初三數(shù)學(xué)圓的綜合的專項(xiàng)培優(yōu)練習(xí)題及答案

1、初三數(shù)學(xué)圓的綜合的專項(xiàng)培優(yōu)練習(xí)題及答案一、圓的綜合1.如圖，AB是半圓。的直徑，C是窟的中點(diǎn)，D是，密的中點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)E.(1)求證：BD平分/ABC;(2)求證：BE=2AD；_ DE(3)求的值.BE【答案】(1)答案見解析(2) BE=AF=2AD (3)2【解析】試題分析：(1)根據(jù)中點(diǎn)弧的性質(zhì)，可得弦AD=CD,然后根據(jù)弦、弧、圓周角、圓心角的性質(zhì)求解即可；(2)延長BC與AD相交于點(diǎn)F,證明BCEACF根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BE=AF=2AD(3)連接OD交AC于H.簡要思路如下：設(shè) OH為1,則BC為2, OB=OD=J2 ,DH=J2 1,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可

2、求解.試題解析：(1);D是費(fèi)的中點(diǎn).AD=DC/ CBD=Z ABDBD 平分 / ABC(2)提示：延長 BC與AD相交于點(diǎn)F,證明BCEACF,BE=AF=2ADC(3)連接OD交AC于H.簡要思路如下:設(shè) OH 為 1,則 BC 為 2, OB=OD=72 ,DH=、,2 1,DE DHBE - BCDE= V2 iBE22.四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn) E,且AE= EC BE= ED,以AD為直徑的半圓過點(diǎn) E,圓 心為O.（1）如圖，求證：四邊形 ABCD為菱形；（2）如圖，若BC的延長線與半圓相切于點(diǎn) F,且直徑AD = 6,求弧AE的長._一 ”.?！敬鸢浮浚?）見解析；（2

3、）21 ，一 。，一。Z CDA=30 ,，/ADE=15 .2303 -.1802【解析】試題分析：（1）先判斷出四邊形 ABCD是平行四邊形，再判斷出 AC± BD即可得出結(jié)論； （2）先判斷出 AD=DC且DE，AC, / ADE=/ CDE進(jìn)而得出/ CDA=30°,最后用弧長公式 即可得出結(jié)論.試題解析：證明：（1） .四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn) E,且AE=EC, BE=ED, .四邊形ABCD是平行四邊形.二,以AD為直徑的半圓過點(diǎn) E,，/ AED=90°,即有AC，BD,四邊 形ABCD是菱形；（2）由（1）知，四邊形 ABCD是菱形，4ADC

4、為等腰三角形，AD=DC且DEL AC, /ADE=/CDE.如圖2,過點(diǎn)C作CG,AD,垂足為G,連接FO. 丁 BF切圓。于點(diǎn)F, 1 .OFXAD,且 OF -AD 3 ,易知，四邊形 CGOF為矩形，CG=OF=3.2CG在 RtCDG 中，CD=AD=6, sinZADC= CD連接 OE,則 / AOE=2XZ ADE=30°, Ae點(diǎn)睛：本題主要考查菱形的判定即矩形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)，熟練掌握其判定與性 質(zhì)并結(jié)合題意加以靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.3.如圖1,e O的直徑AB 12, P是弦BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B, C不重合）, ABC 30°,過點(diǎn)P作PD O

5、P交e O于點(diǎn)D.1如圖2,當(dāng)PD/AB時(shí)，求PD的長;12如圖3,當(dāng)DC AC時(shí)，延長AB至點(diǎn)E,使BE -AB ,連接DE.求證：DE是e O的切線；求PC的長.國1國2圖3【答案】(1) 2*； (2)見解析，373 3. 【解析】分析：1根據(jù)題意首先得出半徑長，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出OP, PD的長；2首先得出VOBD是等邊三角形，進(jìn)而得出ODE OFB 900,求出答案即可；首先求出CF的長，進(jìn)而利用直角三角形的性質(zhì)得出PF的長，進(jìn)而得出答案.QOP PD, PD/AB,POB 900,Qe O的直徑AB 12 ,OB OD 6,在 RtVPOB 中，ABC 30°,O

