安徽省蕪湖一中2020屆高三上學期8月開學數(shù)學試題及答案

1、2019-2020學年安徽省蕪湖一中高三（上）開學數(shù)學試卷8月份）、選擇題：本大題共12個小題，每小題 5分，共60分.設全集U 1,2,3, 4, 5,集合3,5,則 N I (Cu M )2.3.4.5.6.B. 1 , 5C. 3 , 5D. 4 , 5（5分）復數(shù)（5分）已知A. 1（5分）直線(3 i)(2 D的虛部是( 5B. 1an為等差數(shù)列，其前B.C. iD. i項和為Sn ,若a36, S3 12,則公差C. 2D. 3l1 : (3 a)xB.4y 5 3a 和直線 l2:2x (5 a)y8平行，則a （C. 7或 1D.1(5分)已知函數(shù) f(x) sin( x )(

2、40）的最小正周期為,則該函數(shù)的圖象(5分)已知點0）對稱0）對稱P在以F1, F2為焦點的橢圓tan PF1F211一，一 一-,則該橢圓的離心率為（2B.關于直線D.關于直線2 x F a一對稱8一對稱 4C.7. (5 分) 3,'且sinsin2y 1(auuir uuur0)上，若 PF1gPF20 ,則下面結論正確的是（0,B.C.22D.8.(5分)ABC的三個內(nèi)角 A、B、C所對的邊分別為 a , b , c , asin Asin B bcos2 A J2a ,A. 2/3B, 2j2C.隹9. （5分）已知向量uuu , uur ，一AB與AC的夾角為uuu且|AB

3、 | 2,uuiruuuuur uur| AC | 3 ,若 APAB AC ,uuu uur且AP BC ,則實數(shù)的值為（a.7B. 13C. 612D.710. （5分）在平面直角坐標系中,A( 4,0)、B(1,0)，點 P(a , b)(ab0)滿足 | AP | 2| BP |,i 41 一則鄉(xiāng)口的最小值為a2 b2B.C.D.11. (5 分)若 a bB.cabcbaC. a logb c blog aD.logc log b c12. （ 5分）已知函數(shù)f（x）11nx |,(0 x, e)，右a, b , c互不相等，且 f(a)2 Inx ,(x e)f (b)f （c）,

4、則a b c的取值范圍為（）C. (2 e2 , 2 e2)1 2B. ( 2e , 2 e ) eD. (26 e2 , 1 2e)、填空題（每題5分，？茜分20分，將答案填在答題紙上）2x y, 0 i v 1 、，13. (5分)已知正數(shù)x、y滿足 力 ，則z 4xq1)y的最小值為 x 3y 5- 0214. (5分)曲線y 10g2x在點(1,0)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積等于 .15. (5分)已知所有棱長都相等的三棱錐的各個頂點同在一個半徑為73的球面上，則該三棱錐的表面積為.216. (5分)拋物線y 2x上有一動弦 AB,中點為M ,且弦AB的長為3,則點M的縱坐 標的

5、最小值為.三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟.)17. ( 10 分)已知 f (x) 4cosxgcos(x ) 我 1(x R) 6(1)求f(x)的最小正周期和單調遞增區(qū)間(2)若關于x的方程f (x) k 0在區(qū)間,_上有解，求k的取值范圍. 4 41 C18. (12分)已知數(shù)列4的前n項和& an (-)n 1 2(n為正整數(shù)).(I)令bn 2nan ,求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式；n 1(D)令 Cn an, Tn G C2Cn ,求 Tn .19. (12分)如圖，在Rt AOB中,nOAB ,斜邊 AB 4 .

