2019-2020學年遼寧省六校高一下學期期中考試數(shù)學試題解析

1、絕密啟用前2019-2020學年遼寧省六校高一下學期期中考試數(shù)學試題學校：姓名：班級： 注意事項：1、答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息 2、請將答案 正確填寫在答題卡上一、單選題1 .復數(shù)z滿足z 1 i 2 1 i ,則z ().A. 1B. 2LC. 1D. 2 2答案：B利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)模的計算公式，即可求解，得到答案.解：2由題意，復數(shù)z 1 i 11 i (1 i) i(1i)22i2i2 |z|故選B.點評:本題主要考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復數(shù)模的求法,其中解答中熟記復數(shù)的運算法則，以及復數(shù)模的計算公式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力

2、，屬于基 礎題.2 .不等式tanxA. x | 一 k 3C. x | 2k 3答案：Bx k ,k Z 2x - 2k , k Z2B. x | k3D. x| 2k3x k ,k Z 2x - 2k ,k Z2由函數(shù)y tanx的圖象求得x的范圍.解：因為tanxJ3,所以結合函數(shù)y tanx的圖象可得x| - 3故選：B.x k ,k Z, 2點評:答案：B本題考查三角不等式的求解，運用三角函數(shù)圖象求解不等式，是常用的方法，屬于基礎3 .設tan ,tan 是方程x2 3x 2 0的兩個根，則tan( )的值為()A. -3B. -1C. 1D. 3答案：A試題分析：由tan ”，ta

3、n 3是方程x2-3x+2=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關系分別求出tan a +tan 3及tan a tan 3的值，然后將tan ( + +3)利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡后，將tan a +tan 3及tan a tan 3的值代入即可求出值.解：: tan a , tan 3是方 程 x2-3x+2=0 的兩個根，tan a +tan 3 =3, tan a tan 3 =2,則 tan ( a + 3 )tan tan1 tan tan-3 ,故選A.【考點】兩角和與差的正切函數(shù)公式點評：此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，以及根與系數(shù)的關系，利用了整體代入 的思想，熟練掌握公式

4、是解本題的關鍵.4.已知 ABC勺外心是邊BC的中點,aC=(2，3),則k的值為(A. 5B. -5C. -D.-22答案：D首先可判斷三角形為直角三角形，再根據向量的數(shù)量積為零計算可得；解：解：因為 ABC勺外心是邊 BC的中點, 所以 aC(ab 2k 1 3 0，解得 k |所以 ABB以A為直角頂點的直角三角形，因為aBk,1 , aC2,3故選：D 點評: 本題考查平面向量數(shù)量積的坐標表示，屬于基礎題5.已知角 的終邊過點P( 4k,3k) (k 0),則2sin cos的值是()A.B. 25 22C. 2或255D.隨著k的取值不同其值不同答案：B的終邊過點 P（4k,3k)

5、(k 0)sin3k5k3,cos54k_25k24k5kcos5) 5【考點】任意角的三角函數(shù)值6.下列函數(shù)中，周期為且在（7萬）上單調遞減的是（A. y sin xcosx b.y sinx cosx c. y tan(x4)d. ycos2x答案：A逐一考查所給的函數(shù):sinxcosx -sin2x2sin x cosx 、,2 sin其周期21,不合題意;tanx 4，其周期T上單調遞增，不合題cos2x的圖象是將函數(shù)cosx的圖象位于x軸下方的圖象翻折到上方得到的圖象，其周期T本題選擇A選項.7.棱臺的上、下底面面積分別為4和9,則這個棱臺的高和截得棱臺的原棱錐的高的比是（）A. 1

6、2D. 34設出棱臺的高與截得它的棱錐的高，利用面積之比等于相似比的平方，化簡求出結果.解:設棱臺的高為h與截得它的棱錐的高 H ,作出草圖，如下圖所示:22由相似關系可得,SOO1C1#SO01c1SO oC5 所以 SO2oc2即1 29,可得：1 t 3.故選：B.點評:本題考查棱臺的結構特征，計算能力，是基礎題.8 .一船沿北偏西45：方向航行，正東有兩個燈塔 A,B, AB 10海里，航行半小時后, 看見一燈塔在船的南偏東 60：,另一燈塔在船的南偏東 75：,則這艘船的速度是每小時( )A. 5海里B. 5石海里C. 10海里D. 10/2海里答案：D根據題意作出對應的三角形，結合

