第1部分專題1 2013屆高三數(shù)學高考前客觀題?？及藗€問題

1、 在下面10個小題中，有2個表述不正確，請在題后用“”或“×”判定，并改正過來1真子集：若AB，但xB，且xA，則AB；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集()2全稱命題p：xM，p(x)的否定是綈p：x0M，綈p(x0)；特稱命題p：x0M，p(x0)的否定是綈p：xM，綈p(x)()3設非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1y2x2y10；abx1x2y1y20.()4設非零向量a，b，且a，b，則數(shù)量|a|b|cos 叫向量a與b的數(shù)量積；規(guī)定0與任意非零向量的數(shù)量積為0.如果a·b<0，則角一定為鈍角()5形如abi(a，bR)的數(shù)叫做復數(shù)

2、；若a0，且b0時，則abi為純虛數(shù)()6點P1(x1，y1)和點P2(x2，y2)位于直線AxByC0的兩側的充要條件是(Ax1By1C)·(Ax2By2C)<0.()7若xys(定值)，那么當xy時，xy有最大值；若xyP(定值)，那么當xy時，xy有最小值2 .()8歸納推理是由部分到整體、個別到一般的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理()9否命題是對原命題的條件和結論同時否定命題的否定僅僅否定原命題的結論(而條件不變)()10設是a與b的夾角，則|a|cos 叫做a在b的方向上的投影，|b|cos 叫做b在a的方向上的投影b在a的方向上的投

3、影是一個實數(shù)，而不是向量()名師點撥12.3.4.×5.6.7.×8.910.第4題忽視向量a，b方向相反情形；第7題用基本不等式求最值必須滿足x，y均為正數(shù)，訂正如下：訂正4設非零向量a，b，若a，b，則a與b的數(shù)量積為|a|b|cos ；規(guī)定0與任意向量的數(shù)量積為0.若a·b<0，則是鈍角，或(即向量a，b的方向相反)訂正7若xys(定值)，x>0，y>0，那么當xy時，xy有最大值；若xyP(定值)，x>0，y>0，那么當xy時，xy有最小值2 .在下面8個小題中，有2個表述不正確，請在題后用“”或“×”判定，并改正過

4、來1交集的補集等于補集的并集，即U(AB)(UA)(UB)；并集的補集等于補集的交集，即U(AB)(UA)(UB)()2若pq，且qp，則p是q的充分不必要條件，綈q是綈p的充分不必要條件()3. 向量，中三終點A、B、C共線存在實數(shù)，使得且1.()4若a0，則a·b0b0.()5復數(shù)zabi(a，bR)與復平面內(nèi)的點Z(a，b)與復平面向量(a，b)一一對應()6若ac2>bc2，則a>b；若<，則a>b.()7當a，b大于0時，不等式 (當且僅當ab時，取等號)成立()8若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則cos a，b.()名師點撥12.3.4.&#

5、215;5.6.×7.8.第4題中，非零向量垂直，數(shù)量積為0；第6題沒注意字母的符號訂正4若a0，則a·b0b0或ab.訂正6若ac2>bc2，則a>b；若<，則b>0>a，或a>b且ab>0.1考生不能正確理解集合中代表元素所表示的意義，數(shù)集與點集混淆、函數(shù)的定義域與值域混淆、圖形集與點集混淆等，如x|y 與y|y 以及(x，y)|y 分別表示函數(shù)y的定義域、值域以及函數(shù)圖象上的點集2考生容易忽視兩個集合基本運算中端點值的取舍導致增解或漏解，求解集合的補集時由于錯誤否定條件導致錯解，如已知A，誤把集合A的補集寫為導致漏解；集合運算

6、時，切莫遺漏空集3考生易混淆充要條件的判斷中“甲是乙的什么條件”與“甲的一個什么條件是乙”4考生易混淆向量共線(平行)與直線平行，向量共線(平行)是指兩向量所在的直線平行或重合，但兩直線平行時一定不會重合5考生要特別注意零向量帶來的問題：0的模是0，方向任意，并不是沒有方向；0與任意非零向量平行；00(R)，而不是等于 0；0與任意向量的數(shù)量積等于0，即0·a0；但不說0與任意非零向量垂直6考生易誤認為向量數(shù)量積的運算律與實數(shù)相同，實際上在一般情況下(a·b)·ca·(b·c)；a·b0時未必有a0或b0.7復數(shù)相等的充要條件是復數(shù)問

