7-8-1+幾何計數(shù)(一).題庫版

1、2. 熟記一些計數(shù)公式及其推導(dǎo)方法；3. 根據(jù)不同題目靈活運用計數(shù)方法進行計數(shù).本講主要介紹了計數(shù)的常用方法枚舉法、標(biāo)數(shù)法、樹形圖法、插板法、對應(yīng)法等，并滲透分類計數(shù)和用 容斥原理的計數(shù)思想.知識要點目頃匸一、幾何計數(shù)在幾何圖形中，有許多有趣的計數(shù)問題，如計算線段的條數(shù)，滿足某種條件的三角形的個數(shù)，若干個圖 分平面所成的區(qū)域數(shù)等等.這類問題看起來似乎沒有什么規(guī)律可循，但是通過認(rèn)真分析，還是可以找到一些 處理方法的.常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等.n條直線最多將平面分成1 2 n (n n 2)個部分；n個圓最多分平面的部分?jǐn)?shù)為n(n-1)+2 ; n個三角形將平面最多分成

2、23n(n-1)+2部分；n個四邊形將平面最多分成 4n(n-1)+2部分在其它計數(shù)問題中，也經(jīng)常用到枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等.解題時需要仔細(xì)審題、 綜合所學(xué)知識點逐步求解.排列問題不僅與參加排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)；組合問題與各事物所在的先 后順序無關(guān)，只與這兩個組合中的元素有關(guān).二、幾何計數(shù)分類數(shù)線段：如果一條線段上有n+1個點(包括兩個端點)(或含有n個基本線段”)，那么這n+1個點把這條線段一共分成的線段總數(shù)為n+( n-1)+2+1條數(shù)角：數(shù)角與數(shù)線段相似，線段圖形中的點類似于角圖形中的邊.數(shù)三角形：可用數(shù)線段的方法數(shù)如右圖所示的三角形(對應(yīng)法)

3、，因為DE上有15條線段，每條線段的兩端點與點A相連，可構(gòu)成一個三角形，共有15個三角形，同樣一邊在BC上的三角形也有15個，所以圖中共有30個三角形.數(shù)長方形、平行四邊形和正方形：一般的，對于任意長方形(平行四邊形) 縱邊上共有m條線段，則圖中共有長方形(平行四邊形)mn個.，若其橫邊上共有n條線段,例題精講模塊一、簡單的幾何計數(shù)【例11【考點】簡單的幾何計數(shù)【關(guān)鍵詞】2008年，迎春杯,【解析】【答案】如圖：6條.6條【例2】下面的表情圖片中:(A)3簡單的幾何計數(shù)【考點】【關(guān)鍵詞】2009年，第【解析】【答案】通過觀察可知, 稱軸的個數(shù)為C【鞏固】【難度】1星【題型】填空六年級，初賽，試

4、題，沒有對稱軸的個數(shù)為()4(C)5(D)6【難度】2星【題型】選擇14屆，華杯賽，初賽，第 1題第1, 2, 5這三張圖片是有對稱軸的，其他的 5張圖片都沒有對稱軸，所以沒有對 5,正確答案是(B)Co中心對稱圖形是：繞某一點旋轉(zhuǎn) 對折后兩部分完全重合的圖形，180°后能和原來的圖形重合的圖形，軸對稱圖形是：沿著一條直線 圖的4個圖形中，既是中心對稱圖形又是的軸對稱圖形的有簡單的幾何計數(shù)【難度】2星【題型】填空【考點】【關(guān)鍵詞】2009年，希望杯，第七屆，五年級，一試，第【解析】【答案】共有3個，除第二個外其余都是。3個【例3】兩條直線相交所成的銳角或直角稱為兩條直線的并且 夾角”

5、只能是30° 60°或90°問：至多有多少條直線? 簡單的幾何計數(shù)【難度】1星【題型】填空12題【考點】【關(guān)鍵詞】2005年，第十屆，華杯賽，初賽，試題，第 至多有6條直線，如圖：【解析】夾角”現(xiàn)平面上有若干條直線，它們兩兩相交,【答案】【例4】下圖是王超同學(xué)為”環(huán)境保護專欄”設(shè)計的一個報頭，用到基本的幾何圖形：線段、三角形、四邊 形、圓、弧線，其中用得最多的一種圖形是【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】2星【關(guān)鍵詞】2003年，希望杯，第一屆，四年級，二試，第9題【解析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)是：線段最多【答案】線段最多【考點】【解析】【答案】【鞏固】簡單的幾何計數(shù)【難度】2星

