根與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)題(2)

1、元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系習(xí)題主編：閆老師準(zhǔn)備知識回顧:次方程 aX2 bX c 0（ a 0）的求根公式為b Jb2xz4acX2a2、一元二次方程2 ax（1）當(dāng)0時，（2）當(dāng)0時，（3）當(dāng)0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根。方程沒有實(shí)數(shù)根。(b2 4ac 0)。1、一 元bX c 0（a0）根的判別式為:方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。反之：方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則根，則;方程沒有實(shí)數(shù)根，則b2 4ac；方程有兩個相等的實(shí)數(shù)韋達(dá)定理相關(guān)知識1若一元二次方程ax2 bX c 0（a 0）有兩個實(shí)數(shù)根Xi和X2 ，那么XiX2Xl ?X2。我們把這兩個結(jié)論稱為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,簡稱 韋達(dá)定理

2、。2、如果一元二次方程X2pxq 0的兩個根是X1 和X2，則 X1X2X1 ?X23、以Xi和X2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1 )是 X2 (Xj X2)X X! ?X2 0；有一根為1，則a b c；有一根為 1，則a b c；若兩根互為倒數(shù),則c;若兩根互為相反數(shù)，則b4、在一元二次方程 ax2 bX c 0（a0）中，有一根為 0，則c5、二次三項式的因式分解（公式法）在分解二次三項式ax2 bx c的因式時，如果可用公式求出方程 ax2 bx c 0(a 0)的兩個根x2，那么 ax2bx c a(x x1)(xX2).如果方程ax2 bx c 0(a0)無根，則此二次三項式a

3、x2 bx c不能分解.基礎(chǔ)運(yùn)用例1:已知方程3x2 (k 1)x2 0的一個根是1,則另一個根是解:變式訓(xùn)練:1、2、已知X 1是方程3x2 2x k 0的一個根，則另一根和k的值分別是多少? 方程X2 kx 6 0的兩個根都是整數(shù)，則k的值是多少？2:設(shè)xi和X2是方程2x2 4x 3 0，的兩個根，禾I用根與系數(shù)關(guān)系求下列各式的值:/八22(1) X1X2(2) (X1 1)(X2 1)(3)-X1X2(4) (xi X2)變式訓(xùn)練:1、已知關(guān)于X的方程3x2 10X k 0有實(shí)數(shù)根，求滿足下列條件的k值:(1)有兩個實(shí)數(shù)根。(2)有兩個正實(shí)數(shù)根。(3)有一個正數(shù)根和一個負(fù)數(shù)根。(4)兩

4、個根都小于2。2、已知關(guān)于x的方程X2 2ax a(1)求證：方程必有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。(2)a取何值時，方程有兩個正根。(3)a取何值時，方程有兩異號根，且負(fù)根絕對值較大。(4)a取何值時，方程到少有一根為零?選用例題:例5、若方程X2 4x m0與X2 X 2m 0有一個根相同，求m的值。例3:已知方程ax2bxc 0(a 0)的兩根之比為1:2,判別式的值為1,則a與b是多少?例4、已知關(guān)于x的方程X22(m 2)x m2 5 0有兩個實(shí)數(shù)根，并且這兩個根的平方和比兩個根的積大16,求m的值?；A(chǔ)訓(xùn)練:1 .關(guān)于X的方程ax2 2x1 0中，如果a 0，那么根的情況是(A) 有兩個相等

5、的實(shí)數(shù)根(B) 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根(C) 沒有實(shí)數(shù)根(D) 不能確定2 .設(shè)X1,X2是方程2x2 6x 20的兩根，貝U X1X22的值是()(A) 15 (B) 12(C) 6(D) 33. 下列方程中，有兩個相等的實(shí)數(shù)根的是(A)2y2+5=6y(B)x2+5=2/5 x(C)羽 x2/2x+2=0(D)3x2 26x+1=04. 以方程X2+ 2x 3 = 0的兩個根的和與積為兩根的一元二次方程是()(A) y2+5y 6=0 ( B) y2+5y+ 6=0(C) y2 5y+ 6=0(D) y2 5y 6=05. 如果X1，X2是兩個不相等實(shí)數(shù)，且滿足 X12 2x1= 1，X22

