立體幾何(向量法)—建系難

1、立體幾何（向量法） 建系難例 1（ 2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案） ）如圖, 四棱錐 P ABCD中 , PA 底面 ABCD , BC CD 2, AC 4, ACB ACD , F 為 PC 的中3點 , AF PB.（1） 求PA 的長 ; （2） 求二面角 B AF D 的正弦值 .答案】解： （1）如圖，聯(lián)結(jié) BD 交 AC 于 O，因為 BC CD ，即BCD 為等腰三角形， 又 AC 平分 BCD， 故 ACBD .以 O 為坐標(biāo)原點， OB，OC，AP 的方向分別為 x 軸， y 軸，z 軸的正方向，建立ODCD sin空間直角坐標(biāo)系O xyz

2、 ，則OC CD cos 1，而AC 4，得AO AC OC 3.又 3，故 A（0 ，3， 0），B（ 3，0， 0）， C（0， 1，0），D（ 3， 因 PA底面 ABCD ，可設(shè) P（0 ，3 ，z），由 F 為PC 邊中點，0， 0）得 F 0， 1，z2 ，又 AFz0， 2，2， PB (3 ， 3， z），因AF PB ，故 AF 0，即PB3（ 舍去 23），所以|PA |23. （ 3， 3， 0），(2)由 (1)知AB （ 3， 3，0），AF（0，2，3） 設(shè)平面FAD 的法AD向量為1 (x1 ，y1，z1），平面 FAB 的法向量為 2（x2，y2， z2）1&#

3、183;ADAF 0 ，0，得3，2) 3x1 3y1 0 ，因此可取 1 (3，2y1 3z1 0，由 2 · AB0，2·AF0，得3x 2 3y2 0，2y2 3z2 0，故可取從而向量 1，2 的夾角的余弦值為n1·n21cos 1 ， 2 .|n1| |·n2| 8故二面角 BAF D 的正弦值為WORD 版含答案(已校對) ) 如圖 , 四例 2( 2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)(理)棱錐 P ABCD 中 , ABC BAD 90 ， BC 2AD, PAB 與 PAD 都是等邊三角形(I) 證明 : PB CD; (II)

4、 求二面角 A PD C 的大小 .【答案】 解： (1)取 BC 的中點 E，聯(lián)結(jié) DE ，則四邊形 ABED 為正方形 過 P 作 PO平面 ABCD ，垂足為 O.聯(lián)結(jié) OA，OB， OD ， OE.由PAB 和PAD 都是等邊三角形知PAPB PD，所以 OAOBOD，即點 O 為正方形 ABED 對角線的交點， 故 OE BD ，從而 PB OE.因為 O 是 BD 的中點， E 是 BC 的中點，所以 OE CD .因此 PB CD.(2)解法一：由 (1)知 CD PB， CDPO，PBPOP， 故 CD 平面 PBD .又 PD? 平面 PBD ，所以 CD PD.取 PD 的

5、中點 F， PC 的中點 G，連 FG.則 FGCD，F(xiàn)G PD.聯(lián)結(jié) AF ，由 APD 為等邊三角形可得AF PD.所以 AFG 為二面角 APDC 的平面角聯(lián)結(jié) AG， EG，則 EG PB.又 PB AE，所以 EG AE.設(shè) AB 2，則 AE 22，EGPB1，2故 AG 2 2AE EG 3，12， AF3， AG 3.在AFG 中， FGCD所以 cos AFG FG 2 AF2 AG262 ·FG ·AF3 .6 因此二面角 APDC 的大小為 arccos解法二：由 （1） 知，3OE，OB， OP 兩兩垂直以 O 為坐標(biāo)原點，O xyz.OE 的方向為

6、 x 軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系取 y1，得 x 0， z 設(shè)平面 PAD 的法向量為1，故 1 （0， 1， 1）2（m， p，q），則設(shè) |AB|2，則A（ 2，0， 0） ， D（0， 2， 0），C（2 2， 2， 0），P（0， 0， 2）， （0 ， （2 2， 2 ， PC 2）， PD （ 2， 0， 2）， AD （ 2， 2 ，0） AP設(shè)平面 PCD 的法向量為 1 （x ， y， z），則（x，y， z） ·（22， 2， 2） 0，1·PC1·PD （x，y， z） ·（0， 2， 2） 0，可得 2xyz0，yz

7、0.2， 2） ，（m， p，q） ·（2，0，2）0，2·AP2·AD （m， p ， q） ·（2，2， 0）0，可得mq0， mp 0.取m 1，得 p 1，q1，故 2 （1，于是cos， 2n1·n26|n1|n2|1，1）63A1BC1 1由于，2等于二面角 A PDC 的平面角，所以二面角 APDC 的大小為 arccos 例 3（ 2012 高考真題重慶理 19 ）（本小題滿分 12 分 如圖，在直三棱柱 ABC中， AB=4 ， AC=BC= 3，D 為 AB 的中點)求點 C 到平面 A1ABB 的距離 ;1)若 AB AC

8、 求二面角 的平面角的余弦值.1 1答案】 解： (1)由 AC BC，D 為 AB 的中點，得 CDAB.又 CDAA1，故CD面 A1ABB 1，所以點 C 到平面 A1ABB1 的距離為CD BC2 BD2 5.(2)解法一：如圖，取D1 為 A1B1 的中點，連結(jié)DD1，則DD1AA1CC1.又 由(1)知 CD面 A1ABB1，故 CDA1D，CDDD1，所以 A1DD1 為所求的二面 角 A1CDC1 的平面角因 A1D 為 A1C 在面 A1ABB1 上的射影，又已知 AB1A1C，由三垂線定理的 逆定理得 AB1A1D，從而 A1AB1、A1DA 都與B 1AB 互余，因此 A