7、正弦定理及三角形的邊角關系即可得到結論.如圖所示，/COA=135，/ACOh ACBh ABC=15 , / OAC=30 , AB=10, . AC=10. AOC中,由正弦定理可得 10應0c ,OC 5J2 ,.V ¥ 10 2 12.這艘船的速度是每小時 10 J2海里，故選D.點評：正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下三種：（1）知道兩邊和一邊的對角,求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.二、多選題9.以下命題（其中 a, b表示直線，A.若 a/b,b

8、，則 a/C.若 a/b,b/，則a/答案：ABC根據直線與直線、直線與平面的位置關系可知平行的性質定理可知 D是正確的.解：對于A,若a/b,b對于B ,若a/ , b/對于 C ,若 a/b,b/對于D ,根據直線與平面平行的性質定理可知,a/b”是正確的，故選：ABC.點評：表不平面）其中錯誤的是（）B.若 a/ ,b/，則 a/bD.若 a/ ,a ,b,則 a/bA、B、C是錯誤的，根據直線與平面，則a/或a，故A錯誤；,則a/b或a與b異面或a與b相交；故B錯誤；，則a/或a ，故C錯誤；若 a/ , a ,b ,則本題考查了直線與直線、直線與平面的位置關系，考查了直線與平面平行的

9、性質定理, 屬于基礎題.10. 3ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量則下列結論正確的是()A. b 2B. a b答案：AD本題首先可以根據向量的減法得出ABC是邊長為2的等邊三角形得出A正確以及B錯誤，再然后根據向量b之間的夾角為120,計算出解:因為因為因為ABC是邊長為所以向量C錯誤，最后通過計算得出0, D正確.b,所以 bc ac ab a2的等邊三角形，所以b之間的夾角為120：, B錯誤,所以a bcos120：22, C錯誤,因為(2： S (2 i 23 J(2a b) BC (2a b) b 2ab b2220,所以(2 a b) BC故選：AD.點評：本題考查向量的減

10、法運算以及向量的數(shù)量積，若向量b之間的夾角為，則0,則a b,考查推理能力與計算能力，是中檔題11.關于函數(shù)f (x)3sin xcosx3 rsin2x /3 s s SH x1 ,下列命題正確的是(A.由f xf x21可得X x2是n的整數(shù)倍5B. yf(x)的表達式可改寫成 f(x) 3cos 2x 16 3c. yf(x)的圖像關于點,1對稱d. y f(x)的圖像關于直線x 一對稱12答案：BD 首先將函數(shù)化簡，再根據三角函數(shù)的圖象和性質，分別進行求解判斷即可.3.32所以f(x)-sin2x ”cos2x1 3sin 2x解：A.由 f(x) 3sin2x 一 31 得 sin2

11、x則函數(shù)的最小正周期X1的整數(shù)倍，故A錯誤,f (x) 3sin 2x3cos2x-53cos 62x1 3cos 2x 1 ,6故B正確,sin3_4sin7sin 60,即函數(shù)關于3一,14不對稱，故C錯誤,D .當x 時,12sin12sinsin21 ,是最小值，則y f(x)的圖象關于直線一對稱，正確, 12故正確的是BD,故選：BD點評:本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，結合函數(shù)的對稱性,三角函數(shù)的誘導公式是解決本題的關鍵，屬于中檔題.三、填空題12.已知a b 5,向量,一，2, J 的夾角為，則2a b =解: 解：因為 f (x) 3sin xcosx 3.3sin2 x3答

12、案：5 3運用向量的數(shù)量積的定義，計算向量a, b的數(shù)量積，再由向量的平方即為模的平方,計算代入數(shù)據，即可得到所求值.解: 解：曲向5,向量a與b的夾角為234 52 52 425故答案為：5 3點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質，考查運算能力，屬于基礎題.13 .已知 &ABC 中，a 2, c 76 , A 45 ,則 b 答案：,3 1已知兩邊和其中一邊的對角解三角形用余弦定理求解即可解：解：a2 b2 c2 2bccos A,所以 4 6 b2 2J6bcos45 ,b 33 1,故答案為：.31.點評：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，用余弦定理求解時，只要解出的邊是

13、正數(shù)就符合題意；基礎題.四、雙空題14 . 一個四面體的所有棱長都為 J2,四個頂點在同一個球面上，則此球的表面積為;該四面體白體積為.入1答案：33先求出正四面體的高，結合球心在高上及勾股定理即可求出球的半徑，利用球的表面積公式和三棱錐的體積公式即可解決.解：由題意可知，該四面體為正四面體，如圖正四面體A BCD,棱長都為 我，外接球球心為O , E為BCD的中心，設外接球半徑為R,則 BE ,OA OB R,在3RtAABE 中，AE ,AB2 BE2I2 2 辿，在 RtA BOE 中,33OB2 BE2AE R 2,即 R2 -323R ，解得R 火，所以此球的表面積,該四面體的體積為