7、題實數(shù)化的主要解題途徑，往往易忽視題目中給出的條件，導致錯誤兩復數(shù)不全是實數(shù)時不能比較大小，但它們的?？杀容^大小8解形如一元二次不等式ax2bxc>0時，易忽視系數(shù)a的討論導致漏解或錯解，要注意分a>0，a<0進行討論9考生應注意求解分式不等式時正確進行同解變形，不能把0直接轉化為f(x)·g(x)0，而忽視g(x)0.10容易忽視使用基本不等式求最值的條件，即“一正、二定、三相等”導致錯解，如求函數(shù)f(x) 的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函數(shù)yx(x<0)時應先轉化為正數(shù)再求解11求解線性規(guī)劃問題時，不能準確把握目標函數(shù)的幾何意義導致錯解，如是指

8、已知區(qū)域內(nèi)的點(x，y)與點(2,2)連線的斜率，而(x1)2(y1)2是指已知區(qū)域內(nèi)的點(x，y)到點(1,1)的距離的平方等12類比推理易盲目機械類比，不要被表面的假象(某一點表面相似)迷惑，應從本質上類比用數(shù)學歸納法證明時，易盲目認為n0的起始取值n01，另外注意證明傳遞性時，必須用nk成立的歸納假設13在循環(huán)體結構中，易錯誤判定循環(huán)體結束的條件，導致錯求輸出的結果1漏解陷阱忽視空集致誤【例1】 設集合Ax|x24x0，xR，Bx|x22(a1)xa210，aR，xR，若BA，求實數(shù)a的取值范圍錯解A0，4，BA.(1)當BA時，B0，4，則0和4是方程x22(a1)xa210的根解得a

9、1.(2)當B0或B4時，BA.則4(a1)24(a21)0，解得a1.此時B0，滿足題意綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是a±1.錯因分析 集合B是方程x22(a1)xa210的實根所構成的集合；BA有B，與B兩種情形，本題忽視方程無實根，即B的情況，導致漏解正解 在上述解題過程中，補上B.此時，4(a1)24(a21)<0，解得a<1.因此，實數(shù)a的取值范圍是a1或a1. 造成本題錯誤的根本原因是忽視了“空集是任何集合的子集”這一性質空集是一個特殊集合，由于思維定勢，往往在解題中遺忘這個集合，導致錯誤或解題不全面當題目中出現(xiàn)AB，ABA，ABB(已知B)時，要注意A可能為這

10、種情形；尤其要注意在解決含參數(shù)的方程或不等式的問題時，往往遺漏的討論而導致漏解【補償訓練1】 (2012·濟寧調研)已知Ax|x23x20，Bx|ax20，且ABA，則實數(shù)a取值的集合C是_解析ABA，BA.當B時，a0，滿足題意當B時，A1,2，B.則1或2.解之得a2或a1.因此C0,1,2答案0,1,22算理陷阱錯用平面向量的運算律與性質【例2】 若非零向量a與b滿足：a3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與b的夾角的余弦值正解 a3b與7a5b垂直，(a3b)·(7a5b)0，即7|a|216a·b15|b|20，同理得7|a|230a·

11、;b8|b|20，得46a·b23|b|2，即a·b|b|2，代入，得|a|2|b|2，|a|b|，cosa，b.易錯提醒 轉化條件得到7|a|216a·b15|b|20與7|a|230a·b8|b|20，然后兩式相減得出a·bb2，出現(xiàn)以下錯誤：(1)誤用消去律，得ab，由共線定理知，向量a與b的夾角為0°.(2)錯用數(shù)量積，得2|a|b|cos |b|2，得cos . 兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，有模的形式與坐標運算形式，注意兩種不同形式的變化與應用：一是要注意若兩邊是數(shù)量積的形式時不能用消去律；二是要充分利用條件，靈活運用數(shù)量積

12、的性質解題【補償訓練2】 已知下列各式：a2|a|2；(a·b)2a2·b2；(ab)2a22a·bb2.其中正確的個數(shù)有_個解析由數(shù)量積的定義和性質可以判定只有、正確，、不正確對于：.對于：(a·b)2(|a|b|cos )2|a|2|b|2cos2 |a|2·|b|2a2·b2.答案23概念陷阱復數(shù)的概念要明辨【例3】 若zsin i是純虛數(shù)，則tan的值為()A7 B7 C D7或正解 由z為純虛數(shù)，知sin 0，且cos 0.則sin ，從而cos .所以tan .tan7.答案A易錯提醒 本題常見的錯誤主要有兩點：一是混淆復

