工程流體力學(xué)禹華謙習(xí)題答案第6章

1、WOR格式可編輯第六章理想流體動力學(xué)6-1平面不可壓縮流體速度分布為Vx=4x+1 ； Vy=-4y.(1)該流動滿足連續(xù)性方程否?(2)勢函數(shù)$、流函數(shù) 書存在否？( 3)求$、書2專業(yè)知識整理分享fVxVy e解：(1)由于440 +cxyc，故該流動滿足連續(xù)性方 程(2)由3 z斗豊護(hù))=(2) _ += 0,故流動有勢，勢函數(shù) $存在，由于該流cy 2動滿足連續(xù)性方程，流函數(shù)(3)因 Vxc=4x+1xyc 0CQd $ =dx+yy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dyCxyc, $ =d $ =dx+dy=Vxax+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dyCxy

2、c2 c2=2x -2y+xdp =dx+dy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dyxy cp =d p =dx+dy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+l)dy xy廠=4xy+y6-2平面不可壓縮流體速度分布2 2Vx=x -y +x；Vy=-(2xy+y).(1)流動滿足連續(xù)性方程否?(2)勢函數(shù)$、流函數(shù) p存在否?(3)求$、p .UVxVy cr+=2x + 1( 2x + 1)= 0,故該流動滿足連續(xù)性方程，流動存在.XX1CC1 Vy Vx節(jié)一 C( e Cyy = 0,故流動有勢，勢函數(shù) $存在，由2 x y )=(2(2)解：(1)由于(2 )由3 Z=于

3、該流動滿足連續(xù)性方程，流函數(shù)p也存在.WOR格式可編輯2專業(yè)知識整理分享(3)因 Vx=x=-=-(2xy+y).fxyxc2-y 2+x,Vy=2 2 .、，-y+x,Vy=dx+dy=Vxdx+Vydy=(x2-y2+x)dx+(-(2xy+y).)dy2-y 2+x)dx+(- (2xy+y)dy2-y 2+x)dy6-3平面不可壓縮流體速度勢函數(shù)a =x2-y2-x,求流場上A(-1,-1), 及B(2,2)點(diǎn)處的速度值=d a =dx+dy=Vxdx+Vydy=(x''cxy c3x 222一 -xy+(x-y)/23d p =dy=-Vydx+Vxdyp =d p

4、=dx+dy=-Vydx+Vxdy£(2xy+y)dx+(x=x 2y+xy-y 3/3及流函數(shù)值解：因Vx=齊 T =2x-1，cVxex+Vy = 0，該流動 ex滿足連續(xù)性方程，流函數(shù) p存在d p =dx+dy=-Vydx+Vxdy <xy匚xyp =d p =dx+dyt-Vy(+Vxdy=2ydx+(2x-1)dy=2xy-y在點(diǎn)(-1,-1)處 Vx=-3;Vy=2;在點(diǎn)(2,2)處 Vx=3;Vy=-4;=66-4已知平面流動速度勢函數(shù)Aa =-lnr,寫出速度分量 Vr,V 0 ,q為常數(shù)。 eo 2解:Vr=cce=-,V 0 =0r2rr6-5已知平面流動

5、速度勢函數(shù)6擲=-m0 +C,寫出速度分量 Vr、V ,m為常數(shù)解:Vr=0,V 0 =rr6-6已知平面流動流函數(shù)p=x+y,計(jì)算其速度、加速度、線變形率£ xx, £yy,求出速度勢函數(shù)WOR格式可編輯專業(yè)知識整理分享（1）.解:因Vx=c=1Vy=-=-1 yx rOc cd 0 =dx+dy=Vxdx+Vydy xyc6 CX亠=d 0 =dx+dy=Vxdx+Vydy=dx+(-1)dy=x-yxyrcXX,yyxycdVxVxVxVx ax=0=.cVxVydttxy dVyVyVyVyVxVy&3/=0-dttxy-6-7已知平面流動流函數(shù),Wyc -

6、y2,計(jì)算其速度、加速度，求出速度勢函數(shù) 0 .解：因Vx=要-2yxy££M亠ccVy=-=-2x 中 yxcd 0 =dx+dy=Vxdx+Vydy §xy 亠 一cc0 =d 0 =dx+dy=Vxdx+Vydy=-2ydx+H2x)dy=-2xy =xy + =MNcccdVxVxVxVx ax=4dttxyVxVydVyVyVyVyay=4dttxyVxVy6-8 一平面定常流動的流函數(shù)為V (x,y)3xy試求速度分布，寫出通過 A (1, 0),和B( 2, 3)陰點(diǎn)的流線方程.解：Vx1 _ cU _ ,3_ 蘭cVv _ 一- 一、y 匸Vx&q