6、Rt AOC 可以通過 Rt AOB 6以直線AO為軸旋轉得到，且二面角 B AO C是直二面角，動點 D在斜邊AB上.(I )求證：平面 COD 平面 AOB ;(n)求CD與平面AOB所成角的正弦的最大值.20. ( 12分)為積極響應國家“陽光體育運動”的號召，某學校在了解到學生的實際運動情況后，發(fā)起以“走出教室，走到操場，走到陽光”為口號的課外活動倡議.為調查該校學生每周平均體育運動時間的情況，從高一高二基礎年級與高三三個年級學生中按照4:3:3的比例分層抽樣，收集 300位學生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(已知高一年級共有1200名學生

7、)(1)據(jù)圖估計該校學生每周平均體育運動時間，并估計高一年級每周平均體育運動時間不 足4小時的人數(shù);(2)規(guī)定每周平均體育運動時間不少于6小時記為“優(yōu)秀”，否則為“非優(yōu)秀”，在樣本數(shù)據(jù)中，有30位高三學生的每周平均體育運動時間不少于6小時，請完成下列2 2列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間是否“優(yōu)秀”與年級有關”.基礎年級局二合計優(yōu)秀非優(yōu)秀合計300_2P(K - ko)0.100.050.0100.005ko2.7063.8416.6357.879n(ad bc)2附:(a b)(c d)(a c)(b d)K221.22(12分)已知橢圓C: x2 y2

8、1(a b 0)過點(1,-),離心率為-,左右焦點分別為F1 , a b22F2 ,過F1的直線交橢圓于 A , B兩點.(1)求橢圓C的方程；(2)當 F2 AB的面積為 儂2時，求直線的方程.722.(12分)已知函數(shù), lnx 2f(x)x(1)求函數(shù)f(x)在1 ,)上的值域;2019-2020學年安徽省蕪湖一中高三(上)開學數(shù)學試卷(8月份)(2)若 x 1 ,) , lnx(lnx 4), 2ax 4恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.參考答案與試題解析、選擇題：本大題共12個小題，每小題 5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1 .設全集U 1,2,3, 4

9、, 5,集合M 1,4 , N 1 , 3, 5,則 NI (Cu M )(【解答】解:3B. 1 , 5C. 3 , 5D. 4 ,5(Cu M)2 , 3, 5, N1, 3,(CuM)1 ， 3,52 , 3,5 3,2. ( 5分)復數(shù)(3 i)(2 i)的虛部是(5B.C. iD. i【解答】解：Q (3 i)(2 i)56 3i 2i5復數(shù)(3 i)(2的虛部是3. ( 5 分)已知4為等差數(shù)列，其前n項和為Sn ,若a36,S312,則公差d等于(5B.一3C. 2D. 3【解答】解:設等差數(shù)列1的首項為由 a3 6, S3 12,得:a12d 63ai 3d 12解得：a 2,

10、 d 2 .故選：c .4. ( 5 分)直線 li ：(3 a)x 4y5 3a和直線12 :2x (5 a)y 8平行，則a (A.7或 1B.7C. 7 或 1D.1【解答】解:Q直線L：（3 a）x 4y 5 3a和直線：2x （5 a）y 8平行,(3 a)(5 a) 2 4 0(3 a)(5 a) (3a 5) ( 8) 0解得a 7 .故選：B .5. (5 分)已知函數(shù) f(x) sin( x -)(40）的最小正周期為,則該函數(shù)的圖象（A .關于點（，0）對稱C.關于點1,0）對稱【解答】解：Q 0, TB.關于直線x 對稱8D.關于直線x 對稱42；f(x) sin(2x

11、), 4其對稱中心為：(幺一，0) , k Z , 28其對稱軸方程由 2x _ k 得:42kx 28當k 0時,就是它的一條對稱軸, 86. (5 分)2 x 已知點P在以Fl, F2為焦點的橢圓FaLUir LULU0)上，若 PFigPF2 0,tan PF1F211一，一 一-,則該橢圓的離心率為2A.-3B.-2C.D-f【解答】解：由LULT ULUEIPF-gPF2 0,可知 PF1F2為直角三角形,1又 tan PF1F2 -,可得 |PFi | 2|PFz| , 242聯(lián)乂 | PF1 | |PF2 | 2a ,解得：| PFJ 一 a , | PF2 | - a .332

