概率論與數(shù)理統(tǒng)計公式集合

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計必考知識點一、隨機(jī)事件和概率1、隨機(jī)事件及其概率運算律名稱表達(dá)式交換律A+ B=B +AAB=BA結(jié)合律(A+B) +C =A+(B +C) =A + B+C(AB)C = A(BC) = ABC分配律A(B±C) =AB±ACA+(BC) =(A + B)(A+C)德摩根律A+B=ABAB=A+B2、概率的定義及其計算公式名稱公式表達(dá)式求逆公式P( A) =1 - P(A)加法公式P (A+B) =P(A) +P (B)-P (AB)條件概率公式P(B|A) = P(AB) 'P(A)乘法公式P(AB) = P(A)P(B A)P(AB) = P(

2、B)P(A B)全概率公式nP(B)=Z； P(Ai) P(B|Ai)y貝葉斯公式（逆概率公式）P(Aj) P(B|Aj) P(Aj|B)-述S P(Aj)P(BAi)i =1伯努利概型公式Pn(k) =4 pk(1 p)z,k=o,1,n兩件事件相互獨立相應(yīng)公式P(AB) =P(A)P(B) ；P(b|a) =P(B) ； P(b|a)=P(Ba)；P(BA)+P(Ba) =1 ；P(b|a)+ P(B A) =1二、隨機(jī)變量及其分布1、分布函數(shù)性質(zhì)P(X <b) =F(b)P(a <X <b) = F(b) -F(a)2、離散型隨機(jī)變量分布名稱分布律0 - 1 分布 B(

3、1, p)P (X =k) = p k(1 -p 嚴(yán)，k =0,1二項分布B(n,p)P(X=k)=Ck pk(1-p)n，k=0,1，n泊松分布P-kP(X =k) =e-2, k =0,1,2, k!幾何分布G(p)P(X=k)=(1 - p)kp, k =0,1,2,超幾何分布H(N,M, n)C k CkP(X _k) _ M N，k _|,丨+1：. ,min(n,M) cN3、連續(xù)型隨機(jī)變量分布名稱密度函數(shù)分布函數(shù)均勻分布U (a, b)指數(shù)分布E仏)正態(tài)分布N (巴b2)I1, a c X < b f(X) = b -a0, 其他聞X, x>0 f(x)詔i 0,其他

4、(x_ 內(nèi)212Lf(x)=eu七邊V2兀c0, xcaI xaF(x) =<,a<xcbI ba 1,x>bF(x)=l Ojx X：011 -e , X > 0(t_內(nèi)21 x 2F(X)= f edtV2g 二標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)x21 . e 2處 <x < -HeJ2兀(t-W三、多維隨機(jī)變量及其分布1、離散型二維隨機(jī)變量邊緣分布Pi ” = P(X =Xi) =2 P(X =Xi ,Y =yj) =2 PijjjPj=P(Y=yj)=W P(X =Xi,Y=yj)=W Pijii2、離散型二維隨機(jī)變量條件分布Pi卩,P(X =Xi,Y =yj

5、)Pij=P (X=XiY=yj)= P(Y=yj)廠可日2 Pj卩=P(Y =yj|X =Xi)=P(X =Xi,Y=yj)=巴,j=1,2jlP (X=Xi)Pi”3、連續(xù)型二維隨機(jī)變量(X ,Y )的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y) = J；J；f(u,v)dvdu4、連續(xù)型二維隨機(jī)變量邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)fX(X)= f f (x,v)dv-befY (y) = f (u, y)du邊緣分布函數(shù)：Fx(X)= r rf(u,v)dvdu邊緣密度函數(shù):'二-rey -beFy (y) = f f f(u,v)dudv5、二維隨機(jī)變量的條件分布fYx(y|x)(x，y)fX(x)ry

6、efx|Y(Xy)=(耳y)嚴(yán) <x<fY(y)四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征1、數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量:E(X)=送 XkPkk連續(xù)型隨機(jī)變量:E(X) = f xf (x)dx2、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1) E(C) =C,C 為常數(shù)EE(X) =E(X)E(CX) =CE(X)(2) E(X ±Y) =E(X)±E(Y)E(aX±b) =aE(X)±bE(GXi 屮CnXj-CiEai)屮"CnEan)若XY相互獨立則：E(XY) =E(X)E(Y)E(XY)2 <E2(X)E2(Y)3、方差： D(X) =E(X2) -E2(X)4

7、、方差的性質(zhì)(1)D(C) =0DD(X)=0 D(aX ±b) =a2D(X)D(X) <E(X -C)25、6、7、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)D(X ±Y) =D(X) +D(Y) ±2Cov(X,Y) 若 XY相互獨立貝J：D(X ±Y) = D(X) +D(Y)協(xié)方差：Cov(X,Y) =E(X,Y)-E(X)E(Y)若 XY相互獨立則：Cov(X,Y)=0相關(guān)系數(shù)：Pxy=Hx，Y)=舄X盎若XY相互獨立則：即XY不相關(guān)(1)Cov(X,X) =D(X) Cov(X,Y) =Cov(Y,X)Cov(Xi +X2，Y) =Cov(Xi，Y) +