6、P OB tan30o 6 2百，3在 RtVPOD 中，PD ,OD2 OP2 162 (2拘2 2近；2證明：如圖3,連接OD,交CB于點(diǎn)F,連接BD, O p E郅q De Ac ,DBC ABC 300,ABD 600,QOB OD ,VOBD是等邊三角形，OD FB,-1QBE AB, 2OB BE ,BF /ED ,ODE OFB 900,DE是e O的切線；由知，OD BC ,CF FB OB cos30° 6 在 3.3，2在 RtVPOD 中，OF DF ,_1 _ _PF -DO 3(直角三角形斜邊上的中線，等于斜邊的一半)，2CP CF PF 373 3.點(diǎn)睛：

7、此題主要考查了圓的綜合以及直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確得出VOBD是等邊三角形是解題關(guān)鍵.O O的切線4 .如圖，已知AB為。O直徑，D是？C的中點(diǎn)，DEL AC交AC的延長線于E, 交AD的延長線于F.(1)求證：直線 DE與。O相切；(2)已知 DG, AB且DE=4,。的半徑為5,求tan/F的值.【答案】（1）證明見解析；（2） 2.【解析】試題分析：（1）連接BC、OD,由D是弧BC的中點(diǎn)，可知： ODLBC;由OB為。的直 徑，可得：BC± AC,根據(jù)DE，AC,可證OD，DE,從而可證 DE是。O的切線；（2）直接利用勾股定理得出GO的長，再利用銳角三角函數(shù)

8、關(guān)系得出tan / F的值.試題解析：解：（1）證明：連接 OD, BC, .是弧BC的中點(diǎn)，.OD垂直平分BC, .AB 為。的直徑，.-.AC± BC, ，OD/AE. / DE± AC, . OD, DE, OD 為。的半徑，. DE 是。的切線；（2）解：D 是弧 BC 的中點(diǎn)，Dc Db，/EAD=/BAD, / DE± AC, DG± AB 且DE=4, .-.DE=DG=4, / DO=5, . GO=3, . AG=8, tan Z ADG=2, BF 是。的切4線，./ABF=90°,，DG/BF, . tan / F=tan

9、 / ADG=2.E點(diǎn)睛：此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，正確得出AG, DG的長是解題關(guān)鍵.5 .如圖，4ABC內(nèi)接于。O, AB是直徑，。的切線PC交BA的延長線于點(diǎn) P, OF/ BC 交AC于點(diǎn)E,交PC于點(diǎn)F,連結(jié)AF.判斷AF與。O的位置關(guān)系并說明理由；（2）若 AC= 24, AF= 15,求 sinB.3【答案】（1） AF與。O相切 理由見解析；（2） 35試題分析：（1）連接OC,先證/OCF=90°,再證明OAF0 4OCF,得出Z OAF=Z OCF=90° 即可；OA AE（2）先求出AE、EF,再證明OAa/XAFJ得出比例式一

10、 一，可求出半徑，進(jìn)而AF EF求出直徑，由三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論.試題解析：解：（1） AF與。O相切.理由如下：連接 OC.如圖所示.PC 是。的切線，OCX PC,ZOCF=90°. .OF/ BC, ，/B=/AOF, /OCB=/COF / OB=OC, . . / B=/OCB, . / AOF=/COF.在 OAF 和 OCF 中，. OA=OC, /AOF=/COF, OF=OF, . . OAF OCF (SAS ,Z OAF=Z OCF=90 ；，AF 與。O 相切;(2) . OAFOCFZOAE=Z COE - OE±AC, AE=1 AC=12

