè)函數(shù)的哪些性質(zhì)？探索創(chuàng)新題4、小偉欲用撬棍手書撬動(dòng)一塊大石頭，已知阻力和阻力臂不變，分別為1200牛頓0.5米.（1）動(dòng)力F和動(dòng)力臂l有怎樣的函數(shù)關(guān)系式？當(dāng)動(dòng)力臂為0.5米時(shí)，撬動(dòng)石頭至少需要多大的力？（2）若想使動(dòng)力F不超過(guò)（1）中手忙腳亂力的一半，則動(dòng)力臂至少要加長(zhǎng)多少？體驗(yàn)中考1、水產(chǎn)公司有一種

18、海產(chǎn)品共2104千克，為尋求合適銷售價(jià)格，進(jìn)行了8天試銷，試銷情況如下表：第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天售價(jià)x/（元/千克）400250240200150125120銷售量y/千克304048608096100觀察表中數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用反比例函數(shù)刻畫這種海產(chǎn)品的每天銷售量y（千克）與銷售價(jià)格x（元/千克）之間的關(guān)系.現(xiàn)假定在這批海產(chǎn)品的銷售中，每天的銷售量y（千克）與銷售價(jià)格x（元/千克）之間都江堰市滿足這一關(guān)系.（1）寫出這個(gè)反比例函數(shù)的解析式，并實(shí)例表格；（2）在試銷8天后，公司決定將這種海產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為150元/千克，并且每天都按這個(gè)價(jià)格銷售，那么余下的這些海產(chǎn)品預(yù)計(jì)

19、再用多少天可以全部售出？（3）在按（2）中定價(jià)繼續(xù)銷售15天后，公司發(fā)現(xiàn)剩余的這些海產(chǎn)品必須在不超過(guò)2天內(nèi)全部售出，此時(shí)需要重新確定一個(gè)銷售價(jià)格，使后面兩天都按新的價(jià)格銷售，那么新確定的價(jià)格最高不超過(guò)每千克多少元才能完成銷售任務(wù)？學(xué)后反思【解題方法小結(jié)】（1）深刻理解反比例函數(shù)的定義及認(rèn)真觀察總結(jié)生活中的數(shù)學(xué)知識(shí)是解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵.（2）解決跨學(xué)科的綜合題目，要準(zhǔn)確領(lǐng)會(huì)相關(guān)學(xué)科的知識(shí).附： 課堂檢測(cè)及體驗(yàn)中考答案課堂檢測(cè)1、分析 由物理知識(shí)可知，質(zhì)量m、體積V、密度之間的關(guān)系為，所以求與V之間的函數(shù)關(guān)系式，只需確定m的值即可.解：（1）將V=10，=3.96代入，得m=3.96×1

20、0=39.6，所以與V的函數(shù)關(guān)系式為（2）當(dāng)V=5時(shí)，(kg/m3).2、分析 解答此題是關(guān)鍵是正確運(yùn)用所給條件確定反比例函數(shù)的關(guān)系式，運(yùn)用圖象信息求函數(shù)關(guān)系式，點(diǎn)P（4，32）在函數(shù)圖象上，運(yùn)用待定系數(shù)法求出k值即可.解：（1）設(shè)y與S的函數(shù)關(guān)系式為，由圖象可知，池S=4時(shí)，y=32，所以k=4×32=128，所以y與S的函數(shù)關(guān)系式為（2）當(dāng)S=1.6mm2時(shí)，（m），所以面條的總長(zhǎng)度為80m.【解題策略】 首先用待定系數(shù)法求出k（有時(shí)可根據(jù)題意來(lái)設(shè)）的值，然后根據(jù)關(guān)系式確定其他的值.3、解：（1）根據(jù)物理中的杠桿原理可知，對(duì)于質(zhì)量一定的物體，力臂L與秤砣的重量G成反比例，圖17-25中的力臂比圖17-25中的力臂長(zhǎng)，因此圖17-25中的秤砣重量小于圖17-25中的秤砣重量，即圖17-25中使用的是標(biāo)準(zhǔn)秤砣，圖17-25中使用的是較輕的秤砣.(2)在稱同一物體時(shí)，所稱得的物體質(zhì)量y（千克）與所用秤砣質(zhì)量x（千克）成