12、22216 24 22 C5由 | PF1 | | PF21 4c ,得一a a 4c , BP .99a 937. （ 5分）若,且 sin sin 0 ,則下面結論正確的是（）22解：yB.0C.2D.xsin x是偶函數(shù)且在（0,）上遞增,21，2sinsin 皆為非負數(shù),Q sinsin0,sin sinI I I I,22故選：D .8.(5分)ABC的三個內(nèi)角 A、B、C所對的邊分別為a , b , c , asin Asin B bcos2 A J2a ,則2 () aA . 2點B, 2桓C.拒D. 33【解答】解： Q ABC 中，asin Asin B bcos2A J2a

13、 ,根據(jù)正弦定理，得 sin2 Asin B sin Bcos2 A 72sin A,可得 sinB(sin2A cos2 A)j2sinA,.2 .2 A 一Q sin A cos A 1 ,b sin B 2 sin A ,得 b 72a ,可得一 J2 . a故選：C .9.uuu uur（5分）已知向量 AB與AC的夾角為120uuuuuirj uuu，且 | AB | 2 , | AC | 3 ,若 APuuu UULTAB AC ,一 UUTUUU且AP BC ,則實數(shù) 的值為（）B. 13C. 6D.127【解答】解：Q APUUU UULTUUU UUUAB AC ,且 AP

14、BC ,uur uur uuu uuir uuir uuuAPgBc ( AB AC).AC AB)uuu uuiruuu uuir 9 uuur uuuABgAC |AB|2 | AC |2 ACgABuuu uuiruur uuir(1)g| AB |g AC |gDOS AB, ACuur 9uur 9| AB |2 |AC |2 0 .uuu , uuruuuuuuQ向量AB與AC的夾角為120，且| AB | 2, | AC | 3 ,2 3(1)gcos12049 0.解得:1210. (5 分)在平面直角坐標系中，A( 4,0)、B( 1,0),點 P(a, b)(ab 0)滿足

15、 | AP | 2| BP |,一 41 則-22的取小值為（）a bB. 3D.【解答】解： A( 4,0)、B( 1,0),點 P(a,b)且 ab 0;由 | AP | 2|BP |,得 7(a 4)2 b2 2優(yōu)221) b ，化簡得a2 b2 4,2 a414則/ / (/4b2aa； 1“丁爐4 4b2 a22 a2%2)當且僅當a2 2b2時取等號,工的最小值為-.b2411.(5 分)若 a b 1 , 0 c 1 ,則()c cB. ab baC. alogb c blog a cD. log a c 10gbe【解答】解：Q a b 1, 0 c 1 ,函數(shù)f(x) xc在

16、(0,)上為增函數(shù)，故ac bc ,故A錯誤；函數(shù)f (x) xc1在(0,)上為減函數(shù)，故ac 1 bc 1,故bac abc,即abc bac;故B錯誤；logcb 1oga cloga c 0 ,且 10gbe 0 , 1oga b 1 ,即 1 , IP loga c 10gbe .故 D 錯慶；logca logb c0 loga c logb c, bloga c a log b c ,即 bloga c alogb c , IP a log b c blogac,故 C 正確；故選：C .11nx 1,(0 x, e)12. (5分)已知函數(shù)f(x) 11)，右a, b, c互不

17、相等，且f (a)f (b)2 lnx ,(x e)f (c),則a b c的取值范圍為()212A.(1 e,1 ee)B.( 2e ,2 e )eC.(2由 e2 ,2 e2)D.(2<1 e2,- 2e)e【解答】解：函數(shù)f(x)11nx|,(0 x, e),若a, b, c互不相等，且f (a) f (b) f2 lnx,( x e)(c),如圖，不妨 abc,由已知條件可知：0 a 1 b e c e2 ,Q lna lnb , ab 12Q lnb 2 1nc bc e ,中，（1 b嘰(b) be2 1丁，(1 ,由（b0 ,故（1,e）為減區(qū)間,2eb c的取值范圍是:,