6、 2x2 = 1，那么X1 - X2等于()(A) 2( B) 2(C) 1( D 16.關(guān)于x的方程ax2 2x+ 1 = 0中，如果a<0，那么根的情況是(A)有兩個相等的實(shí)數(shù)根(B) 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根(C) 沒有實(shí)數(shù)根(D)不能確定7.設(shè)xi, X2是方程2x2 6x+ 3= 0的兩根，貝U xi2 + x/的值是(A) 15(B) 12(C) 6( D 38. 如果一元二次方程X2+ 4x + k2= 0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，那么9. 如果關(guān)于x的方程2x2(4k+1)x + 2 k2 1 = 0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是,Xi X2 =10. 已知X1，X2是方

7、程2X 7x + 4 = 0的兩根，則X1 + X2=(X1 X2)2 =11. 若關(guān)于X的方程(m2 2)x2 (m 2)x + 1 = 0的兩個根互為倒數(shù)，則、能力訓(xùn)練:1、不解方程，判別下列方程根的情況：(1) x2 x=5 9x 2 6羽 +2=0(3)x2 x+2=02、當(dāng)m 時，方程x2+mx+4=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)m 時，方程mx+4x+1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;3、已知關(guān)于x的方程10x2 (m+3)x+m- 7=0,若有一個根為0,貝U m ,3這時方程的另一個根是;若兩根之和為一7 ,則m=，這時方程的5兩個根為.4、已知3寸2是方程x2+mx+7=0的一個根，求另

8、一個根及 m的值。5、求證：方程(m2+1)x2 2mx+(m+4)=0沒有實(shí)數(shù)根。6、求作一個一元二次方程使它的兩根分別是 15和1+/5。7、設(shè)Xi,X2是方程2x2+4x 3=0的兩根，利用根與系數(shù)關(guān)系求下列各式的值:(X 1 + 1)(X2+1)X2X1+ X1X22(3) Xi + X 1X2+2 X 1m=&如果X2 2(m+1)x+m+5是一個完全平方式，則 9、方程2x(mx 4)=x2 6沒有實(shí)數(shù)根，則最小的整數(shù) m= 10、已知方程2(x 1)(x 3m)=x(m 4)兩根的和與兩根的積相等，則m= 11、設(shè)關(guān)于X的方程X2 6x+k=0的兩根是m和n且3m+2n=

9、20則k值為2 1(4) X1X2 +- X 112、設(shè)方程4x2 7x+3=0的兩根為Xi,X2，不解方程，求下列各式的值：22' I(1) X 1 +X2(2)X1 X2(3) JXj 寸 X213、實(shí)數(shù)S、t分別滿足方程19s 2+ 99 s + 1= 0和且19+ 99 t + t 2= 0求代數(shù).st + 4s + 1 ” 式的值。14、已知a是實(shí)數(shù)，且方程x2+2ax+1=0有兩個不相等的實(shí)根，試判別方程x2+2ax+11IQ QQ2 (a x a 1)=0 有無實(shí)根?15、求證：不論k為何實(shí)數(shù)，關(guān)于x的式子(x - 1)(x 2) k2都可以分解成兩個 一次因式的積。16

10、、實(shí)數(shù)K在什么范圍取值時，方程kx2 2(k 1)x (k 1)0有實(shí)數(shù)正根?訓(xùn)練(一)1、不解方程，請判別下列方程根的情況；(1)2t 2+3t 4=0,; (2)16x2+9=24x,;(3)5(u 2+1) 7u=0,;2、若方程x2 (2m 1)x+m2+1=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是_p= ,q=3、一元二次方程x2+ px+q=0兩個根分別是2+J3和2(3，則4、 已知方程3x2 19x+m=0的一個根是1,那么它的另一個根是 , m=;5、若方程x2+mx- 1=0的兩個實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，那么 m的值是_6、m,n是關(guān)于x的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的兩個實(shí)數(shù)根，

11、則代數(shù)式nm=。7、 已知關(guān)于x的方程x2 (k+1)x+k+2=0的兩根的平方和等于6,求k的值； &如果a和P是方程2x2+3x 1=0的兩個根，利用根與系數(shù)關(guān)系，求作一個一11兀二次方程，使它的兩個根分別等于a+= 和P +；Pa9、已知a,b,c是三角形的三邊長，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，求證：這個三角形是正三角形10.取什么實(shí)數(shù)時，二次三項式 2x2(4k+1)x+2k 2- 1可因式分解.11.已知關(guān)于X的一元二次方程m 2 X 2+ 2(3m) x + 1= 0的兩實(shí)數(shù)根為a,B,1 1若8=+B，求S的取值范圍。1、已

