第七章線性變換習(xí)題答案

1、WORD格式可編輯第七章線性變換3在 Px 中， Af(x)f(x) ， Bf(x)xf(x) ，證明：ABBA=E解題提示直接根據(jù)變換的定義驗(yàn)證即可證明任取 f(x)Px ，則有=(ABBA)f(x)ABf(x)BAf(x)A(xf(x)B(f(x)(xf(x)xf(x)f(x)Ef(x)于是 ABBA=E4設(shè) A,B 是線性變換，如果 ABBA=E，證明：kkk k1,k1ABBAA解題提示利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明證明當(dāng) k2 時(shí)，由于 ABBA=E，可得22()()2ABBAAABBABABAAA，因此結(jié)論成立專業(yè)知識(shí) 整理分享假設(shè)當(dāng) ks 時(shí)結(jié)論成立，即ssss1ABBAA那么，當(dāng) ks

2、1 時(shí)，有s1s1(s s)()ssss(s1)sABBAAABBABABAAAAA，即對(duì) ks1 結(jié)論也成立從而，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，對(duì)一切k1 結(jié)論都成立特別提醒由 AE可知，結(jié)論對(duì) k1 也成立5證明：可逆映射是雙射解題提示只需要說(shuō)明可逆映射既是單射又是滿射即可1 證明設(shè) A是線性空間 V 上的一個(gè)可逆變換對(duì)于任意的,V，如果 AA，那么，用得到1VA，使得AAAA，因此 A 是單射；另外，對(duì)于任意的 V，存在 1() 1() 1() 1()1AA(A) ，即 A 是滿射于是 A 是雙射-1-特別提醒由此結(jié)論可知線性空間V 上的可逆映射 A是 V到自身的同構(gòu)6設(shè) 1,2, n是 線 性

3、空 間 V的 一 組基， A是 V上 的 線 性變換 ， 證 明 A可 逆 當(dāng) 且 僅 當(dāng)A1,A 2, An 線性無(wú)關(guān)證法 1 若 A 是可逆的線性變換，設(shè)kAkAkA0 ，即1122nnA(kkk nn)01122而根據(jù)上一題結(jié)論可知 A是單射，故必有kkk0，又由于 1, 2, n是線性無(wú)關(guān)的，1122nn反之，若 A1, A 2, An是線性無(wú)關(guān)的，那么因此 k1k2kn0從而A1,A 2,A n線性無(wú)關(guān)AAA也是 V 的一組基于是，根據(jù)1, 2,n教材中的定理 1，存在唯一的線性變換 B，使得B(A i ) i ， i1,2,n 顯然BA(i ) i ， A B (A i )A i

4、， i1,2,n 再根據(jù)教材中的定理1 知， ABBAE所以 A 是可逆的證法 2 設(shè) A 在基1, 2, n下的矩陣為 A，即A(, n)(A, A, An)(, n) A121212由教材中的定理 2可知， A可逆的充要條件是矩陣 A可逆因此，如果 A 是可逆的，那么矩陣 A 可逆，從而A1,A 2,A n 也是 V 的一組基，即是線性無(wú)關(guān)的反之，如果AAA是線性無(wú)關(guān)，從而是 V 的一組基，且 A 是從基1, 2,n1, 2, n 到A1,A 2, A n的過(guò)渡矩陣，因此 A 是可逆的所以 A是可逆的線性變換方法技巧方法 1 利用了上一題的結(jié)論及教材中的定理 1構(gòu)造 A的逆變換；方法 2

5、借助教材中的 定理 2，將線性變換 A可逆轉(zhuǎn)化成了矩陣 A 可逆9設(shè)三維線性空間 V上的線性變換 A在基 1, 2, 3下的矩陣為aaa111213Aaaa212223aaa3132331)求 A在基 3, 2, 1下的矩陣；-2-WORD格式可編輯2）求 A在基 1,k 2, 3下的矩陣，其中 kP且 k0；3）求 A 在基 12, 2, 3 下的矩陣100001專業(yè)知識(shí) 整理分享解題提示可以利用定義直接寫出線性變換的矩陣，也可以借助同一個(gè)線性變換在兩組不同基下的矩陣是相似的進(jìn)行求解解 1 ）由于A3a131a232a333a333a232a131，A2a121a222a323a323a22