13、數(shù)的有關概念，忽視虛部不為0的限制條件，錯得sin ，且cos ，導致錯選C.二是記錯兩角差的正切公式，導致計算有誤 在求解概念類問題時，一定要仔細辨析試題中待求的問題，在準確理解好概念的前提下進行解答，才能有效地避免概念性錯誤在本題中，搞清純虛數(shù)與復數(shù)的相關概念是關鍵，復數(shù)問題實數(shù)化是求解復數(shù)問題的主要途徑之一【補償訓練3】 (2011·北京高考改編)在復平面內(nèi)，復數(shù)zi(12i)對應的點位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析zi(12i)i2i22i2.復數(shù)z對應的點為(2,2)在第二象限答案B4條件陷阱忽視基本不等式求最值的條件【例4】 若x，y>0，且

14、x2y3，求的最小值錯解 3x2y2， ，.又2 ，因此2×.所以的最小值為.錯因分析 本題的錯誤主要在于在兩式中，連續(xù)使用基本不等式，等號成立的條件是x2y，且，xy0，這與x>0，y>0矛盾，因此等號不成立正解 1，當且僅當時，即當x33，且y3時，等號成立所以的最小值為1. 利用均值不等式ab2及變形ab2等求函數(shù)最值，務必注意實數(shù)a，b大于0.積“ab”或和“ab”其中之一應是定值，特別是要注意等號成立的條件本題中多次應用基本不等式必須保證等號同時成立，若某一條件不滿足時，可以通過拆項、添項、配湊因式、調整系數(shù)等方法使之滿足條件【補償訓練4】 (2012·

15、;惠州模擬)已知x>0，y>0，且1，若x2y>m22m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解x0，y0，1，x2y(x2y)48.當且僅當，即x2y時等號成立x4且y2時，x2y取到最小值8.依題意，x2ym22m對x0，y0恒成立，應有m22m8，解之得4m2.所以實數(shù)m的取值范圍是(4,2)5圖解陷阱線性規(guī)劃作圖要準確【例5】 (2012·濟南質檢)已知函數(shù)f(x)ax2bx1(a，bR，且a>0)有兩個零點，其中一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則的取值范圍為()A(，1) B(，1 C(2,1 D(2,1)正解 a>0，函數(shù)f(x)的圖象開口向上又f(0)1，

16、因此要使f(x)的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有即如圖所示，陰影部分是上述不等式組確定的平面區(qū)域又式子表示平面區(qū)域內(nèi)的點P(a，b)與點Q(1,0)連線的斜率又直線AQ的斜率k1，且直線4a2b10的斜率為2.顯然不等式組表示的平面區(qū)域不包括邊界所以的取值范圍為(2,1)答案D易錯提醒 本題常出現(xiàn)的錯誤主要有：(1)不能根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象特征及零點所在區(qū)間確定a，b所滿足的線性約束條件；(2)忽視a>0的限制條件，導致錯解；(3)不能準確作出約束條件表示的平面區(qū)域，邊界錯以為實線，錯求的取值范圍為(2,1，誤選C；(4)數(shù)形結合能力差，不明確的幾何意義，盲目求解 (1)本題是集函數(shù)

17、零點范圍與線性規(guī)劃的綜合問題首先結合函數(shù)圖象特征確定f(x)在指定區(qū)間存在零點的條件(a與b滿足的約束條件)，再確定不等式組所表示的平面區(qū)域，從而將目標函數(shù)轉化為平面區(qū)域內(nèi)點與定點連線的斜率，數(shù)形結合求解(2)由a、b的線性約束條件作可行域，一定要注意不等式組中各個不等式是否帶有等號，題目中作出的是無界區(qū)域，否則很容易忽視邊界值導致求錯目標函數(shù)的取值范圍【補償訓練5】 (2011·安徽)設變量x，y滿足|x|y|1，則x2y的最大值和最小值分別為()A1，1 B2，2 C1，2 D2，1解析如圖，先畫出不等式|x|y|1表示的平面區(qū)域，易知當直線x2yu，經(jīng)過點B，D時分別對應u的最