7、uot;和正向夾角都是x平面上任一點(diǎn)處的速度矢量大小都為=-7arctan(3/1)60A點(diǎn)處流函數(shù)值為3?103，通過 獷丿點(diǎn)的流線方程為3xy3。同樣可以求解出通過 B點(diǎn)的流線方程也是 3xy3。rzxy =yx =12(* ,x ycV解:因Vx=cc=V8 cos ay c. c6-9已知流函數(shù)并求速度勢函數(shù)ip =V8 (ycos a -xsin a ),計(jì)算其速度，加速度，角變形率C r(1).Vy=-=V8 sis a贄 c ©d $ =dx+dy=Vxdx+Vydyxy c G($ =d $ =dx+dy=Vxdx+Vydy=V8 cos a xydx+sis a d

8、y c=V8 (cos ax+sisccy) 一dVxVxVxVxax=VxVyO 一dttxy£ dVyVyVyVy ay=0VxVyxy yxdttxyvy+xvx)=0 y6-10.證明不可壓縮無旋流動的勢函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。 解：不可壓縮三維流動的連續(xù)性方程為獎將關(guān)系或 Cxyz Qvy, vz代入上式得到fOCc°丄(Goqp"7xxyyzz c °CC222或 2220xyz可見不可壓縮有勢流動的勢函數(shù)是一調(diào)和函數(shù)。6-11什么樣的平面流動有流函數(shù) ？CC答:不可壓縮平面流動在滿足連續(xù)性方程C0VVxyxyC或VVyC(-)xyC)的情況下平面流

9、動有流函數(shù)6-12卅么樣的空間流動有勢函數(shù) 答：在一空間流動C C?=中，如果每點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)角速度矢量廠=xi+ yj+ zk嘟是零矢量，即xyzO ,或關(guān)系vvvvvvyyT z,成立,這樣的空間流動有勢函飛xzxxzxyzzxxy6-13已知流函'數(shù)q計(jì)算流場速度.2解:Vr=r2rVe =-=0r6-14平面不可壓縮流體速度勢函數(shù)$ =ax(xA(0,0)及B(1,1)兩點(diǎn)的連線的直線段的流體流量2-3y2),av0,試確定流速及流函數(shù)，并求通過連接解：因Vx=2 O 2t'=a(3x -3y )Vy=-=-6axy yxWOR格式可編輯2-3y 2)dyd 書=dx+dy

10、=-Vydx+Vxdy=6axydx+a(3x xy專業(yè)知識整理分享ip =d t =dx+dy=-Vyix+Vxdy£Y'，鴻 c6-156-16=6axydx+a(3x2 2-3y )dy=3ax23y-ay在 A(0,0)點(diǎn) p A=0; B ( 1,1 )點(diǎn) p B=2a,2q= A-書 B=-2a.平面不可壓縮流體流函數(shù)書=ln(x+y2)，試確定該流動的勢函數(shù)$ -解：因Vx=yxC蘭Vy=yyxx2y2xd $ =dx+dy=Vxdx+Vydy=dx-dyxyxyxy2y2xVxdx+Vydy=dx- 2222xyxy2y2x2222dy=-2arctan()o

11、解：設(shè)想兩個平面上各有一平面勢流它們的勢函數(shù)分別為V =V + V1,2,流函數(shù)分別為1 , 20現(xiàn)將兩個平面重合在一起，由此將得到一個新的平面流動，這一新的流動與原有 兩個平面流動都不相同。合成流動仍然是一有勢流動，其勢函數(shù)可由下式求出：12同樣，合成流動的流函數(shù)等于e 12v6-17在平面直角系下，平面有勢流動的勢函數(shù)和流函數(shù)與速度分量vx,v有什么關(guān)解：在平面直角系下，平面有勢流動的勢函數(shù)和流函數(shù)與速度分量vx,v有如下關(guān)系.cC vxy uxy e cyx6-18什么是平面定常有勢流動的等勢線？它們與平面流線有什么關(guān)系？解:在平面定常有勢流動中，勢函數(shù)只是x,y的二元函數(shù)，令其等于一常

12、數(shù)后，所得方程代表一平面曲線，稱為二維有勢流動的等勢線。平面流動中，平面上的等勢線與流線正交。專業(yè)知識整理分享6-19試寫出沿y方向流動的均勻流（V=Vy=C=0）的速度勢函數(shù) $，流函數(shù) 書.解：因Vx=OxyWOR格式可編輯Vy=-=V 丈濟(jì) cd $ =dx+dy=Vx<+Vydy=0dx+V dy $ =V y cxycd0 =廠fdx+dy=-Vydx+Vxdy=-Vdx-V xxy6-20平面不可壓縮流體速度分布為：Vx=x-4y ; Vy=-y-4x試證:(1)該流動滿足連續(xù)性方程，(2)該流動是有勢的，求$ ,(3)求0 ,解:(1)由于cVxcVy= 1-1=0,故該流

13、動滿足連續(xù)性方程，流函數(shù)0存在excyx專業(yè)知識整理分享(2 )由于3 z= 1(汕=忍*)=0故流動有勢，勢函數(shù)$存在.2 泮ry門 cV3)因 Vx=x-4y = cxycVy=-=-y-4x cyxc"cOd $ =dx+dy=Vxax+Vydy=(x-4y)dx+(-y-4x)dy xy匸$ =d $ =dx+dy=Vx'c+Vydy=(x-4y)dx+(-y-4x)dy廠xy 廠22_ xy =xy42fcd 0 =dx+dy=-Vydx+Vxdy=(y+4x)dx+(x-4y)dy xy0 =d 書=dx+dy=-Vydx+Vxdy=(y+4x)dx+(x-4y)