11、2，- EF= .152 1229. . ZOAF=90°,OAAOAEAAFE . ，AFAE OA一，即一EF 15129，AC24 3.OA=20,AB=40, sinB=AB40 5點(diǎn)睛：本題考查了切線的性質(zhì)與判定和全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與 性質(zhì)；熟練掌握切線的證法和三角形相似是解題的關(guān)鍵.6. （8分）已知AB為。的直徑，OCAB,弦DC與OB交于點(diǎn)F,在直線 AB上有一點(diǎn) E, 連接ED,且有ED= EF.（1）如圖,求證：ED為。的切線；（2）如圖，直線ED與切線AG相交于G,且OF= 2,。的半徑為6,求AG的長.【答案】（1）見解析；（2） 12

12、【解析】試題分析：（1）連接OD,由ED=EF可得出/EDF=/EFD,由對(duì)頂角相等可得出/EDF=/CFQ 由 OD=OC可得出 / ODF=/OCF 結(jié)合 OC AB 即可得知 /EDF+/ODF=90 ；即/ EDO=90°,由此證出 ED為O O的切線；（2）連接OD,過點(diǎn)D作DM，BA于點(diǎn)M,結(jié)合（1）的結(jié)論根據(jù)勾股定理可求出ED EO的長度，結(jié)合/DOE的正弦、余弦值可得出 DM、MO的長度，根據(jù)切線的性質(zhì)可知GA± EA,從而得出DM/GA,根據(jù)相似三角形的判定定理即可得出 EDMs EGA根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出GA的長度試題解析：解：（1）連接 OD,

13、ED=EF,/ EDF=Z EFD, = / EFD=Z CFO, . / EDF=/CFO. OD=OC, . . / ODF=/OCF / OCX AB, / CFG/OCF=/ EDF+Z ODF=Z EDO=90 : ：. ED為。的切線；（2）連接OD,過點(diǎn)D作DMBA于點(diǎn)M,由（1）可知 EDO為直角三角形，設(shè)ED=EF=a, EO=EF+FO=a+2,由勾股定理得，EG2=EC2+DO2,即（a+2） 2=a2+62,解得，a=8,即 ED=8, EO=10. -. sinZ EOD=-ED 4 cos/EOD=OD 3EO 5 'OE 5 '424 _3 18八

14、 八，DM=OD?sin/EOD=6=,MO=OD?cosZ EOD=6X- = , /. EM=EO- MO=10-5 55 518 32-55EA=EO+OA=10+6=16.-,一一 DM EM _. GA 切。O 于點(diǎn) A, ，GA，EA, . DM /GA, .EDMs EGA ，即GA EA243255 ,解得 GA=12.GA 16點(diǎn)睛：本題考查的是切線的判定、垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)、角的三角函數(shù)值、相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）通過等腰三角形的性質(zhì)找出Z EDO=90 ; （2）通過相似三角形的性質(zhì)找出相似比.7.如圖所示，AB是半圓O的直徑，

15、AC是弦，點(diǎn)P沿BA方向，從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,速度 為1cm/s,若AB 10cm,點(diǎn)O到AC的距離為4cm.(1)求弦AC的長；(2)問經(jīng)過多長時(shí)間后， 4APC是等腰三角形.【答案】(1) AC=6; (2) t=4或5或14s時(shí) 4apc是等腰三角形;5【解析】【分析】(1)過。作ODLAC于D,根據(jù)勾股定理求得 AD的長，再利用垂徑定理即可求得 長；(2)分AC=PC AP=AC AP=CP三種情況求t值即可.【詳解】(1)如圖1,過。作ODLAC于D,AC的易知 AO=5, OD=4,從而ad=7放與N=3，AC=2AD=6;(2)設(shè)經(jīng)過t秒4APC是等腰三角形，則 AP=10-t 如

