不等式含有字母系數(shù)的不等式的解法

1、不等式·含有字母系數(shù)的不等式的解法 教學(xué)目標(biāo)1初步理解含有字母系數(shù)不等式求解的基本思路，并讓學(xué)生了解使用分類討論方法的起因2培養(yǎng)學(xué)生分析、概括能力及運算能力3提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和深刻性教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：含有字母系數(shù)不等式的求解基本模式的形成教學(xué)難點：分類討論方法的正確使用教學(xué)過程設(shè)計（一）引入課題師：我們已經(jīng)研究了幾類基本不等式的解法，今天研究在系數(shù)中含有參變數(shù)即含有字母系數(shù)的不等式的解法（板書：含有字母系數(shù)的不等式的解法）（二）講解新課師：先從一個具體的例子說起（板書）例1  解關(guān)于x的不等式（1）ax4師：先請同學(xué)們來試解一解師：下面請同學(xué)們討論一下，

2、以上兩位同學(xué)做法哪個正確生：兩種解法都有問題，甲沒有討論是不對的，乙雖然討論了，但討論的情況不全，所以都有問題師：為什么一定要討論呢？要討論又該怎樣討論呢？生：因為不知道a的正負(fù)，所以除以a后不知道不等號方向是否發(fā)生改變，因此需要討論師：如果能把問題說得再透一點兒，從根源上講，解關(guān)于x的不等式即求出x（）m的一個不等式，因此需對所給不等式進行變換，而變換為保證等價必須依據(jù)不等式的性質(zhì)，就這個不等式而言，應(yīng)根據(jù)不等式哪條性質(zhì)呢？師：由此要解出x就必須看a的符號，對于字母a來說，它的符號有幾種可能呢？生：有三種可能，大于零，等于零，小于零師：此題需對a的符號進行討論，且應(yīng)分為三種情況進行討論，顯然

3、解法二的錯誤在于討論不全面，經(jīng)過我們的共同討論，正確的解法應(yīng)該有了，找個同學(xué)試說一下當(dāng)a=0時，原不等式解為xR師：對于這種類型不等式有了初步了解，下面請看第（2）小題（板書）（2）mxn（請學(xué)生思考片刻，并提示注意字母n帶來的變化）當(dāng)m=0時，原不等式的解不確定師：不確定是什么意思生：解的情況由n來決定，具體說在m=0前提下，原不等式變形為0·xn當(dāng)n0時，原不等式無解；當(dāng)n=0時，原不等式無解；當(dāng)n0時，原不等式解為xR師：對于前半部分的討論，理由同第（1）題是一樣的，把它稱為一級討論，對于后半部分的討論是在一級討論某種情況下的討論，稱為二級討論討論的原因是此時不等式需對0和n的

4、大小進行比較，自然需要研究n的符號即分三種情況進行討論，下面找一個同學(xué)把此題完整地解出來等式解為xR師：形如ax b的不等式是含有字母系數(shù)的關(guān)于x的不等式的基本模式，解決這類問題分類討論是不可少的方法，使用這種方法要注意使用的起因，此題使用分類討論的起因是對不等式作等價變換時，正確運用不等式的性質(zhì)而引起的討論對于含有字母系數(shù)的不等式在求解中還會遇到什么樣的問題，一起看例2（板書）例2  解關(guān)于x的不等式：x2-（aa2）x+a30（給學(xué)生片刻思考，稍作研究再讓學(xué)生說想法）師：拿到此題有什么想法？生：這是一個關(guān)于x的一元二次不等式，求解的方法一般是先找到相應(yīng)的一元二次方程的兩個根，再利

5、用二次函數(shù)圖象找出是兩根間還是兩根外師：相應(yīng)的方程是x2-（a2a）xa3=0，它的兩個根是什么呢？生：是a和a2師：可以得到不等式的解嗎？生：是xa2或xa師：答案有什么問題嗎？生：有問題，不一定a2比a大，應(yīng)對a2和a的大小關(guān)系進行討論師：這一點是解決這個題目的關(guān)鍵由于需要對相應(yīng)方程兩根的大小作比較，而需進行分類討論具體應(yīng)怎樣討論生：討論a2和a的大小，可以利用比較法轉(zhuǎn)化為a2與a的差與0的師：根據(jù)剛才的討論，把題目完整地解出來生：解：原不等式（x-a）（x-a2）0當(dāng)a0或a1時，a2a，原不等式解集為xa或xa2；當(dāng)0a1時，a2a，原不等式解集為x|xa2或xa當(dāng)a=0或a=1時，a

