二階常系數(shù)線性微分方程的解法word版

1、第八章 8.4講第四節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程一、二階常系數(shù)線形微分方程的概念形如y" + py' + qy = f(x)的方程稱為二階常系數(shù)線性微分方程.其中P、q均為實(shí)數(shù)，f（X）為已知的 連續(xù)函數(shù).如果f（X）三0,則方程式（1）變成y + py，+ qy = 0我們把方程（2）叫做二階常系數(shù)齊次線性方程，把方程式（1）叫做二階常系數(shù)非齊次線性方程.本節(jié)我們將討論其解法.二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程1.解的疊加性定理1如果函數(shù)yi與y2是式的兩個(gè)解,則y = Ciyi + C2 y?也是式的解其中Ci,C2是任意常數(shù).證明 因?yàn)閥i與y是方程的解，所以有y； + P y

2、2 +q y2 =0將y =Ciyi +C2y2代入方程 的左邊，得(C1 yi +C2y2 ) + P(C1 yi + C2y2 ) + q(C1 yi + C2 y2)= Ci(yi"+ py； +qy1)+C2(y； + py2 +qy2)=0所以y =Ciyi +C2y2是方程的解.定理1說明齊次線性方程的解具有疊加性疊加起來的解從形式看含有Ci,C2兩個(gè)任意常數(shù)，但它不一定是方程式（2）的通解.2.線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念+設(shè)yi,y2,，yn，為定義在區(qū)間i內(nèi)的n個(gè)函數(shù)，若存在不全為零的常數(shù)ki，k2,，kn，使得當(dāng)在該區(qū)間內(nèi)有 kiyi + k2y2+ knyn三0，則

3、稱這n個(gè)函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)線性相關(guān)，否則稱線性無關(guān).例如i,cos2 x,sin2 X在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是線性相關(guān)的，因?yàn)閕 -cos2 X sin2 X 三 0又如1, x,x2在任何區(qū)間（a,b）內(nèi)是線性無關(guān)的,因?yàn)樵谠搮^(qū)間內(nèi)要使匕 + k2 ksX2 三 0必須 ki = k2 = k3 = 0對(duì)兩個(gè)函數(shù)的情形，若上=常數(shù)，則力，y2線性相關(guān) 若吐H常數(shù)，則y2y2yi, y線性無關(guān).3.二階常系數(shù)齊次微分方程的解法定理2如果yi與y2是方程式的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則y =Ciyi +C2y2（Ci,C2為任意常數(shù)）是方程式（2）的通解.例如，y" + y=O是二階齊次線性方程，yi=s

4、 in x，y cosx是它的y1y2兩個(gè)解，且 =tan X H常數(shù)，即y1 , y2線性無關(guān)，所C1yC2y =C1 sin x +C2 cosx（Ci,C2是任意常數(shù)）是方程y" + y=O的通解.由于指數(shù)函數(shù)y = erx （r為常數(shù)）和它的各階導(dǎo)數(shù)都只差一個(gè)常數(shù)因子根據(jù)指數(shù)函數(shù)的這個(gè)特點(diǎn)，我們用y=erx來試著看能否選取適當(dāng)?shù)某?shù)rx使y = e滿足方程（2）.將y 求導(dǎo)，得把y,y： y“代入方程，得因?yàn)閑rx0,所以只有(r2+ P r +q)erx= 02r + pr + q = 0只要r滿足方程式（3）, yrx=e就是方程式（2）的解.22我們把方程式（3）叫做方

5、程式（2）的特征方程，特征方程是一個(gè)代數(shù)方程其中r2,r的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好依次是方程（2） y： y： y的系數(shù).-p ± J p2 - 4q特征方程（3）的兩個(gè)根為r1,2 =L N,因此方程式(2)的通解有下列三種不同的情形2(1)當(dāng) p 4q >0 時(shí),ri,r2是兩個(gè)不相等的實(shí)根.-P + Jp2 -4q - p-Jp2 -4q,r2 =yi =erix，y2 -e'x是方程（2）的兩個(gè)特解，并且 如=e（ri）x工常數(shù)，即 y2yi與y2線性無關(guān).根據(jù)定理2,得方程 的通解為 y =CieriX +C2er2X2 當(dāng)P -4q =0時(shí)，ri,r2是兩個(gè)相等的實(shí)