16、圖2,若AC=PC過點(diǎn)C作CHI±AB于H,3 / A=Z A, / AHC=Z ODA=90 ；4 .AHCAADO, _ rr _ 10-t5 .AC: AH=OA: AD,即 AC: =5: 3,解得t=J-s, I b |經(jīng)過 s后AAPC是等腰三角形； 如圖3,若AP=AC,又 AC=6,則 10 - t=6 ,解得 t=4s,經(jīng)過4s后4APC是等腰三角形;，經(jīng)過5s后4APC是等腰三角形.綜上可知當(dāng)t=4或5或"s時(shí)，4APC是等腰三角形.【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，解決問題利用了垂徑定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)要注意當(dāng) BPC是等腰三角形時(shí)，點(diǎn) P的位置有三

17、種情況.8.如圖，在RtA ABC中，/ ACB=60°,。是4ABC的外接圓，BC是。O的直徑，過點(diǎn)B作。的 切線BD,與CA的延長線交于點(diǎn) D,與半徑AO的延長線交于點(diǎn) E,過點(diǎn)A作。O的切線AF,與 直徑BC的延長線交于點(diǎn) F.連接EF,求證:EF是。O的切線；(2)在圓上是否存在一點(diǎn) P,使點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,F構(gòu)成一個(gè)菱形 *存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)見解析；(2)存在，理由見解析【解析】【分析】(1)過。作OMLEF于M,根據(jù)SAS證明OAFOBE,從而得到OE=OF再證明EO平分/BEF,從而得到結(jié)論；(2)存在，先證明 4OAC為等邊三角形，從而得出 /OAC=/A

18、OC=60°再得到AB=AF,再證 明AB=AF=FP=BP從而得至IJ結(jié)論.【詳解】證明:如圖，過O作OMLEF于M,. OA=OB,/ OAF=Z OBE=90 ；/ BOE=Z AOF, .-.OAFAOB.OE=OF,EOF AOB=120 ;:/ OEM=Z OFM=30 :：/ OEB=Z OEM=30 ;即 EO平分 / BEF又/ OBE=Z OME=90°,：OM=OB,：EF為。O的切線.(2)存在.BC為。O的直徑，:/ BAC=90 ;/ ACB=60 :/ ABC=30 :又 / ACB=60°,OA=OC： OAC為等邊三角形，即/ O

19、AC=Z AOC=60 ;.AF為。O的切線,:/ OAF=90 :/ CAF=/AFC=30 ；:/ ABC=Z AFC：AB=AF.當(dāng)點(diǎn)P在(1)中的點(diǎn)M位置時(shí)，此時(shí)/OPF=90°,:/ OAF=Z OPF=90 ,又OA=OPQF為公共邊,.-.OAFAOPF,：AF=PF/ BFE=Z AFC=30 :1 一 一 一又.一/ FOP=/ OBP=/ OPB=30 , ：BP=FP-AB=AF=FP=BP:四邊形AFPB是菱形.【點(diǎn)睛】考查了切線的判定定理和菱形的判定，經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切 線.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)(即

20、為半徑)，再證垂 直即可.9.如圖，四邊形 ABCD是。的內(nèi)接四邊形，AC為直徑，？D AD，DE± BC,垂足為E.(1)判斷直線ED與。O的位置關(guān)系，并說明理由;(2)若CE=1, AC=4,求陰影部分的面積.2 一【答案】(1) ED與e O相切理由見解析；(2)S陰影=73.3(1)連結(jié)OD,如圖，根據(jù)圓周角定理，由BD AD得到/ BAD= / ACD,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得 / DCE=Z BAD,所以/ ACD=/DCE；利用內(nèi)錯(cuò)角相等證明OD/ BC,而DE± BC,則OD, DE,于是根據(jù)切線的判定定理可得DE為。的切線；(2)作OH± BC