18、大值和最小值，所以umax2，umin2.答案B6盲目類比致誤【例6】 在平面上，設ha，hb，hc是三角形ABC三條邊上的高，P為三角形內(nèi)任一點，P到相應三邊的距離分別為Pa，Pb，Pc，我們可以得到結論：1，把它類比到空間，寫出三棱錐中的類似結論_正解 設ha，hb，hc，hd分別是三棱錐ABCD四個面上的高，P為三棱錐ABCD內(nèi)任一點，P到相應四個面的距離分別為Pa，Pb，Pc，Pd.于是我們可以得到結論：1.答案1易錯提醒 從平面到空間的類比時缺乏對應特點的分析，在三角形中是其內(nèi)一點到各邊的距離與該邊上的高的比值之和等于1，類比到空間就應該是三棱錐內(nèi)一點到各個面的距離與該面上高的比值之

19、和等于1.本題如果不考慮比值的特點，就可能誤以為類比到空間后是面積之比等，從而得到一些錯誤的類比結論 (1)類比推理是一種由此及彼的合情推理，“合乎情理”是這種推理的特征，一般的解答思路是進行對應的類比，如平面上的三角形對應空間的三棱錐(四面體)，平面上的面積對應空間的體積等(2)類比推理得到的結論不一定正確，故這類題目在得到類比的結論后，還要用類比方法對類比結論的正確性作出判斷，例如本題在三角形中的結論是采用等面積法得到的，在三棱錐中就可以根據(jù)等體積法得到，這樣不但寫出類比的結論，而且這個結論還是一個正確的結論【補償訓練6】 若O是線段AB上一點，則有|·|·0.將它類比

20、到平面的情形是：若O是ABC內(nèi)一點，則有SOBC·SOCA·SOBA·0.將它類比到空間的情形應該是：若O是四面體ABCD內(nèi)一點，則有_ _解析由線段到平面，線段的長類比為面積，由平面到空間，面積可以類比為體積，由此可以類比得一命題為O是四面體ABCD內(nèi)一點，則有VOBCD·OVO ACD·OVO ABD·OVO ABC·O0.答案VO BCD·OVO ACD·OVO ABD·OVO ABC·O0主要題型：近兩年高考命題看，本專題在解答題中不單獨命題，常與相關內(nèi)容交匯滲透，作為知識載體

21、或作為題目中一問(或某一環(huán)節(jié))命題主要涉及：(1)以平面向量為載體的三角函數(shù)問題；(2)含參數(shù)的不等式恒成立問題；(3)數(shù)列中的不等關系(詳見專題四的解題程序構建)方向1三角函數(shù)中的平面向量【例1】 (2012·徐州質檢)已知向量a，b，其中x.(1)若|ab| ，求x的值；(2)函數(shù)f(x)a·b|ab|2，若c>f(x)恒成立，求實數(shù)c的取值范圍 (1)由向量模的性質，得三角等式，再求三角函數(shù)值，從而求出角x；(2)運用向量運算化簡函數(shù)f(x)，求f(x)max，得c>f(x)max.規(guī)范解答賞析構建解題程序解(1)ab，ab ，由|ab| ，得 ，即sin

22、 2x.x，2x2.因此2x或2x，即x或x.(2)a·bcossinsincossin 2x，f(x)a·b|ab|223sin 2x，2x2，1sin 2x0，2f(x)23sin 2x5，f(x)max5.又c>f(x)恒成立，因此c>f(x)max，則c>5.實數(shù)c的取值范圍為(5，).解題程序第一步：由向量模性質，得三角等式第二步：根據(jù)三角函數(shù)值及角的范圍求x.第三步：化簡函數(shù)f(x)，并求f(x)max.第四步：由不等式恒成立，求c的取值范圍第五步：反思回顧，查看關鍵點、易錯點，規(guī)范答題批閱筆記1.求解的關鍵利用向量的運算與性質轉化為三角函數(shù)關

23、系，根據(jù)三角變換求值2.本題易錯點：(1)向量運算與三角恒等變形能力差，化簡失誤(2)忽視角x這一條件，導致計算致錯.方向2含參數(shù)不等式的恒成立問題【例2】 已知函數(shù)f(x)x3bx2cxd，當x和x1時取得極值(1)求b和c的值；(2)若對于任意x1,2，f(x)<2d21恒成立，求d的取值范圍 f(x)f(x)求b，c在1,2上求f(x)的最大值解不等式f(x)max<2d21d的取值范圍.規(guī)范解答賞析構建解題程序解(1)f(x)x3bx2cxd，f(x)3x22bxc.又x和x1是f(x)的極值點，即解之得檢驗b，c2符合要求(2)由(1)知f(x)x3x22xd，f(x)3