18、 12(2e,2 e e故選:、填空題（每題 5分，？茜分20分，將答案填在答題紙上）13. （5分）已知正數(shù)2x y, 0 皿y滿足x 3y 5-0'則Zv 1 、， 14 xg(1)y的最小值為16【解答】解：根據(jù)約束條件畫出可行域Qz 4中化成Z 22xy直線z 2x y過點A（1,2）時，Z1最小值是 4 ,1z 2 2xy的最小值是24 ,161故答案為一.1614. (5 分)曲線y 10g 2 x在點（1,0）處的切線與坐標軸所圍三角形的面積等于12ln2【解答】解:Q y 10g 2 x,1 yxln2x 1時,曲線y 10g2X在點x 1處的切線方程為1r 一(x 1

19、),即 x yln2 1 0 . ln21,一，一最令y 0,可得三角形的面積等于111-gig-2 1n2 21n2一，1故答案為：2ln215. （ 5分）已知所有棱長都相等的三棱錐的各個頂點同在一個半徑為酒的球面上，則該三棱錐的表面積為8 3【解答】解：設棱錐P ABC的棱長為a ,則底面 ABC外接圓的半徑為三棱錐的高為PE2J 6a) va，3Q正三棱錐的4個頂點都在同一球面上，如圖所示;OE a 73, 3（西 a 班）2 （且 a）2 （J3）2, 33a2 2岳 0 ,解得a 2/或a 0,三棱錐的棱長為a 2金，則該三棱錐的表面積為Se棱錐4S ABC 4故答案為：8 73.

20、16.（5分）拋物線y_ 22x上有一動弦 AB,中點為M ,且弦AB的長為3,則點M的縱坐標的最小值為_u-8【解答】解：設直線 AB的方程為y kx b,聯(lián)立y kx b22，化為 2x kx b 0,y 2x由題意可得k2 8b 0 .k .X X2 X| X22Q|AB| 也 k2 f(x .)2 4為X2 3,1(22 1 k2AB中點M的縱坐標yMyi y222XiX22k 9-1- T282(1k )2k 1912 i_91 1182(1 k2) 8 16 8 萬故答案為：H.8三、解答題(本大題共 6小題，共70分，解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟 17. ( 10分)已知

21、 f(X)4cosXgcos(X ) V3 1(x R)6(1)求f(X)的最小正周期和單調遞增區(qū)間(2)若關于x的方程f (x) k 0在區(qū)間_,_上有解，求k的取值范圍 4 43f (x) 4cos x(cosx【解答】解：(1)由題意可知:1sin x) 33 1 sin2x V3cos2x 1 2sin(2 x ) 1 , 235 一f (x)的取小正周期為 ，由一2k秀12x 2k 得k蒯x k k Z 23 21212單調增區(qū)間為5- k ， k , k Z ； 12125 Q x , ,2x ,4 43661sin(2x -)的取值范圍是-,1,f(x) 2sin(2 x -)1

22、 的取值范圍是0, 3, 318. (12 分)已知數(shù)列 an的前n項和SnanW）n 12（n為正整數(shù)）.(I )令 bn2nan ,求證數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式;【解答】解:當n2時,anSn2ananQ bnn 1an nSn 1Sn111 (2)TnC1C2Sn1 n 1 an ( )2可得a1 1 2(1分)anan1(2)an 11 n 1(2)(2分)n1,即 2nan 2n1an1bn bn 11 ,即當 n2時，bnbn 112a1 1 ,數(shù)列bn是首項和公差均為1的等差數(shù)列(4分)于是bn1 (n 1)dnn 2 an,ann2n(6分)(n)(I )得