21、于H,易得四邊形 ODEH為矩形，所以 OD=EH=2,則CH=HE- CE=1,于 有/HOC=30。，得到/COD=60。，然后根據(jù)扇形面積公式、等邊三角形的面積公式和陰影部 分的面積=S扇形ocd- Saocd進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】(1)直線ED與。O相切.理由如下：連結(jié)OD,如圖， ?d Ad ,ZBAD=ZACD.6 / DC- BAD,/ ACD=Z DCE.7 . OC=OD, . . / OCD=/ODC,而 / OCD=/DCE ，/ DCE=/ODC, . .OD/ BC.8 . DEXBC,ODXDE, . DE為。的切線；(2)作OHBC于H,則四邊形 ODEH為矩形，

22、OD=EH.,. CE=1, AC=4, OC=OD=2, . CH=HE CE=2- 1=1 ,在 R匕 OHC 中，,. OC=2, CH=1 ,/OHC=90； /HOC=30；，/ COD=60 ；，陰影部分的面積=S扇形 ocd- Sa ocd6022 _2?223604本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.要證 某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂直即 可.也考查了扇形面積的計(jì)算.10.如圖，RtABC中，/B=90°,它的內(nèi)切圓分別與邊BC CA、AB相切于點(diǎn) D、E、F, 設(shè) AB=c, BC=a,

23、 AC=b證：內(nèi)切圓半徑 r= 1 (a+b-c).(2)若AD交圓于P PC交圓于H, FH/BC,求/ CPD;若 r=3 而,PD= 18, PC=27& .求 ABC各邊長.【答案】(1)證明見解析(2) 45。(3) 9M 12710,15710【解析】【分析】(1)根據(jù)切線長定理，有 AE=AF, BD=BF, CD=CE易證四邊形 BDOF為正方形，BD=BF=r;用r表示AF、AE、CD CE,禾用AE+CE=AC等量關(guān)系列式.(2) /CPD為弧DH所對(duì)的圓周角，連接 OD,易得弧DH所對(duì)的圓心角/ DOH=9 0,所以 / CPD=45 ,°(3)由PD=

24、18和r=3 J10,聯(lián)想到垂徑定理基本圖形，故過圓心 O作PD的垂線OM,求得 弦心距OM=3,進(jìn)而得到/ MOD的正切值.延長 DO得直徑DG,易證PG/ OM ,得到同位 角/G=/ MOD,又利用圓周角定理可證 ZADB=Z G,即得到/ADB的正切值，進(jìn)而求得x.AB,再設(shè)CE=CD=x用x表示BC、AC,利用勾股定理列方程即求出【詳解】解：(1)證明：設(shè)圓心為 O,連接OD、OE、OF, .。0分別與BC、CA、AB相切于點(diǎn) D、E、F ODXBC, OE±AC, OFXAB, AE=AF, BD=BF, CD=CE / B=ZODB=Z OFB=90 ° 四邊

25、形BDOF是矩形 ，OD=OF=r矩形BDOF是正方形.BD=BF=rAE=AF=AB-BF=c-r CE=CD=BC-BD=a-r,.AE+CE=AC c-r+a-r=b(2)取FH中點(diǎn)O,連接OD1. FH/ BC/ AFH=Z B=90 °.AB與圓相切于點(diǎn) F,二.FH為圓的直徑，即 O為圓心1. FH/ BC/ DOH=Z ODB=90 °(3)設(shè)圓心為 O,連接DO并延長交OO于點(diǎn)G,連接PG,過O作OMPD于M/ OMD=90 ° .PD=18 BF=BD=OD=r=3 10 , OM= OD_DM 2 = 43屈)92 = V90 81 = 3 t

26、anZ MOD=DM- =3OMDG為直徑/ DPG=90 ° .OM/PG, /G+/ODM=90°/ G=Z MOD / ODB=Z ADB+Z ODM=90 °/ ADB=Z G/ ADB=Z MODtan / ADB=AB=tan / MOD=3 BD.AB=3BD=3r=9 JOAE=AF=AB-BF=97lO -3710 = 61T10設(shè) CE=CD=x 則 BC=3而+x, AC=6ji0 +x .ab2+bc2=ac2(9 /T0 )2 +(3 Tic +x)2= (6 廂 +x)2解得：x=9 10 .BC=12 10 , AC=15.10 .A