14、- S BCD AE3 一為 4 R2 3-，1故答案為：3 ;-32點評： 本題主要考查正四面體的外接球問題及球的表面積、三棱錐的體積公式，屬于基礎題15 .函數(shù)f x 2sin 2x m,若f x 0在x 0- 上恒成立，則 m的取 62值范圍是;若f x在x 0, 上有兩個不同的解，則m的取值范圍是2答案：m 21 m 2將f x0化為m 2sin 2x 一,求出當x 0, 時，2sin 2x 一 的最大值626可得m的取值范圍，將 f x在x 0, 上有兩個不同的解，化為函數(shù) y f x , 2x 0,一與y m的圖象有兩個交點，再根據函數(shù) y f x , x 0, 的圖象可22得答案

15、.解：5當 x 0,時，2x -, , 2sin 2x 1,2，所以 2sin 2x 266 666的最大值為2,所以m 2.因為f x在x 0, 2上有兩個不同的解，等價于函數(shù)y f x , x 0,與2y m的圖象有兩個交點，函數(shù) y f x , x0,-的圖象如圖:2由圖可知，1 m 2.故答案為：m 2; 1 m 2.點評：本題考查了不等式恒成立問題，考查了正弦型函數(shù)圖象的應用，考查了由函數(shù)圖象的交 點個數(shù)求參數(shù)范圍，屬于基礎題 五、解答題16 .已知 ABC,則下列命題中，是真命題的有哪些？(1)若sin2A sin2B,則 ABC是等腰三角形；(2)若sinA cosB,則 ABC

16、是直角三角形；(3)若cosAcosBcosC 0,貝U ABC是鈍角三角形；(4)若 cos(A B)cos(B C)cos(C A) 1,則 ABC 是等邊三角形答案：(3) (4)為真命題(1)根據正弦函數(shù)性質及三角形內角的取值范圍判斷.(2)由誘導公式變形，結合正弦函數(shù)性質判斷.(3)由余弦函數(shù)性質判斷.(4)由余弦函數(shù)性質判斷.因為f x 0可化為m 2sin 2x6解: 解：(1)若 sin2A sin2B, ； A,B (0,),2A 2B或 2A 2B .A B或 A B .2ABC為等腰三角形或直角三角形，故(1)為假命題(2)若 sin A cosB sin B , 2A

17、A, B (0,),A B 或 A B 22A B 或 A B , 22ABC為直角三角形或鈍角三角形，故(2)為假命題.11(3)若 cos Acos B cosC 0,( A, B, C (0,),A B,C中有一個為鈍角，其余兩個為銳角，ABC為鈍角三角形，故(3)為真命題.(4)若 cos(A B)cos( B C)cos(C A) 1 ,cos(A B) ( 1,1,cos(B C) ( 1,1,cos(C A) (1,1,cos(A B) cos(B C) cos(C A) 1.又 A,B,C (0,),A B B C C A 0,A B C ,即 ABC為等邊三角形，故(4)為真

18、命題.點評：本題考查命題的真假判斷，考查三角形形狀的判斷，解題是需結合三角形內角的取值范圍和正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質判斷.Jra2,且向量a在向量b的方向上的投影為i,求:17.已知(1)由題知2,1, a cos1 ,進而得出cos ,即可求得(2)根據數(shù)量積的定義a bcos即可得出答案.解:1 ,所以cos2,1,解：(1)由題意,cos2121 -23.本題考查了向量的夾角、向量的數(shù)量積，考查學生對公式的熟練程度，屬于基礎題18.在銳角*BC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,且J3b cosC 2a sin B 、3ccos B(1)求角B ；b(2)右 sin A 3sin

19、C ,求一.c答案：(1) 60： ； (2) ,7.(1)本題首先可根據正弦定理邊角互化得出73sin B cosC 2sin Asin B - V3sin C cos B ,然后通過三角恒等變換化簡得出sinB立，最后根據2&ABC為銳角三角形即可得出結果;(2)首先可根據正弦定理邊角互化得出a 3c ,然后根據余弦定理得出1a2 c2 b2,一 一1 a_c_b_，帶入a 3c通過化簡即可得出結果.2 2ac解：(1)因為 T3bcosC 2a sin B V3ccos B ,所以由正弦定理可得 T3sin BcosC 2sin Asin B-J3sin C cosB ,即 5/