12、知方程2、如果關(guān)于訓(xùn)練(二)X2 3x+1=0 的兩個根為 a , P，貝Ua + B =, aB =；X的方程X2 4x+m=0與X2 X 2m=0有一個根相同，則 m的值3、已知方程2x2 3x+k=0的兩根之差為22，則k=4、若方程x2+(a2 2)x 3=0的兩根是1和一3，貝U a= ;5、 方程4x2 2(a-b)x ab=0的根的判別式的值是;6、 若關(guān)于X的方程x2+2(m 1)x+4m2=0有兩個實(shí)數(shù)根，且這兩個根互為倒數(shù)，那么m的值為;7、已知Pv0,qv0，則一元二次方程X2+px+q=0的根的情況是_8以方程X2 3x 1=0的兩個根的平方為根的一元二次方程是9、設(shè)X

13、1,X2是方程2x2 6x+3=0的兩個根，求下列各式的值：(1)X 12X2+XiX22丄 1X1X210. m取什么值時，方程 2x2 (4m+1)x+2m 1=0(1)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，(2)有兩個相等的實(shí)數(shù)根，(3)沒有實(shí)數(shù)根;11.設(shè)方程x2+ px+q=0兩根之比為1:2，根的判別式 =1，求p,q的值。12.是否存在實(shí)數(shù)k，使關(guān)于x的方程9x2 (4k 7)x 6k20的兩個實(shí)根X1,X2，3X2滿足0 =2，如果存在，試求出所有滿足條件的k的值，如果不存在，請說明理由。元二次方程根與系數(shù)關(guān)系專題訓(xùn)練主編：閆老師1、如果方程ax3、以2和3為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）

14、是 4、如果關(guān)于X的一元二次方程x22 x+a=0的一個根是172，那么另一個根 是, a的值為。 5、如果關(guān)于X的方程x2+6x+k=0的兩根差為2,那么k= 6、已知方程2x2+mx- 4=0兩根的絕對值相等，貝U m= 元二次方程px2+qx+r=0（p工0）的兩根為0和1,則q : p= &已知方程X2 mx+2=0的兩根互為相反數(shù)，則mi9、已知關(guān)于X的一元二次方程（a2 1）x2 （a+1）x+1=0兩根互為倒數(shù)，則 a=。 10、已知關(guān)于X的一元二次方程mX 4x 6=0的兩根為xi和X2,且xi+X2= 2,則 m=, （X 1+X2）為 X2 =。 已知方程3x2+x

15、 1=0,要使方程兩根的平方和為一，那么常數(shù)項應(yīng)改9+bx+c=0（a工0）的兩根是X1、X2, 那么 X1+X2=, X1 X2=2、已知x1、x2是方程2x2+3x 4=0的兩個根,另P么：xi+X2=；X1 X2=1Xi1X2x2i+x22=；（X1+1）（X2+1）=X1 X2 I7、ll、為。12、已知一元二次方程的兩根之和為5,兩根之積為6,則這個方程為13、若a、P為實(shí)數(shù)且|a +3 3 I +(2 aB )2=0,則以a、P為根的一元 次方程為。(其中二次項系數(shù)為1)14、已知關(guān)于X的一元二次方程X2 2(m 1)x+m2=0。若方程的兩根互為倒數(shù), m=;若方程兩根之和與兩根

16、積互為相反數(shù)，則 m=15、已知方程x2+4x 2m=0勺一個根a比另一個根3小4，則a =; m=。16、已知關(guān)于X的方程X2 3x+k=0的兩根立方和為0,則k=17、已知關(guān)于X的方程X2 3mx+2(m- 1)=0的兩根為x1> x2,且丄 丄 -x1 x24m=1&關(guān)于X的方程2x2 3x+m=0當(dāng)時，方程有一個正根，一個負(fù)根；當(dāng) m時，方程有兩個正數(shù)根；當(dāng) 時，方程有一個根為0。19、若方程 X2 4x+m=(與X2 X 2m=0t一個根相同，貝U m=20、21、是求作一個方程，使它的兩根分別是方程x2+3x 2=0兩根的二倍，則所求的方 程為元二次方程2x2 3x+

17、1=0的兩根與X2 3x+2=0的兩根之間的關(guān)系22、已知方程5x2+mx- 10=0的一根是一5,求方程的另一根及m的值。23、已知2+73是X2 4x+k=0的一根，求另一根和k的值。24、證明：如果有理系數(shù)方程X2+px+q=0有一個根是形如A+TB的無理數(shù)(A、B勻 為有理數(shù))，那么另一個根必是a VB。25、不解方程，判斷下列方程根的符號，如果兩根異號，試確定是正根還是負(fù)根 的絕對值大？(1)x2 u3x 50,(2)x22 晶 43026、已知xi和X2是方程2x2 3x 1=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各 式的值：33X 1X2+X1X 2 27、已知xHx2是方程2x