8、Cov(X2，Y)Cov(aX +c,bY +d) =abCov(X,Y)&常見數(shù)學(xué)分布的期望和方差分布數(shù)學(xué)期望方差0-1 分布 B(1, p)Pp (1- p)二行分布B(n,p)npnp(1-p)泊松分布PA扎幾何分布G(p)1P1 P2 P超幾何分布H(N,M,n)M n NMM N -mn (1 )NN N 1均勻分布U(a,b)a +b2(b a)212正態(tài)分布N(Hcr2)k2CJ指數(shù)分布E1丄_ 2z/u五、大數(shù)定律和中心極限定理1、切比雪夫不等式若 E(X) -PDX) R2,對于任意 E >0 有 P|X E(X)| £ 蘭罟 或 P|xE(X) &l

9、t; 31-D孚/ n. n2、大數(shù)定律：若Xr'Xn相互獨立且nT比時，丄送Xi丄2 E(Xi) n yn y、1 n1 n(1)若'X1 Xn 木目互獨立，E(Xi) =Ai,D(Xi) =CJi 且 Gj < M 貝 y：送 X i* 送 E (X i ), (n T 處)n yn y1 n若X1Xn相互獨立同分布，且E(Xi)=B則當(dāng)nT處時：-送XiPT卩n 73、中心極限定理(1)獨立同分布的中心極限定理：均值為 卩，方差為/ >0的獨立同分布時，當(dāng)n充分大時有:nZ Xk -nAYn J N(0,1)Jnb 拉普拉斯定理：隨機(jī)變量( n=1,2)B(

10、n, p)則對任意X 有:t2Z <xlim P rXT 收i Jnp (1 p)x 1 _=-j=e2dtq(x).二2兀nn送 Xk -n4近似計算：pg匹Xk 9) = P(肆 < <罕些g(料)q(肆)krnJnbJnbJnbVnbvnc六、數(shù)理統(tǒng)計1、總體和樣本 總體X的分布函數(shù)F(x)樣本(Xi，X2Xn)的聯(lián)合分布為F(Xi,X2Xn) =F(Xk)2統(tǒng)計量(1)樣本平均值:1 nX詩Xi樣本方差：s2F三(Xi2 1 2 2-X) nX)(3)樣本標(biāo)準(zhǔn)差:ns詬丁52樣本k階原點距:Ak =丄送 Xik,k=1,2 n y(5)樣本k階中心距：Bk =Mk二藝

11、(Xi JX)k,k =2,3n i 4(6)次序統(tǒng)計量：設(shè)樣本(X1,X2Xn)的觀察值(X1,X2Xn)，將為,X2Xn按照由小到大的次序重新排列，得到X(1)蘭X(2)蘭蘭X(n),記取值為X(i)的樣本分量為X(i),則稱X(1)<X(2)<X(n)為樣本(X1,X2Xn)的次序統(tǒng)計量。X(1)=m i rX(,X2Xn)為最小次序統(tǒng)計量；X(n) =m aXq,X2Xn)為最大次序統(tǒng)計量。3、三大抽樣分布(1)里分布：設(shè)隨機(jī)變量Xi,X2Xn相互獨立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，則隨機(jī)變量7X1x2-x2所服從的分布稱為自由度為n的護(hù)分布，記為/22(n)性質(zhì)： E

12、72( n)= n,D72( n) =2n 設(shè) X 72(m),Y72( n)且相互獨立，則 X+Y72(m+ n)t分布：設(shè)隨機(jī)變量X N(0,1),Y /2( n)，且X與Y獨立，則隨機(jī)變量：T=-所服從(x-M)2的分布稱為自由度的n的t分布，記為Tt( n)性質(zhì)： Et(n)=0,Dt(n)=丄,(n2) limt(n) = N(0,1)=-e n _272兀F分布：設(shè)隨機(jī)變量U/2(ni),VZ2(n2)，且U與V獨立，則隨機(jī)變量Fg,n?)所V門2服從的分布稱為自由度(ni,n2)的F分布，記為FF(n,門2)性質(zhì)：設(shè) X F(m, n)，貝J F (n,m) X1、參數(shù)估計七、參數(shù)估計(1)定義：用兪Xi，X2，Xn )估計總體參數(shù)0，稱$(Xi,X2,Xn)為日的估計量，相應(yīng)的&Xi,X2，Xn)為總體0的估計值。(2)當(dāng)總體是正態(tài)分布時，未知參數(shù)的矩估計值二未知參數(shù)的最大似然估計值2、點估計中的矩估計法：(總體矩二樣本矩)n亠離散型樣本均值：滅*=打連續(xù)型樣本均值：乂占xw®彳n離散型參數(shù)：E(X2)二送Xi2n i£3、點估計中的最大似然估計 最大似然估計法：Xi,X2"-Xn取自X的樣本，設(shè)X f(x,日)或P (X=Xi)= P但)則可