6、2=a，原不等式解集為x|xR且xa師：對于這種類型的不等式也常常用到分類討論這種方法，但是使用的原因與例1是不同的，它是由于對不等式作等價變換時，由相應(yīng)方程的根的大小比較而引起的討論當(dāng)然這類關(guān)于x的不等式的一般情形應(yīng)是a（x-b）（x-c）0至于它的求解問題，在例2的基礎(chǔ)上，讓同學(xué)們自己課下解決以上兩個例題都屬于含有字母系數(shù)的不等式的基本模式，通過它們的求解，主要了解分類討論的這種方法在求解過程中怎樣適時、適當(dāng)?shù)氖褂脤@件事是否理解了，請同學(xué)們自己做幾個題目（三）鞏固練習(xí)（板書）練習(xí)：解關(guān)于x的不等式：（1）a（x-a）（x2a）0；（2）loga（x2-x-2）（先讓全體學(xué)生在筆記本上完成

7、，教師巡視待學(xué)生基本完成，根據(jù)學(xué)生完成情況，有針對性選擇兩名學(xué)生，將自己的答案寫在黑板上）（板書）（1）解：當(dāng)a=0時，原不等式的解集為 ；當(dāng)a0時，原不等式 （x-a）（x2a）0，且a-2a，故原不等式解集為x|x-2a或xa；當(dāng)a0時，原不等式 （x-a）（x+2a）0且-2aa，故原不等式解集為x|ax-2a（2）解：原不等式 loga（x2-x-2）loga（4x-6）當(dāng)a1時，原不等式 x2-x-24x-6 x2-5x40 x4或x1；當(dāng)0a1時，原不等式 x2-x-24x-6 x2-5x+40 1x4所以原不等式解集為（4，+）（-，1）（1，4）師：下面看看黑板上兩位同學(xué)的表述

8、有什么問題，先看第（1）題（經(jīng)過學(xué)生們共同議論，一致認(rèn)為第（1）小題表述沒有問題，此時教師再對此題關(guān)鍵部分作出小結(jié)）師：解決此題的關(guān)鍵，一是對x前面系數(shù)a的討論，二是相應(yīng)方程兩個根a和-2a的大小的討論，而這二者的討論最終都統(tǒng)一為a與0的大小關(guān)系的討論故此題應(yīng)分為三種情況進行討論，且當(dāng)a的符號確定之后，不等式可等價化簡為（x-b）（x-c）0的形式進行求解下面再看第（2）小題的表述有什么問題生：對數(shù)不等式的求解必須先保證真數(shù)有意義，所以實際應(yīng)該解不等式組即師：好，這一點非常重要，在解對數(shù)不等式時，應(yīng)首先保證題目中的對數(shù)式有意義，即真數(shù)大于零且底數(shù)大于零不等于1，這一點我們在解對數(shù)不等式時已經(jīng)強

9、調(diào)過了，今天再次重申這一點，希望引起大家重視如果這樣求解不等式，解應(yīng)該是什么呢？師：在具體求解過程中，注意到根據(jù)不等式性質(zhì)，可以等價省去一個不等式以簡化計算過程，這一點很好此外，這個題目它也用到了分類討論，這里使用的原因是什么呢？生：解對數(shù)不等式需將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，需利用對數(shù)函數(shù)f（x）=logax的增減性，其增減性是以a1和0a1加以區(qū)分的因此需討論，且討論a的兩種情況即可師：這個題目也同樣用到了分類討論這種方法，但使用的原因與以前有所不同，它是由于對不等式作等價變換時，由相應(yīng)函數(shù)單調(diào)性的可能變化而引起的，這是我們應(yīng)該引起注意并加以總結(jié)的除此之外在整個求解過程中還有沒有問題？（讓學(xué)生議論