18、2 3x 1=0的兩個根，禾用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各 式的值：12X2丄2Xi28、已知X1和X2是方程2x2 3x 1=0的兩個根，禾用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各 式的值：(x21 x22)229、已知X1和X2是方程2x2 3x 1=0的兩個根，禾U用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各 式的值：X1 X230、已知xHx2是方程2x2 3x 1=0的兩個根，禾I用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各 式的值：2X131、已知X1和X2是方程2x2 3x 1=0的兩個根，禾用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各 式的值：5225X 1 X 2+X 1 X 232、求一個一元二次方程，使它的兩個根是 2+血 和2后。33、已知

19、兩數(shù)的和等于6,這兩數(shù)的積是4,求這兩數(shù)。34、造一個方程，使它的根是方程3x2 7x+2=0的根；(1)大3; (2)2倍；(3)相反 數(shù)；倒數(shù)。35、方程x2+3x+m=0的m是什么數(shù)值時，方程的兩個實(shí)數(shù)根滿足：（1） 一個根比 另一個根大2； （2） 一個根是另一個根的3倍；（3）兩根差的平方是17。36、已知關(guān)于x的方程2x2 （m 1）x+m+1=（的兩根滿足關(guān)系式xi -X2=1,求m的值 及兩個根。37、a、p是關(guān)于X的方程4x2 4mx+m+4m=0勺兩個實(shí)根，并且滿足9（1）（1） 1，求m勺值。10038、已知一元二次方程8x2 (2m+1)x+m- 7=0,根據(jù)下列條件，

20、分別求出 m勺值:(1) 兩根互為倒數(shù)；(2) 兩根互為相反數(shù)；(3) 有一根為零；有一根為1;1(5)兩根的平方和為一。6439、已知方程x2+mx+4=0X2 (m 2)x 16=0有一個相同的根，求m的值及這個 相同的根。40、已知關(guān)于x的二次方程X2 2(a 2)x+a2 5=0有實(shí)數(shù)根，且兩根之積等于兩 根之和的2倍，求a的值。41、已知方程x2+bx+c=0有兩個不相等的正實(shí)根，兩根之差等于3,兩根的平方和 等于29,求b、c的值。42、設(shè)：3a2 6a11=0, 3b2 6b11=0且ab,求a4 b4的值。43、試確定使x2+(a b)x+a=O的根同時為整數(shù)的整數(shù)a的值。44

21、、已知一元二次方程(2k 3)x2+4kx+2k 5=0,且4k+1是腰長為7的等腰三角形 的底邊長，求：當(dāng)k取何整數(shù)時，方程有兩個整數(shù)根。45、已知：a、p是關(guān)于X的方程x2+(m 2)x+1=0的兩根，求(1+ma + a 2)(1+m B +B 2)的值。46、已知xi，X2是關(guān)于x的方程X2+ px+q=0的兩根，xi+1、X2+1是關(guān)于x的方程 x2+qx+p=0的兩根，求常數(shù)P、q的值。47、已知XI、X2是關(guān)于x的方程x2+n2x+n=0的兩個實(shí)數(shù)根；yi、y2是關(guān)于y的方程 y2+5my+7=0勺兩個實(shí)數(shù)根，且xi yi=2,x2 y2=2,求m n的值。48、關(guān)于x的方程n2

22、x2+(2m+3)x+1=0有兩個乘積為1的實(shí)根，x2+2(a+m)x+2a n2+6m- 4=0有大于0且小于2的根。求a的整數(shù)值。49、關(guān)于x的一元二次方程3x2 (4m21)x+m(m+2)=0的兩實(shí)根之和等于兩個實(shí)根 的倒數(shù)和，求m勺值。50、已知：a、p是關(guān)于X的二次方程：(m 2)x 2+2(m- 4)x+m 4=0的兩個不等 實(shí)根。(1)若m為正整數(shù)時，求此方程兩個實(shí)根的平方和的值； 若a 2+P 2=6時，求m勺值。51、已知關(guān)于x的方程m/ nx+2=0兩根相等，方程x2 4mx+3門=的一個根是另一 個根的3倍。求證：方程x2 (k+n)x+(k m)=0一定有實(shí)數(shù)根。52