14、dy xy2 2=xy+2(x -y )6-21y0 =arctg，試確定該流動的勢函數(shù) $ . x解：因Vx=xyxWOR格式可編輯2yy專業(yè)知識整理分享Vy=-=Cyxxd $ =dx+dy=Vxdx+Vydy=dx+dy,xyxyxy ." f©xy2222xy=d =亠dx+dy=Vxdx+Vydy=dx+dy2222xyxyxy2 lnxy6-22證明以下兩流場是等I證明：對（I ） $ =x2+x-yJ+x-ycVx=2x+1x同的， (I ) $ =x2+x-y=2xy+y.Vy=-2y Vr c對(n )書=2xy+ycVx0 V=2x+1yVy=-=-2y

15、x可見與代表同一流動.6-23 已知兩個點(diǎn)源布置在 x軸上相距為a的兩點(diǎn)，第一個強(qiáng)度為 個強(qiáng)度為q的點(diǎn)源位于（a,0 ）處求流動的速度分布（K 一 C解:兩個流動的勢函數(shù)分別為CC江2 q221/22亠止運(yùn).L2 q2 q 221/2 ln(:qO)。2q的點(diǎn)源在原點(diǎn)，第數(shù)為ln(221y)+q2/2In xa ） 221 y） / 2 ,合成流動的勢函Vxx.2In22 x1/ln(2 ) 1/2)=qxqxac22 y7V y(qyqy22x2(xa)y交 q ln(x2221/2y)ln(a ) 221y)/2)=WOR格式可編輯2(xa)y專業(yè)知識整理分享WOR格式可編輯y專業(yè)知識整理

16、分享6-24如圖所示，平面上有一對等強(qiáng)度為（0）r的點(diǎn)渦，其方向相反，分別位于（0, h),（0, -h ）兩固定點(diǎn)處，同時平面上有一無窮遠(yuǎn)平行于 的值。軸的來流V,試求合成速度在原點(diǎn)Vo解：平面上無窮遠(yuǎn)平行于x軸的來流V,上,下兩點(diǎn)渦的 勢函數(shù)分別為vx ,arctan(y,arctan(yh)/x),八2 (rh)/x)因而平面流動的勢函數(shù)為rVxarctan()/)y,y+arctan(h)/x) hx曲r +yh _2x(yhyh22x(yh2 )y,疋Vy22x(yh22x(yh,將原點(diǎn)坐標(biāo)（0,0）代入后可得v xv,v0.6-25如圖，將速度為h yI的平行于x軸的均勻流和1在原

17、點(diǎn)強(qiáng)度為q的點(diǎn)源疊加，求疊加后流場中駐點(diǎn)位置。工解:均勻流和在原點(diǎn)強(qiáng)度為勢函數(shù)為vx+ HVoovoV x乂 q 丁q的點(diǎn)的勢函數(shù)分別為22 lnxyVx,vx及Vx2xyqx.LV y22y2xyqy,令 0,0V,得到xv6-26如圖，將速度為的平行于x軸的均勻流和在原點(diǎn)強(qiáng)度為場中駐點(diǎn)位置，及經(jīng)過駐點(diǎn)的流線方程.+Inxy22,因而平面流動的22,yo.q的點(diǎn)源疊加，求疊加后流WOR格式可編輯y專業(yè)知識整理分享解：先計(jì)算流場中駐點(diǎn)位置均勻流和在原點(diǎn)強(qiáng)度為 qvoo-VOVq_L的點(diǎn)的勢函數(shù)分別為2才lnxyvx及l(fā)nxy22,因而平面流動的勢令v0,0,得到xv yq2v 乂- + 一-

18、乂Vx,匚Vx2xyqx22,y0. 一此即流場中駐點(diǎn)位置.均勻流和在原點(diǎn)強(qiáng)度為2xqy V -為 Vy+arctarf()2x=qyV+arctan()2xy6-27 一強(qiáng)度為10的點(diǎn)源與強(qiáng)度為-10的點(diǎn)匯分別放置于(25的沿x軸負(fù)向的均勻流合成，求流場中駐點(diǎn)位置q的點(diǎn)的流函數(shù)分別為vy,arCtan() X=0Vy=-qyCH2亠2，y 2xy,因而平面流動的流函 數(shù)V -,在駐點(diǎn)0,因而經(jīng)過駐點(diǎn)的流線方程為1，0)和(-1，0)，并與速度為解：均勻流，點(diǎn)源與點(diǎn)匯的勢函數(shù)分別為-25X,10+ +220.520 ln(2 (220.5X,i)y)ln( x)y),因而平面流動的勢函數(shù)為 ( h亠 25+x10 - 222 八 ln( x1)y-10Tn24亠(x 122 yV x2x2(x1)y2(x1)y10x110x125 八 一22Vy22匸y2(x1)y10.