24、x2x2，令f(x)0得x1，x21，當x時，f(x)>0，即f(x)在上為增函數(shù)當x時，f(x)<0，即f(x)在上為減函數(shù)當x1,2時，f(x)>0，即f(x)在(1,2上為增函數(shù)又fd，f(2)2d，f(2)2d>fd，當x1,2時，f(x)max2d，又x1,2時，f(x)<2d21恒成立2d<2d21，解之得d<1或d>，故d的取值范圍是.解題程序第一步：將問題轉化為形如不等式f(x)a或f(x)a)恒成立的問題第二步：求函數(shù)f(x)的最小值f(x)min或f(x)的最大值f(x)max.第三步：解不等式f(x)mina(或f(x)ma

25、xa)第四步：明確規(guī)范地表述結論第五步：反思回顧查看關鍵點、易錯點及規(guī)范解答如本題重點反思每一步轉化的目標及合理性，最大或最小值是否正確批閱筆記不能將條件：對任意x1,2，f(x)<2d21恒成立，轉化為：當x1,2時，f(x)max<2d21是失分的主要原因.一、選擇題1已知Uy|ylog2x，x>1，P，則UP()A. B.C(0，) D(，0解析化簡得Uy|ylog2x，x>1(0，)，P，所以UP.故選A.答案A2已知i是虛數(shù)單位，m，nR，且mi1ni，則()A1 B1Ci Di解析由mi1ni(m，nR)，m1且n1.則i.答案D3(2011·廣東

26、)已知集合A(x，y)|x，y為實數(shù)，且x2y21，B(x，y)|x，y為實數(shù)，且xy1，則AB的元素個數(shù)為()A4 B3C2 D1解析AB的元素個數(shù)，即為直線與圓的交點個數(shù)由易知直線與圓有兩個交點(0,1)，(1,0)，AB(0,1)，(1,0)答案C4已知命題p：2x，命題q：x，則下列說法正確的是()Ap是q的充要條件Bp是q的充分不必要條件Cp是q的必要不充分條件Dp是q的既不充分也不必要條件解析由2x，2x1.又x2，得2x.p是q的充分不必要條件答案B5已知a(1，sin2x)，b(2，sin 2x)，其中x(0，)若|a·b|a|·|b|，則tan x的值等于

27、()A1 B1C. D.解析由|a·b|a|·|b|知，ab.所以sin 2x2sin2 x，即2sin xcos x2sin2 x，而x(0，)，所以sin xcos x，即x，故tan x1.答案A6執(zhí)行右邊的程序框圖，若輸出的S是127，則條 件可以為()An5 Bn6Cn7 Dn8解析依據(jù)程序框圖知，12222n127，則127,2n1128.n6.因此條件可以為n6.答案B7(2011·福建)已知O是坐標原點，點A(1,1)若點M(x，y)為平面區(qū)域上的一個動點，則·的取值范圍是()A1,0 B0,1C0,2 D1,2解析可行域如圖，M點落在F

28、BC內(nèi)，設M(x，y)，令z·xy，易得zmax022，zmin110，即z0,2答案C8已知正項等比數(shù)列an滿足：a3a22a1，若存在兩項am，an使得 4a1，則的最小值為()A. B.C. D不存在解析設等比數(shù)列an的公比為q(q0)，a3a22a1，a1q2a1q2a1，解之得q2.又4a1，aqmn216a，2mn216.因此mn6.則(mn)59.當且僅當n2m(即n4，m2)時取等號(mn)的最小值為9，從而的最小值為.答案A二、填空題9設集合A1,1,3，Ba2，a24，AB3，則實數(shù)a的值為_解析若a23，a1.檢驗此時A1,1,3，B3,5，AB3，滿足題意，若a243，則無解，因此，a1.答案110若對a(，0)，R，使asin a成立，則cos的值為_解析asin aa(sin 1)0，依題意，得a(，0)，恒有asin a.sin 10，則sin 1.又1sin 1，因此sin 1，cos 0.故cossin sin cos cos .答案11若平面向量a，b滿足|ab|1，ab平行于x軸，b(2，1)，則a_.解析設a(x，y)，則ab(x2，y1)，由題意，得a(1,1)或(3,1)答案(1,1)或(3,1)12已知Sk1k2k3knk，當k1,2,3，時，觀察下列等式：S1n2n，S2n3n2n