6、【題型】解答在5 5的圖中，邊長為1的正方形51 2個；邊長為2的正方形42個；邊長為3的正方形32個；邊長 為4的正方形22個；邊長為5的正方形有12，總共有 52 42 32 22 12 55 （個）正方形.在6 4 的圖中邊長為1的正方形6 4個；邊長為2的正方形5 3個；邊長為3的正方形4 2個；邊長為5 3 4 2 3 142（個）.【難度】2星4的正方形3 1個；總共有 6 442個請看下圖，共有多少個正方形?【考點】【解析】【答案】簡單的幾何計數(shù)【難度】2星假設(shè)最小的正方形邊長為 1，則面積為1的正方形有9個；面積為4的正方形有4個；面積為16的 正方形有1個因此共有 9+4+1

7、=14個.【鞏固】如下圖是一個圍棋盤， 它由橫豎各19條線組成. 方形？問：圍棋盤上有多少個右圖中的小正方形一樣的正簡單的幾何計數(shù)【關(guān)鍵詞】第二屆，華杯賽，初賽，試題，第【解析】我們先在右圖小正方形中找一個代表點，例如右下角的點在圍棋盤上，仔細(xì)觀察點 E應(yīng)在什么地方通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)：【考點】【難度】3星【題型】填空15題E作為代表點.然后將小正方形按題意放14個【答案】答：共有100個。100個【例6】【考點】【解析】【答案】【例7】【考點】【解析】【答案】【鞏固】個正方形.簡單的幾何計數(shù)【難度】每個4 4正方形中有：邊長為 1的正方形有42個；有22個；邊長為4的正方形有12個；總共有42

8、 32 22 12形，它們重疊部分是 4個2 2的正方形.因此，圖中正方形的個數(shù)是130邊長為2的正方形有32個；邊長為3的正方形2 22 130（個）正方形.現(xiàn)有5個4 4的正方30 5 5 4 130.圖中有個正方形.簡單的幾何計數(shù)【難度】2星5 5的正方形1個；4 4的正方形4個；3 3的正方形5個；2 13個.共27個.272的正方形4個；11的正方形數(shù)一數(shù)：圖中共有個正方形。【題型】填空二試，第10題【考點】【關(guān)鍵詞】2003年，希望杯，第一屆，四年級, 按面積從小到大 4+17+9+4+1=35個 35個簡單的幾何計數(shù)【難度】3星【解析】【答案】【鞏固】圖中共有個正方形。簡單的幾何

9、計數(shù)【難度】3星【題型】填空【考點】【關(guān)鍵詞】2008年，第6屆，走美杯，4年級，決賽，第 7題【解析】設(shè)最小正方形的邊長為1，那么邊長為1的正方形有2個，邊長為2的正方形有6個，邊長為4的正【答案】【例8】簡單的幾何計數(shù)【難度】3星【考點】【關(guān)鍵詞】2006年，迎春杯，中年級，初試,【解析】【答案】【鞏固】分類計算邊長為1的正方形有12個; 的有1個；邊長為1個對角線的有12 1 4 1 1 1 20 （個） 20個圖1中共有個正方形?！究键c】【關(guān)鍵詞】2004年，希望杯，第二屆,【解析】【答案】【例9】【考點】 【解析】【答案】簡單的幾何計數(shù)5+4+1+5+4+1=2020個【難度】3星五

10、年級,圖中共有多少個長方形?【題型】填空4題長為2的正方形有1個；邊長為1個；邊長為2個對角線的有1個;3的正方形有4個；邊長為4 所以一共有：【題型】填空 一試，第12題簡單的幾何計數(shù)【難度】利用長方形的計數(shù)公式：橫邊上共有邊形）mn 個.所以有（4+3+2+1） X （4+3+2+1 ） =100 .100n條線段，縱邊上共有 m條線段,則圖中共有長方形（平行四方形有5個，邊長為8的正方形有2個，邊長為12的正方形有1個，邊長為16的正方形有1個，所以 總共有2 6 5 2 1 1 17 （個）。17個個正方形?！纠?0】數(shù)一數(shù)，下邊圖形中有個平行四邊形.【題型】填空4題【例11】圖5中有

11、.個平行四邊形?！究键c】簡單的幾何計數(shù)【難度】1星【關(guān)鍵詞】2010年，迎春杯，四年級，初試，【解析】本題是一道幾何計數(shù)問題 ，應(yīng)不漏不重地按規(guī)律去數(shù) ，每相鄰兩個三角形可組成一個平行四邊形，共計6個.【答案】6個【考點】簡單的幾何計數(shù)【關(guān)鍵詞】2004年，第12+8+3=2323【解析】【答案】【例12】如右圖中共有【難度】2星2屆，希望杯，4年級，1試7層小三角形，求白色小三角形的個數(shù)與黑色小三角形的個數(shù)之比?！究键c】簡單的幾何計數(shù)【關(guān)鍵詞】第三屆，華杯賽，初賽，試題，第【難度】2星【解析】白色小三角形個數(shù)=1 + 2 + 6 =10題d 6 6 = 21,黑色小三角形個數(shù)=1十2 + 7