6、2a121，A1a111a212a313a313a212a111故 A 在基3, 2, 1下的矩陣為aaa333231Baaa1232221aaa1312112）由于Aaaaaaka，Aaaa1a1a1k1a2，12313111212313Akkakakakaakka ，2121222323121222323AaaaaakaAaaa3a1a3k1a232333131232333故 A在基1,k 2, 3下的矩陣為akaa11121311Baaa2212223kkakaa3132333）由于從1 , 2, 3 到12, 2, 3的過(guò)渡矩陣為X110，故 A在基 12, 2, 3下的矩陣為WORD

7、格式可編輯專業(yè)知識(shí) 整理分享-3-方法技巧根據(jù)線性變換的矩陣的定義，直接給出了1）和 2）所求的矩陣； 3）借助了過(guò)渡矩陣，1100aaa100aaaa11121311121213B110aaa110aaaaaaaa32122232111221222122313001aaa001aaaa31323331323233利用相似矩陣得到了所求矩陣事實(shí)上，這三個(gè)題目都可以分別用兩種方法求解10設(shè) A 是線性空間 V 上的線性變換，如果k01A，但A，k0求證：, A, Ak1k0 ）線性無(wú)關(guān)證明由于k0kiik 0A，故對(duì)于任意的非負(fù)整數(shù) i ，都有AA（A） 當(dāng) k0 時(shí)，設(shè)k1xxAxA0，12n

8、用 A 作用于上式，得k1xA0 ，1但 k10A，因此 x10于是k1xAxA0，2n再用 k2再用 A 作用上式，同樣得到x依此下去，可得20x1x2xk0從而, A,A 線性無(wú)關(guān)k116證明：1i12與i2nin相似，其中 i 1,i 2, i 是 1,2,n 的一個(gè)排列n解題提示利用同一個(gè)線性變換在不同基下的矩陣是相似的或直接相似的定義 證法 1 設(shè) V 是一個(gè) n 維線性空間，且1, 2, n是 V 的一組基另外，記A，Bni1i2in-4-于是，在基1,2, n下，矩陣 A對(duì)應(yīng) V的一個(gè)線性變換 A， 即A(,1n2)(1,2,12 n)(,n)A從而 A， i1,2,n 又因?yàn)閕

9、iii1,i2, i也是 nV 的一組基，且i1A(,)(,)2(,) iiiiiiiii 12n12n12n故 A 與 B 相似證法設(shè)1i1i2BA與in對(duì) A 交換 i,j 兩行，再交換i , j 兩列，相當(dāng)于對(duì) A 左乘和右乘初等矩陣P(i,j1) P(i,j) 和 P(i,j) ，而1 P(i,j ) AP(i,j)即為將 A中的 i和 j交換位置得到的對(duì)角矩陣于是，總可以通過(guò)這樣的一系列的對(duì)調(diào)變換，將A的主對(duì)角線上的元素12變成i 1, i 2, i，這也n相 當(dāng)于存在一系列初等矩陣 Q1, Q2, Qs，使得111QQQAQQ，QB s2112s令 QQQ，Q 則有12s1QAQB

10、，即 A與 B相似方法技巧證法利用同一個(gè)線性變換在不同基下的矩陣是相似的這一性質(zhì)；證法利用了矩陣的相似變換，直接進(jìn)行了證明17如果 A 可逆，證明 AB與 BA相似證明由于 A 可逆，故 A1 存在于 是AABAAABAB，A1()( 1)-5-WORD格式可編輯A 在一組基下的矩陣為：解 1)設(shè) A 在給定基因此，根據(jù)相似的定義可知 AB 與 BA相似345630011) A； 4)A101； 5)A0105212110019求復(fù)數(shù)域上線性變換空間 V 的線性變換 A的特征值與特征向量已知A由于 A 的特征多項(xiàng)式為1, 2 下的矩陣為34EA|514(7)(2) ，52故 A 的特征值為17