10、一下，稍作停頓）生：我覺得最后結(jié)果不應(yīng)該把兩種情況的結(jié)論并在一起師：能說說理由嗎？生：這個題目的討論是對字母a展開的，相當(dāng)于代表了無數(shù)多個不等式的求解問題，所以不同不等式的解不應(yīng)合并在一起因此最后結(jié)論不能并師：這一點談得很好，也最為重要，對字母a的討論與對x的討論是完全不同的，對字母a的討論，由于a的變化，將代表無數(shù)多個不等由于對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可以將它們分成兩類來解決，所以不能將它們解集并在一起，但對x的討論是對一個題目分成幾部分來研究每一部分都是這個題目解的一部分，因此最終將每一部分的解并在一起才是此題的解為了便于對比，不妨舉個簡單的例子：（3）解不等式：log（x-1）（x1）0師：這個不等式

11、應(yīng)該怎樣解呢？生：原不等式（在學(xué)生敘述過程中，要求能說出每一個不等式的由來如x10為保證真數(shù)有意義，而對x-1來說應(yīng)在大于零且不等于1的范圍內(nèi)進行討論分為x-11和0x-11兩種情況）師：這個題目同樣也用到了分類討論這種方法，但它是對未知數(shù)x進行討論，雖然使用的起因是相同的（都是由函數(shù)單調(diào)性的可能變化引起），但與對字母系數(shù)的討論在處理上是有區(qū)別的經(jīng)過我們研究討論第（2）題的最終結(jié)果不應(yīng)取并，應(yīng)分別作答，即應(yīng)寫成（板書）接前面過程后給出最后結(jié)果：當(dāng)a1時，原不等式解集為（4，）；當(dāng)0a1時，原不等式解集為（2，4）（四）小結(jié)師：（1）通過以上幾個題目，對一般的含字母系數(shù)的不等式的求解思路有了基本

12、了解其中對這個字母的可能取值作分類討論需作好充分的準(zhǔn)備（2）這種準(zhǔn)備體現(xiàn)為對分類討論的使用需解決好何時討論，討論什么，怎么討論，這幾個重要環(huán)節(jié)（3）何時討論也就是為什么要討論這件事主要是解決引起討論的幾種重要原因（4）對分類討論這種方法認(rèn)識清楚了，才能在給定不等式的等價變換過程中適時，適當(dāng)?shù)厥褂?，才能?zhǔn)確有效地解決更為復(fù)雜的含有字母系數(shù)的不等式或不等式組（五）布置作業(yè)1解關(guān)于x的不等式：（a2-1）x（a2+3a2）（b-3）習(xí)題略解：1原不等式 （a1）（a-1）x（a1）（a+2）（b-3）當(dāng)a=-1，bR或a=1且b3時，原不等式的解集為 ；當(dāng)a=1且b3時，原不等式解集為R課堂教學(xué)設(shè)計

13、說明這節(jié)課是對不等式求解綜合深入研究的課題之一因此這節(jié)課教學(xué)設(shè)計時重在對各類不等式求解過程中一些重要思想方法的應(yīng)用和理解含有字母系數(shù)的不等式的求解，分類討論這種思想方法是必不可少的很多學(xué)生只是知道遇到這類不等式要討論，而不了解討論的原因因此在使用時也是盲目的如解關(guān)于x的不等式：3-2a2xx；對此不等式進行等價變形后得到（2a21）x3由于2a21恒為正，根據(jù)2a2+1或?qū)的符號進行討論，出現(xiàn)不應(yīng)有的錯誤出現(xiàn)這些問題的癥結(jié)在于對含有字母系數(shù)的不等式求解基本思路沒掌握，對分類討論這種方法使用的原因不清楚所以只有從根本上解決求解思路，對分類討論方法的使用做全面細致深入的研究才能使學(xué)生能得心應(yīng)手進行求解，這也是這節(jié)課最核心的內(nèi)容，為此在例題選擇上重在突出思路和方法，而不在于題目有多難，討論有多復(fù)雜例1和例2就都選擇了含有字母系數(shù)的不等式中最基本的模式，這樣可以盡量減少干擾因素，以突出主要矛盾本節(jié)課的練習(xí)在安排上有兩層含義：一方面鞏固前面所學(xué)內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題；另一方面也