6、根.1=2=-衛(wèi)，這時(shí)只能得到方程（2）的一個(gè)特解yi=erix,還需求出另2一個(gè)解y2,且仏 H常數(shù)，設(shè)=u（x），即yiyirix /y2 =e u(x)y； =erix(u，+ riu),y；'=erix(u “+2卩，+u).將y2,y2,y；代入方程（；）,得erix (u H + 2ri + ri2u) + p(u，+ qu) +qu = 0整理，得eriXu " + (2ri + p)u ' + (+ pri + q)u = 0由于 erix H0,所以+(2+ P)u' + g +pri+q)u=0因?yàn)閞i是特征方程（3）的二重根，所以2ri

7、+ pri + q = 0，2ri + p = 0從而有u" = 0因?yàn)槲覀冎恍枰粋€(gè)不為常數(shù)的解，不妨取u = x，可得到方程 的另個(gè)解riXy2 =xe那么，方程（2）的通解為c lix 丄小rixy =Cie + C2 xe y -G +C2X)eriX.2p -4q c 0時(shí),特征方程(3)有一對(duì)共軛復(fù)根口二口+川上二口一 (PhO)于是yi =eS職，y2 加歐拉公式eix =cosx +isinx把改寫為yi= e(a+px=/ e" =/(cos Px + i sin Px)y2= e3Bx=eE = eE(cos Px-isin Px)(2)求特征方程的兩個(gè)根

8、ri,r2y1, y2之間成共軛關(guān)系，取yi =2(yi +y2) =eE cos Px, y2 =2"(yi y2)=e®sin Px方程的解具有疊加性,所以yi , y2還是方程的解,并且y2yia® s i npx_= = t a用X H常數(shù)所以方程 的通解為e c o sxy =0°© cos Px +C2 sin Px)綜上所述，求二階常系數(shù)線性齊次方程通解的步驟如下(1)寫出方程的特征方程根據(jù)ri,r2的不同情形，按下表寫出方程 的通解.特征方程r2 +pr +q =0的兩個(gè)根r1, r2方程 y"+py' + q

9、y=0的通解兩個(gè)不相等的實(shí)根ah r2y =C1er1X +C2er2x兩個(gè)相等的實(shí)根r, = r2y = (CC2x)er1X一對(duì)共軛復(fù)根 $2 = a ± i Py = e" (C1 cos Px + C2 sin Px)例1求方程y"+2y' + 5y =0的通解.解：所給方程的特征方程為2r +2r+5=0A =-1+2行2 =-1-2i所求通解為y =6(0 cos2x +C2 sin 2x).例2求方程 密 +2dS+S =0滿足初始條件 Sj =4,S【t=2 dt2dt的特解.解所給方程的特征方程為2r2 +2r +1=0通解為S =(C1

10、 +C2t)e"將初始條件St - 4代入，得Cj = 4 ,于是S =(4 +C2t)e；對(duì)其求導(dǎo)得S，=（C2 -4-C2t）e將初始條件SL衛(wèi)=-2代入上式，得C2 =2所求特解為（2t）t例3求方程y“ + 2y，3y=0的通解.解 所給方程的特征方程為r2 + 2r -3 = 0其根為A = -3, r2 =1所以原方程的通解為c-3x 丄 _Xy+C2e二、二階常系數(shù)非齊次方程的解法1.解的結(jié)構(gòu)定理3設(shè) y 是方程（1）的一個(gè)特解，丫是式（1）所對(duì)應(yīng)的齊次方程式（2） 的通解，則y =Y + y *是方程式的通解.證明把y =Y + y *代入方程的左端：（Y"

11、 + y昇）+ p（Y ' + 尸'）中 q（Y + y）=（Y" + pY，+ qY） +（y 昇+p y*，+qy*）=0 + f（X）= f（X）y =Y + y*使方程（1）的兩端恒等，所以y = Y + y*是方程（1）的解.定理4設(shè)二階非齊次線性方程（1）的右端f （X）是幾個(gè)函數(shù)之和，如y " + py+qy = fi(x) + f2(x)而y*與y分別是方程y"+ py'+qy = f1(x)y"+ p y' + qy = f2(x)的特解，那么yr +y2就是方程(4)的特解，非齊次線性方程(1)的特解有