12、 = d 7)72 2=28,所以它們的比= 里=3，白色與黑色小三角形個數(shù)之比是284【答案】【例13】如圖，由小正方形構(gòu)成的長方形網(wǎng)格中共有線段條?！究键c】簡單的幾何計數(shù)【難度】2【題型】填空【關(guān)鍵詞】2008年，希望杯，第六屆，六年級，一試，第 【解析】【答案】8題橫的有 5*1+2+3+4+5)=75 條，豎的有 6*1+2+3+4)=60 條，一共 135條135條【例14】圖中線段的條數(shù)比三角形的個數(shù)多【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】2星【關(guān)鍵詞】2008年，學(xué)而思杯，2年級，第6題通過比較發(fā)現(xiàn)，線段的條數(shù)比三角形的個數(shù)多的正好是6【解析】【答案】6條斜邊。【例15】右圖中共有個三角

13、形。【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2007年，第12屆，華杯賽，五年級，決賽，第【解析】由1個，2個，3個，4個，6個，8個小三角形組成的三角形分別有：8, 7, 4, 3, 1, 1個，也即一共有 8+7+4+3+2=24 個。【答案】24【例16】如圖AB , CD ,EF , MN互相平行，則圖中梯形個數(shù)與三角形個數(shù)的差是多少【考點】【解析】【答案】簡單的幾何計數(shù) 圖中共有三角形個.20個【難度】3星(1+2+3+4) M=40 個.梯形（1+2+3+4）X（ 2+4） =60 ;所以梯形比三角形多 60-40=20【例17】右邊三個圖中, 有個。都有一些三角形

14、，在圖A中，有個；在圖B中，有個；中圖C中,【難度】2星1屆，希望杯， 圖B 8個；【題型】填空4年級，1試圖C 5個【考點】簡單的幾何計數(shù)【關(guān)鍵詞】2003年，第【解析】圖A 5個；【例18】請看下圖，共有多少個三角形?【考點】【解析】【答案】2星【題型】填空簡單的幾何計數(shù)【難度】獨立的三角形有7個，由4個三角形組成的三角形有1個，加上最大的三角形，因此共有7+1+1=9個三角形.9【例19】右圖中共有個三角形.12個三角形;6個三角形2個三角形【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2010年，迎春杯，三年級，初賽， 2題【解析】分類枚舉得到：邊長是1個單位長度的有邊長是2

15、個單位長度的有邊長是3個單位長度的有共有12 6 2 20 （個）【答案】20個【例20】右圖中三角形共有個.【考點】簡單的幾何計數(shù)【關(guān)鍵詞】2009年，迎春杯, 【解析】【難度】4星五年級，初賽, 7個.4題【答案】不可分割的三角形有由2個不可分割的三角形構(gòu)成的三角形有 由3個不可分割的三角形構(gòu)成的三角形有 由5個不可分割的三角形構(gòu)成的三角形有 由7個不可分割的三角形構(gòu)成的三角形有 一共有三角形7 6 4 2 1 20個.20個6 個.4 個.2 個.1 個.【鞏固】數(shù)一數(shù)圖中有個三角形.簡單的幾何計數(shù)【難度】4星【題型】填空【考點】【關(guān)鍵詞】2007年，第5屆，走美杯，3年級，初賽，第14

16、題【解析】【答案】分類枚舉，只由一個三角形構(gòu)成的有6個，由兩個小三角形組合而成的三角形有3個。由三個小三角形組合而成的三角形有 3個，所以一共有6 3+3=12 （個）。12個【鞏固】數(shù)一數(shù)，圖中有【考點】【難度】簡單的幾何計數(shù)【關(guān)鍵詞】2006年，希望杯，第四屆,【解析】【答案】4星五年級,【題型】填空二試，第 9題【例21】10個10個圖中共有個三角形?！究键c】簡單的幾何計數(shù)【難度】【關(guān)鍵詞】2009年，第7屆，希望杯，4年級，1試【解析】從圖形所包含的小塊數(shù)的個數(shù)來數(shù)，包含一塊的三角形有10個，包含兩塊的三角形有10個，包含三塊的三角形有 10個，包含五塊三角形有 5個，所以共有35個。

17、【答案】35個【例22】在圖中，一共有10 個三角形,40 條線段.【題型】填空3題總共有 5個；另外還有5個較大的中間五角星中有 5條長線段，每條6 5 30 （條）線段，30 5 5 40 .【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】4星【關(guān)鍵詞】2010年，學(xué)而思杯，2年級，第【解析】一共有10個三角形.五角星的每個角上分別有 1個小三角形, 三角形，所以共有 5 5 10 （個）三角形.一共有40條線段. 長線段上共可以數(shù)出：3 2 16 （條）線段，那么五角星中共有考點 圖形的計數(shù)【答案】三角形10個，線段40個【例23】用10根火柴棒首尾順次連接接成一個三角形，能接成不同的三角形有【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】3星【題