23、、關(guān)于X的方程x2 2mx丄n2=0，其中m n分別是一個等腰三角形的腰長和底4邊長。(1)求證：這個方程有兩個不相等的實(shí)根;(2)若方程兩實(shí)根之差的絕對值是8,等腰三角形的面積是12,求這個三角形 的周長。53、已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有兩個實(shí)根X1和X2(x i工X2)，在數(shù)軸 上,表示X2的點(diǎn)在表示X1的點(diǎn)的右邊，且相距P+1,求P的值。54、已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為a、p，且兩個關(guān)于x的方程 x2+( a +1)x+ p 2=0與x2+( p +1)x+ a 2=0有唯一的公共根，求a、b、c的關(guān)系式。55、B,如果關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次

24、方程x2+2(m+3)x+n2+3=0有兩個實(shí)數(shù)根a、 那么(a 1)2+( B 1)2的最小值是多少？56、已知方程2x2 5mx+3n=的兩根之比為2 : 3,方程x2 2nx+8m=0勺兩根相等 (mnM 0)。求證：對任意實(shí)數(shù)k，方程mx2+ (n+k 1)x+k+1= 0恒有實(shí)數(shù)根。57、(1)方程x2 3x+m=0的一個根是 丘，則另一個根是。(2)若關(guān)于y的方程y2 my+n=0的兩個根中只有一個根為0,那么m, n應(yīng)滿58、不解方程，求下列各方程的兩根之和與兩根之積 x2+3x+1=0;59、不解方程，求下列各方程的兩根之和與兩根之積 3x2 2x 1=0;60、不解方程，求下

25、列各方程的兩根之和與兩根之積 2x2+3=0;61、不解方程，求下列各方程的兩根之和與兩根之積22x +5x=0。62、已知關(guān)于x的方程2x2+5x=m的一個根是一2,求它的另一個根及m的值。63、已知關(guān)于x的方程3x2- 1=tx的一個根是一2,求它的另一個根及t的值。64、設(shè)xi, X2是方程3x2- 2x- 2=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式 的值：(1)(X1 4)(X2 4)；xi3x24+xi4x23；,c11X2 一 3x23x1x13+x23。(3) x165、設(shè)X1, X2是方程2X2 4x+1=0的兩個根，求| xi X2 I的值。66、已知方程x2+mx+12

26、=0的兩實(shí)根是xi和X2,方程x2 mx+n=0的兩實(shí)根是xi+7 和X2+7,求m和n的值。67、以2, 3為根的一元二次方程是()A.x2+x+6=0C.x2 x+6=0B.x2+x 6=0D.x2 x 6=068、以3, 1為根，且二次項系數(shù)為()A.3X2 2x+3=03的一元二次方程是B.3x2+2x 3=0D.3x2+6x 9=0C.3X2 6x 9=0 69、兩個實(shí)數(shù)根的和為2的一元二次方程可能是()B.x2 2x+3=0D.x2 2x 3=0A.x2+2x- 3=02C.X +2x+3=0 70、以一3， 2為根的一元二次方程為_ 以匹，旦為根的一元二次方程為2 2以5, 5為

27、根的一元二次方程為 以4,-為根的一元二次方程為 471、已知兩數(shù)之和為一7,兩數(shù)之積為12,求這兩個數(shù)。72、已知方程2x2 3x 3=0的兩個根分別為a, b,利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一個 一元二次方程，使它的兩個根分別是：(1)a+1.b+1罟a b 73、一個直角三角形的兩條直角邊長的和為 6cm,面積為2 cm2,求這個直角三 角形斜邊的長。74、在解方程X2+px+q=0時，小張看錯了 P,解得方程的根為1與3;小王看錯 了q,解得方程的根為4與2。這個方程的根應(yīng)該是什么？，另一個根75、關(guān)于X的方程x2 ax 3=0有一個根是1，則a= 是。76、若分式x2 2x 3X 1的值為0

28、,則x的值為()A. 13或 1B.3C. 1 或 3D.B.n=0 且 m> 0C.m=0 且 n w 0D.n=0且mW 077、若關(guān)于y的一元二次方程y2+my+n=0的兩個實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則 ()A.m=0 且nA 0 78、已知xi, X2是方程2x2+3x 1=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各 式的值：(1)(2xi 3)(2x2 3);(2)X13X2+X1X23。79、已知 a2=1 -a, b2=1 - b,且a b,求(a 1)(b 1)的值。80、如果x=1是方程2x2 3mx+1=0的一個根，則m= 為。，另一個根82、O11已知 m2+m 4=0， - n n14 O，m