27、BC各邊長 AB=9Vw , AC=15>/W , BC=12而6 口C卻【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，切線長定理，正方形的判定，圓周角定理，垂徑定理，勾股定 理.切線長定理的運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵，而在不能直接求得線段長的情況下，利用勾股 定理作為等量關(guān)系列方程解決是常用做法.11.如圖，AB是半圓。的直徑，點(diǎn) C是半圓。上的點(diǎn)，連接 AC, BC,點(diǎn)E是AC的中 點(diǎn)，點(diǎn)F是射線OE上一點(diǎn).(1)如圖 1,連接 FA, FG 若 /AFC= 2/BAG 求證：FAaAB;(2)如圖2,過點(diǎn)C作CD，AB于點(diǎn)D,點(diǎn)G是線段CD上一點(diǎn)(不與點(diǎn) C重合)，連接FA, FG, FG與AC相交于點(diǎn)P

28、,且AF= FG.試猜想/ AFG和/ B的數(shù)量關(guān)系，并證明； 連接OG,若OE= BD, /GOE= 90°,。的半徑為2,求EP的長.【解析】【答案】(1)見解析;2) 結(jié)論：/GFA= 2/ABC.理由見解析； PE= 立6(1)證明 /OFA=/BAC,由 /EAO+/EOA= 90°,推出 Z OFA+Z AOE= 90°,推出 Z FAO= 90。即可解決問題.(2) 結(jié)論：/GFA= 2/ABC.連接FC.由FC= FG= FA,以F為圓心FC為半徑作OF,因?yàn)?AG AG，推出/GFA= 2/ACG,再證明 /ACG=/ABC.圖2T 中，連接 A

29、G,彳Fhl± AG于H.想辦法證明 Z GFA= 120 °,求出EF, OF, OG即【詳解】(1)證明：連接OC.可解決問題.1. OA=OC, EC= EA, OFXAC,FC= FA,/ OFA= / OFC, / CFA= 2/BAC,/ OFA= / BAG, / OEA= 90 ； / EAO+Z EOA= 90 ; / OFA+Z AOE 90 °,/ FAO= 90 ；AFXAB.(2) 解：結(jié)論：/GFA= 2/ABC. 理由：連接FC.瑟.OF垂直平分線段 AC,FG= FA, FG= FA,FC= FG= FA,以F為圓心FC為半徑作 O

30、F.Ag Ag，/ GFA= 2/ACG,.AB是。的直徑，/ ACB= 90 °, .CD± AB, / ABO / BCA= 90 °, / BCD+Z ACD= 90 ;/ ABC= / ACG/ GFA= 2/ABC.如圖2 - 1中，連接 AG,彳Fhl±AG于H. BD=OE, / CDB= / AEO= 90 ； / B= / AOE, .,.CDBAAEO (AAS),.CD= AE, EC= EA,.AC= 2CD./ BAC= 30 ； / ABC= 60 °,/ GFA= 120 ； ，OA=OB= 2,.OE= 1, A

31、E=73, BA=4, BD= OD= 1, / GOE= / AEO= 90 °, .OG/ AC,DG 3 OG 23,33-2 T 2 -121AG D DG AD ,3 FG= FA, FHXAG,.-.AH=HG=0，/AFH= 60°,3*工前，sin 603在 RtAEF中，EF= VAF2 AE2-,3八 八4 .OF=OE+EF=,3. PE/ OG,PE EF, , ，OG 0F-.PE 3234'行 3PE= 3 .6【點(diǎn)睛】圓綜合題，考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三 角函數(shù)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