12、時(shí)可 用上述定理來幫助求出.2. f(X)= /Pm (x)型的解法f (x) =ePm(x),其中A為常數(shù)，Pm(x)是關(guān)于x的一個(gè)m次多項(xiàng)式.方程(1)的右端f (x)是多項(xiàng)式Pm(x)與指數(shù)函數(shù)e趙乘積的導(dǎo)數(shù)仍為同一類型函數(shù)，因此方程(1)的特解可能為 y =Q(x)e件其中Q(x)是某個(gè)多項(xiàng)式函數(shù).尸=Q(x)e必尸 =kQ(x) +Q'(x)e 入y" =k2Q(x) +2kQ '(X)+ Q x)e代入方程(1)并消去e衣得Q "(X)+(2幾 + p)Q (x) +仏2 + p幾+ q)Q(x)二 Pm(x)以下分三種不同的情形,分別討論函數(shù)

13、Q(x)的確定方法：2(1)若k不是方程式的特征方程r + pr + q = 0的根，即 幾+ pk中q H0 ,要使式(5)的兩端恒等，可令Q(x)為另一個(gè) m次多項(xiàng)式Qm(x):Qm(x) =b0 +b1X+ b2X2 + +bmXm代入 式，并比較兩端關(guān)于x同次幕的系數(shù)，就得到關(guān)于未知數(shù)b0，b1/ -，bm的m +1個(gè)方程.聯(lián)立解方程組可以確定出bi (i =0,1，,m).從而得到所求方程的特解為尸=Qm(x)e 必是特征方程2r + pr + q = 0的單根，即+ p入 +q =0,2入+ P H0,要使式成立，則Q'(x)必須要是m次多項(xiàng)式函數(shù)，于是令Q(x) =xQm

14、(x)用同樣的方法來確定 Qm(x)的系數(shù)bi =0,1，m). 若A是特征方程r2 + pr + q =0的重根，即F + p k + q =0,2k + P =0.要使(5)式成立，則Q7x)必須是一個(gè)m次多項(xiàng)式，可令Q(x) =x2Qm(x)用同樣的方法來確定 Qm(x)的系數(shù).綜上所述，若方程式(1)中的f(x) =Pm(x)ek，則式(1)的特解為r =xkQm(x)e"其中Qm(x)是與Pm(x)同次多項(xiàng)式，k按A不是特征方程的根，是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4求方程y" + 2y' = 3eS的一個(gè)特解.解 f(x)是 p m

15、(x)e"型，且 Pm(x) = 3, A = 2對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為r2 + 2r = 0，特征根根為 A = 0,2 = -2 .=-2是特征方程的單根,令=xb0e'X，代入原方程解得故所求特解為bo3=23_2xy* = 一 xe2例5求方程y"2y' = (x-1)ex的通解.解 先求對(duì)應(yīng)齊次方程 y"-2y' + y=0的通解.特征方程為 r2-2r+1=0,齊次方程的通解為Y = (G +C2X)ex.再求所給方程的特解k=1,Pm(X)= X1由于幾=1是特征方程的二重根，所以y* = x2(ax +b)eX把它代入所給

16、方程，并約去ex得6ax +2b =x 1比較系數(shù)，得M2/X 1、 X于是所給方程的通解為y =x (- -)e6 211y =+*=(& + C2 - x- x3)eX263. f(X)= Acosx 中 Bsin Bx型的解法f（X）= Acos®x+Bsin«x,其中 A、B、 均為常數(shù).此時(shí),方程式成為y"+ p y + q = Acosx + Bsi n ©x這種類型的三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，仍屬同一類型，因此方程式 的特解 f也 應(yīng)屬同一類型，可以證明式（7）的特解形式為y* =xk(acos©x +bsi nox)其中a,b為待

17、定常數(shù).k為一個(gè)整數(shù). 2當(dāng)±© i不是特征方程r + pr +q = 0的根，k取0;當(dāng)±© i不是特征方程+ pr+q=O的根，k取1；例6求方程y " + 2y' 3y = 4sinx的一個(gè)特解.解=1,±© i =±i不是特征方程為r2+2r-3=0的根，k=0.因此原方程的特解形式為y* = acosx +bsin x于是y* = -asin x +bcosxy*" = -acosx bsin x將yM, y: y * "代入原方程，得4a+2b =0l-2a -4b = 4解得a,5524 .原方程的特解為：y* = cosx - sin x55例7求方程y ”2y3y =ex +sin x的通解.解 先求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解 丫.對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2-2r -3 =0ri=-1,2=35ye+C2e3x再求非齊次方程的一個(gè)特解y*.由于f（x）=5cos2x +e,根據(jù)定理4,分別求出方程對(duì)應(yīng)的右端項(xiàng)為f1（x） =ex, f2（x） =sinx 的特解 y