11、 ，22 當(dāng) 17 時(shí)，方程組( 1 EA) X0，即為563專業(yè)知識(shí) 整理分享4x4x0,125x5x0.12解得它的基礎(chǔ)解系為從而 A 的屬于特征值117 的全部特征向量為1k1k2，其中 k 為任意非零常數(shù)當(dāng) 22 時(shí)，方程組 ( 2EA) X0 ，即為5x4 x0,125x4x0.12解得它的基礎(chǔ)解系為422 的全部特征響向量為，從而 A 的屬于特征值524l 15l 2，其中 l 為任意非零常數(shù)4 )設(shè) A 在給定基1,2, 3下的矩陣為 A，由于 A的特征多項(xiàng)式為EA11(2)(13)(13)121故 A 的特征值為12 ， 213， 313WORD格式可編輯專業(yè)知識(shí) 整理分享-6

12、-WORD格式可編輯當(dāng) 12 時(shí) , 方程組 ( 1EA) X=0，即為23專業(yè)知識(shí) 整理分享求得其基礎(chǔ)解系為3x6x3x0,123x2xx0,123 x2x3x0.123，故 A 的屬于特征值2 的全部特征向量為12k11k12其中k1為任意非零常數(shù)當(dāng) 213時(shí),方程組 ( 2EA) X=0，即為(43)x6x3x0,123 x(13)xx0,123 x2x(23)x0.3求得其基礎(chǔ)解系為 123，故 A 的屬于特征值 13 的全部特征向量為23k21k22(23)k 23其中 k 為任意非零常數(shù)2當(dāng) 313 時(shí)，方程組 ( 3EA) X=0 ，即為(43)x6x3x0,求得其基礎(chǔ)解系為 1

13、123x1(1233) xx0,，故 A 的屬于特征值 13 的全部特征向量為33k31k32(23)k 33WORD格式可編輯專業(yè)知識(shí) 整理分享其中k3為任意非零常數(shù)-7-5）設(shè) A在給定基1, 2,3下的矩陣為 A，由于 A的特征多項(xiàng)式為EA010(1)(1) ，1001故 A 的特征值為11（二重），21 當(dāng) 11 時(shí) ，方程組 （ 1EA） X=0，即為xx 0,13xx 0.1310求得其基礎(chǔ)解系為 , 1 ，故 A的屬于特征值 1 的全部特征向量為 0101k11k 22k13其中 k1,k 2為任意不全為零的常數(shù)當(dāng) 21 時(shí)，方程組 （ 2EA） X=0 ，即為xx 0,132x

14、0,2xx 0.130，故 A 的屬于特征值 1 的全部特征向量為求得其基礎(chǔ)解系為2l 1l 3，其中 l 為任意非零常數(shù)方法技巧求解一個(gè)線性變換的特征值即求其矩陣的特征多項(xiàng)式的根，再對(duì)每個(gè)根求得所對(duì)應(yīng)的特 征向量，但一定要注意表達(dá)成基向量的線性組合形式12241）設(shè)1,2是線性變換 A的兩個(gè)不同特征值，1, 2是分別屬于 1, 2的特征向量，證明：不是 A 的特征向量；A是數(shù)2 ）證明：如果線性空間 V 的線性變換 A以 V中每個(gè)非零向量作為它的特征向量，那么乘變換WORD格式可編輯00專業(yè)知識(shí) 整理分享-8-證明 1）反證法假設(shè)12是 A 屬于特征值的特征向量，即A()() 121212而

15、由題設(shè)可知 A111,A22 2，且 12，故A()AA12121122比較兩個(gè)等式，得到()() 01122120，即12 這不妨設(shè)它們分別屬于再根據(jù) 1, 2是屬于不同特征值的特征向量，從而是線性無(wú)關(guān)性，因此 與 12矛盾所以 12不是 A 的特征向量2）設(shè) 1, 2, n是 V 的一組基，則它們也是 A的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，特征值1, 2, n，即根據(jù) 1）即知A， i1,2,niii12n否則，若 12，那么 120，且不是 A 的特征向量，這與 V中每個(gè)非零向量都是它的特征向量矛盾所以，對(duì)于任意的V，都有 A，即 A 是數(shù)乘變換25設(shè) V 是復(fù)數(shù)域上的 n 維線性空間， A,B 是 V 上的線