32、學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決 問題.12.如圖，AB是e O的直徑，DF切e O于點(diǎn)D, BF DF于F ,過點(diǎn)A作AC /BF 交BD的延長線于點(diǎn)C.(1)求證： ABC C;(2)設(shè)CA的延長線交e O于E, BF交e O于G ,若DG的度數(shù)等于60°,試簡要說明 點(diǎn)D和點(diǎn)E關(guān)于直線AB對(duì)稱的理由.【答案】(1)見解析；(2)見解析.【解析】【分析】(1)作輔助線，連接 OD,由DF為。的切線，可得 OD，DF,又BF± DF, AC/ BF,所 以 OD/ AC, / ODB=Z C,由 OB=OD得 / ABD=Z ODB,從而可證 / ABC=Z C;(

33、2)連接 OG, OD, AD,由 BF/ OD, gD =60 ,可求證？G =GD AD =60，由平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可求出/OHD=90,由垂徑定理便可得出結(jié)論.【詳解】(1)連接OD,. DF為。O的切線， ODXDF. . BFXDF, AC/ BF, .OD/AC/ BF./ ODB=Z C.-.OB=OD,/ ABD=Z ODB./ ABC=Z C. 連接 OG, OD, AD, DE, DE 交 AB 于 H, 1. BF/ OD,，/OBG=/ AOD, /OGB=/ DOG,Gd Ad =bg - Gd =60,bg=Gd Ad =60,/ ABC=Z C=Z

34、 E=30 ,.OD/CE/ ODE=/ E=30 :在 ODH 中,/ ODE=30 , / AOD=60 ,/ OHD=90 ； ABIDE.點(diǎn)D和點(diǎn)E關(guān)于直線AB對(duì)稱.C【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理及垂徑定理，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用 數(shù)形結(jié)合解答.13.設(shè)C為線段AB的中點(diǎn)，四邊形 BCDE是以BC為一邊的正方形，以 B為圓心，BD長為 半徑的OB與AB相交于F點(diǎn)，延長EB交。B于G點(diǎn)，連接DG交于AB于Q點(diǎn)，連接AD.求證：（1） AD是。B的切線；（2） AD=AQ;【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】1連接BD,由D

35、C AB, C為AB的中點(diǎn)，由線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AD BD ,再根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得 ADB 900；2由BD BG與CD/BE,利用等邊對(duì)等角與平行線的性質(zhì)，即可求得1G CDG BDG - BCD 22.5°,繼而求得 ADQ AQD 2角對(duì)等邊，可證得 AD AQ ；3 易求得 GDE GDB BDE 67.5°DFE ， DCF E67.5°,由等90°,即可證得RtVDCF s RtVGED ,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可證得結(jié)論. 【詳解】DBA 45°, DCB 90°,即 DC AB,QC為AB的中點(diǎn)，

36、CD是線段AB的垂直平分線，AD BD,DAB DBA 45°,ADB 90°,即 BD AD ,Q BD為半徑，AD是e B的切線；2 Q BD BG ,BDG G ,QCD/BE ,CDG G , _1 八°G CDG BDG - BCD 22.5 , 2ADQ 90°BDG 67.5°, AQB BQG 90° G 67.5°ADQ AQD,AD AQ ；3連接DF,在VBDF 中，BD BF ,BFD BDF ,又 Q DBF 450,BFD BDF 67.5°,Q GDB 22.5°,在 RtV

37、DEF 與 RtVGCD 中，Q GDE GDB BDE 67.5° DFE , DCF E 90°, RtVDCF s RtVGED ,CF CDED EG，又Q CD DE BC ,BC2 CF EG .【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及等腰三角形 的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法.14.已知：如圖，以等邊三角形 ABC一邊AB為直徑的OO與邊AC、BC分別交于點(diǎn) D、E,過點(diǎn)D作DF，BC,垂足為F.（1）求證：DF為。的切線；（2）若等邊三角形 ABC的邊長為4,求圖中陰影部分的面積.E【答案】（1）見解析（2）典2【解析】試題分析：（1）連接DO,要證明DF為O O的切線只要證明 / FDP=90即可;（2）首先由已知可得到 CD, CF的長，從而利用勾股定理可求得DF的長；再連接 OE,求得CF, EF的長，從而利用