23、Cnn 1an n(n(7分)Tn2 3 (2)24(2)32Tn修2 3 (1)(n 1)做“1由得 A 1 g)2 (2)3/ 1、n1、n 1(-) (n 1)仁)22(9分)11 n 141（2） -2 （n 11 -2Tn 3 n-n3（12 分）AOB219. （12分）如圖，在 Rt AOB中， OAB -,斜邊AB 4 . Rt AOC可以通過Rt 6以直線AO為軸旋轉得到，且二面角 B AO C是直二面角，動點 D在斜邊AB上（I ）求證：平面 COD 平面AOB ；（n）求CD與平面AOB所成角的正弦的最大值.【解答】解：（I）證明：由題意，CO AO, BO AO,BOC

24、是二面角B AO C的平面角；又Q二面角B AO C是直二面角，CO BO ,又Q AOI BO O , CO 平面 AOB ,又CO 平面COD , 平面COD 平面AOB ;（II）由（I）知,CO 平面 AOB ,CDO是CD與平面AOB所成的角;2,在 Rt CDO 中，CO BO AB sin _ 46CO sin CDO 2CD，當CD最小日sinCDO最大,CD此時OD AB ,垂足為D ,由三角形的面積相等，得1 _1 _-CDgAB -BC2 BC 2AB (-2-)，解得 CD 2 442( 2)27,CD與平面AOB所成角的正弦的最大值為22.77720. （ 12分）為

25、積極響應國家“陽光體育運動”的號召，某學校在了解到學生的實際運動情況后，發(fā)起以“走出教室，走到操場，走到陽光”為口號的課外活動倡議.為調查該校學生每周平均體育運動時間的情況，從高一高二基礎年級與高三三個年級學生中按照4:3:3的比例分層抽樣，收集 300位學生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（已知高一年級共有1200名學生）（1）據(jù)圖估計該校學生每周平均體育運動時間，并估計高一年級每周平均體育運動時間不足4小時的人數(shù)；（2）規(guī)定每周平均體育運動時間不少于6小時記為“優(yōu)秀”，否則為“非優(yōu)秀”，在樣本數(shù)據(jù)中，有30位高三學生的每周平均體育運動時間不少于6

26、小時，請完成下列2 2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間是否“優(yōu)秀”與年級有關”.基礎年級局二合計優(yōu)秀非優(yōu)秀合計300_2P(K 7。)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879附：K2 n(ad bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)【解答】解：（1）該校學生每周平均體育運動時間為X 1 0.05 3 0.2 5 0.3 7 0.25 9 0.15 11 0.05 5.8;（3 分）樣本中高一年級每周平均體育運動時間不足4小時的人數(shù)為：4一.y 300 一（0.025 2 0.100 2） 30 （人）； 10

27、又樣本中高一的人數(shù)有120人，所以高一年級每周平均體育運動時間不足4小時的人數(shù)為11200 300 （人）；（6 分）4（2）由題意填寫列聯(lián)表如下：基礎年級局二合計優(yōu)秀10530135非優(yōu)秀10560165合計21090300(8分)假設該校學生的每周平均體育運動時間是否優(yōu)秀與年級無關，2ntt 2 300 (105 30 105 60)2700則 K2 (7.071 6.635,210 90 135 165992又 P(K 6.635) 0.01 , 所以有99%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間是否“優(yōu)秀”與年級有關”.(12分)2 x21. (12分)已知橢圓C: -2 a2y2 1(a b 0)過點(1,-),離心率為-,左右焦點分別為F1,b22F2,過F1的直線交橢圓于 A, B兩點.(1)求橢圓C的方程;(2)當 F2 AB的面積為它時,7求直線的方程.1)2 y b* 2工 a可得ca2 a94 b212 b2解得2 c2 a b24所以4(2)斜率不存在時x1, |AB| 3,Sv