9、1AB1AA1 A1B1A1DA，所以 RtA1AD RtB1A1A.因此AA12AD ，即 AA1 AD·A1B18，得AA1 2 2.22 2 3. 從而 A1D AA1AD所以，在 RtA1DD1 中，DD1 AA1 6cos A1DD1 A1D 3 .A1D解法二：如圖，過 D 作 DD1 AA1 交 A1B1 于點 D1，在直三棱柱中，易知 DB ，DC，DD1 兩兩垂直以 D 為原點，射線 DB，DC，DD1 分別為 x 軸、y 軸、z 軸 的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D xyz.設(shè)直三棱柱的高為 h，則 A（ 2,0,0） ， A1（ 2,0 ， h） ， B1（2,0，

10、h），C（0， 5，0）， C1（0， 5， h），從而 AB1 （4,0，h），A1C（2， 5，h）由 AB1 A2 1C，有 8 h 0，h2 2.（0,0,2 2）， DC 故 DA1 （2,0,2 2）， CC1（0， 5， 0） 設(shè)平面 A1CD 的法向量為 m （x1， y1， z1），則 mDC， mDA1，即5y1 0， 2x12 2z1 0，取 z1 1，得 m （ 2，0,1），設(shè)平面 C1CD 的法向量為n （x2，y2， z2），則 nDC，nCC ，即15y2 0，2 2z2 0，m·n2 6cosm，n |m|n| 3 .2 1·1取 x21，

11、得 n （1,0,0） ，所以所以二面角 A1CDC1 的平面角的余弦值為 3例 4（ 2012 高考真題江西理 20 ）（本題滿分 12 分）如圖 15，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知AB AC AA15，BC4，點 A1 在底面 ABC 的投影是線段 BC 的中點 O.（1）證明在側(cè)棱 AA1 上存在一點 E，使得 OE平面 BB1C1C，并求出 AE 的長；(2) 求平面 A1B1C 與平面 BB1C1C 夾角的余弦值答案】 解： (1)證明： 連接 AO，在AOA1 中，作 OEAA1 于點 E，因為AA1 BB1，所以 OEBB1.系，因為因為所以所以A1O平面 ABC ，所

12、以 A1O BC.ABAC，BC平面BCOE，OB OC，所以 AO BC，AA1O.所以AA1 5，2 5AO5 .得 AE5 .AA1OE平面BB1C1C，又AO AB2BO21，(2) 如圖，分別以 OA，則 A(1,0,0) ，B(0,2,0) ，OB，C(0，OA1 所在直線為 x，y，z 軸，建立空間直角坐標(biāo)2,0)， A1(0,0,2)，由 AE 142得點 E 的坐標(biāo)是 5，0，5 ，5AA142由(1)得平面BB1C1C 的法向量是OE5，0，5 ，設(shè)平面 A1B1C 的法向量(x， y，z)，0，·AB0， 由n·A1C0令 y 1 ，得x2，z1，即

13、(2,1，30OE·n10 .cosOE，|OE| |·n|3010 .即平面 BB1C1C 與平面 A1B1C 的夾角的余弦值是 例 5( 2012 高考真題安徽理 18 )(本小題滿分 12 分)平面圖形 ABB 1A1C1 C 如圖 1 4(1)所示，其中 BB1C1C 是矩形， BC 2，BB1 4， ABAC 2， A1B1 A1C1 5.圖 1 4現(xiàn)將該平面圖形分別沿 BC 和 B1C1 折疊，使 ABC 與A1B1C1 所在平面都 與平面 BB1C1C 垂直，再分別連接 A1A，A1B，A1C，得到如圖 14(2) 所示的空間 圖形對此空間圖形解答下列問題(1

14、)證明： AA1 BC ；(2)求 AA1 的長；(3)求二面角 ABCA1 的余弦值答案】解： (向量法 )： (1)證明：B1C1 的中點分別為 D 和 D1，連接 A1D1， DD1，AD. 由 BB1C1C 為矩形知，DD1 B1C1，因為平面 BB1C1C平面 A1B1C1 ， 所以 DD1平面 A1B1C1，又由 A1B1 A1C1 知，A1D1B1C1.故以 D1 為坐標(biāo)原點，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D1 xyz.由題設(shè)，可得 A1D12，AD 1.由以上可知 AD平面 BB1C1C，A1D1平面 BB1C1C，于是 AD A1D1. 所以 A（0 ， 1,4）， B（1,

15、0,4） ， A1 （0,2,0） ， C（ 1,0,4） ， D（0,0,4） 故 AA1 （0,3 ， 4）， BC （ 2,0,0） ， AA·BC 0，1因此 AA1 BC，即 AA1BC.（2）因為 AA1 （0,3， 4），所以 |AA | 5，即 AA1 5.1（3）連接 A1D，由 BC AD ，BC AA 1，可知 BC平面 A1AD ，BC A1D ，所因為 DA （0， 1,0） ， DA1以ADA1 為二面角 A BCA1 的平面角 （0,2， 4），所以， DA 1 cosDA241× 2即二面角 ABCA1 的余弦值為（綜合法）（1）證明： 取 BC，B1C1 的中點分別為 D 和 D1，連接