20、3sin BcosC V3sin C cosB 2sin Asin B ,由sin(B C) 2sin Asin B,向sin A 2sin Asin B ,因為在A ABC中，sin A 0,所以sin B 因為&ABC為銳角三角形，所以 B 60：,(2)因為sinA 3sinC ,所以由正弦定理可得 a 3c,.22,2因為B 60；,所以由余弦定理可知 cosB cos60 - a-c2 2ac代入a 3c,得二9c2 ,解得b ". 22 3c cc點評：本題考查正弦定理邊角互化以及余弦定理，考查余弦定理公式、 兩角和的正弦公式以及誘導公式，考查化歸與轉化思想，考查

21、計算能力，體現(xiàn)了綜合性，是中檔題19.已知(1)2求sinx cosx的值;c .1x 0,sin x cosx 一(2)2求sin2x 2sin x 的值.sinxcosx551 tan x答案:(1)24175(1)先求出2sin xcosx 的值,2再求出 sinx cosx 后可得sinx cosx的值;(2)先求出sin x3,cos x54一,再利用二倍角公式化簡三角函數(shù)式，代入前面的 5結果可得所求的值解:(1)對于sin xcosx .2兩邊平萬得sinx cos2 x+2sin xcosx ,所以25sin 2x2425 '(sin x、2cos x)sin 2x49

22、25 ，cosx0,sinx 0, sinxcosx 0,sin xcosxsin(2)聯(lián)立cosx15. r5 ,解得7sin xcosx2(5)2 ( 3)2524175點評: 本題考查同角的三角函數(shù)的基本關系式、二倍角公式，屬于中檔題題20.如圖，在正方體 ABCD A1B1C1D1中，作棱錐P ABCD ,其中點P在側棱DD1所在直線上，PD 4, DC 3, E是PC的中點.(1)證明：PA平面BDE；(2)求PAD以PA為軸旋轉所圍成的幾何體體積 .48答案：(1)證明見解析；(2)竺一.5(1)本題首先可以連接 AC交BD于O并連接EO,然后根據OE是PCA的中位線得 出OE/P

23、A,即可根據線面平行的判定證得PA平面BDE;(2)本題首先可以過 D作PA的垂線并令垂足為 H ,然后根據題意得出幾何體的形狀，再然后求出PA與DH的長，最后根據圓錐的體積公式即可得出結果解：(1)如圖，連接AC交BD于O ,連接EO ,因為四邊形 ABCD是正方形，所以 。為AC中點,因為E為PC的中點，所以OE是PCA的中位線，OEPA,因為OE包含于平面BDE , PA不包含于平面 BDE,所以PA/平面BDE ,(2)如圖，過D作PA的垂線，垂足為H ,則PAD以PA為軸旋轉所圍成的幾何體是以DH為半徑并且分別以 PH、AH為高的兩個圓錐的旋轉體，22因為側棱PD 底面ABCD ,

24、AD包含于底面 ABCD ,所以PD AD ,因為 PD 4, DA DC 3,所以 PA 5,12因為 PD t AD 二 PA» DH ,所以 DH 一，5所以APAD以PA為軸旋轉所圍成的幾何體體積為 V- xDH2, PA-&.3- 5點評：本題考查線面平行的判定以及旋轉體體積的計算，若平面外一條直線平行平面內的一條直線，則直線與平面平行，考查推理能力與計算能力，體現(xiàn)了基礎性與綜合性，是中檔題.121. ABC中，角A, B, C所對邊分別是 a、b、c,且cosA 1 .3求 sin2 B-C cos2A 的值； 2(2)若a 不，求 ABC面積的最大值.答案：(1

25、),2 B C(1)將sin2 cos2A化簡代入數(shù)據得到答案.29(2)利用余弦定理和均值不等式計算 bc ，代入面積公式得到答案 4解：2 B C2 A2a/1 sin cos2A sin 2cos A 12cos A 11 cosA22cos2A 11 一由cosA -,可得sinA 3 2222222422.已知函數(shù)f x sin x0,0的圖像相鄰對稱軸之間的距離是由余弦te理可得 a b c 2bccosA b c bc 2bc - bc bc ,333- 3 29.3即有bcwa 一,當且僅當b c 一,取得等號.442則AABC面積為1bcsinA 1 - 蟲2 述 22 434即有b c 3時， ABC的面積取得最大值 3叵. 24點評：本題考查了三角恒等變換，余