邏輯斯蒂有限增長模型的改進(jìn)與實(shí)證

1、邏輯斯蒂有限增長模型的改進(jìn)與實(shí)證鄭 瑤摘要：本文將經(jīng)典的邏輯斯蒂有限增長模型改進(jìn)為具有冪律型增長因子的更一般形式。 對于某些特定的冪律指數(shù)值求出了問題的解析解，利用數(shù)值方法對于冪律指數(shù)值的一般值給出了問題的數(shù)值解并與美國普查人口數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較。本文研究結(jié)果表明，由經(jīng)典邏輯斯蒂方程得到的計(jì)算結(jié)果與由實(shí)際普查人口差異相當(dāng)大，不能夠很好的反映人口增長的趨勢，而采用適當(dāng)具有冪律指數(shù)的模型來描述效果更好。關(guān)鍵詞：邏輯斯蒂方程，人口增長，微分方程，冪律模型. 1引言20世紀(jì)末，世界人口已經(jīng)達(dá)到60億已上， 到2050年世界人口估計(jì)將達(dá)到100億， 屆時這些人口的六分之一將生活在發(fā)達(dá)國家。人口增長問題不僅僅

2、是簡單的人口數(shù)量問題，更重要的是人口的迅速增長會對人類的福利造成影響，對經(jīng)濟(jì)發(fā)展造成影響1。自18世紀(jì)末馬爾薩斯發(fā)表了著名的著作人口原理，人口的增長問題越來越引起人們的重視。在僅考慮出生率和死亡率兩個因素情況下，設(shè)t 時刻人口總數(shù)為，設(shè)時刻人口總數(shù)為 馬爾薩斯有限增長模型描述為如下簡單微分方程0 (0t p t (t p 2-7kp dtdp= （1） 的解。其中k 為人口增長比例因子（k >0）. 方程（1）的解為， 它預(yù)測人口數(shù)量隨時間按指數(shù)增長。當(dāng)人口數(shù)量不大時，馬氏模型從一定程度上反映了人口增長規(guī)律， 但當(dāng)人口數(shù)量較大時，馬氏模型出現(xiàn)較大偏差。19世紀(jì)末， 丹麥生物數(shù)學(xué)家Pier

3、re-Francois Verhulst 將方程（1）改寫為(00 (t t k ep t p =p p M r dtdp(=， （2） 0>r 其中M 假定為人口的最大值。方程（2）稱為邏輯斯蒂有限增長模型， 其解為( (0000t t rM e p M p Mp t p +=（3） 多年來， 邏輯斯蒂有限增長模型被認(rèn)為具有相當(dāng)簡單生命史的生物種群模型，如有限空間的培養(yǎng)物中生產(chǎn)的酵母菌，經(jīng)濟(jì)學(xué)中關(guān)于新產(chǎn)品生產(chǎn)量的預(yù)測，以及未來人口數(shù)量預(yù)測。 事實(shí)上，人口增長要受到多種因素的影響。僅就出生率和死亡率來講，出生率受到嬰兒死亡率，人們對于避孕的態(tài)度及措施，對于墮胎的態(tài)度及懷孕期間的健康護(hù)理等

4、。死亡率受到衛(wèi)生設(shè)施與公共衛(wèi)生狀況，戰(zhàn)爭、污染、原料水平、飲食習(xí)慣、心理壓力和焦慮等的影響等。影響到一個地區(qū)人口增長的其他因素還有人口遷移，生存空間的限制，可用水資源及傳染病等。1顯然，要考慮到更多因素時應(yīng)該用更復(fù)雜的模型來描述。2改進(jìn)的邏輯斯蒂模型一般來講，人口增長比例因子參數(shù)應(yīng)該為（）的函數(shù)，. 冪律型模型廣泛出現(xiàn)在很多自然科學(xué)研究和工程實(shí)際問題中p M (p M f k =7，本文中我們將方程（1）中的比例因子參數(shù)改寫為 k ，（r , M , >0 為常數(shù)）, 則得到如下改進(jìn)的微分方程數(shù)學(xué)模型：(p M r =p p M r dtdp (=， （4） 0>r 當(dāng) 時即為經(jīng)典

5、的邏輯斯蒂有限增長模型。當(dāng)時可以用來描述一些更復(fù)雜的有限增長情況。1=1, 0> 下面討論對增長率情況，由方程（4）兩邊求二階導(dǎo)數(shù)得到 1( ( ( (11=+=+=p M p M p r p p M rp p M p r p 于是得到+=1Mp (5 上式表明當(dāng)人口數(shù)量達(dá)到 (t p +1M 時， 增長率dtdp達(dá)到其最大值， 人口增長最快，然后再逐漸遞減到零。下面表1 中給出了美國1790年至2000年人口普查數(shù)據(jù)表1 美國1790年至2000年人口普查數(shù)據(jù)年份人口年份人口年份人口當(dāng)時，為了和文2結(jié)果進(jìn)行對比，本文利用美國人口普查總數(shù)和美國人口邏輯斯蒂模型系數(shù) r ， 對于不同的冪律

6、指數(shù)，數(shù)值求解改進(jìn)的邏輯斯蒂有限增長模型（4）得到該模型所描述的增長規(guī)律，并利用美國普查人口數(shù)進(jìn)行實(shí)證， 如圖1所示。M p <10105887. 1×2 本文將經(jīng)典的邏輯斯蒂有限增長模型改進(jìn)為具有冪律型增長因子的更一般形式。 對于某些特定的冪律指數(shù)值求出了問題的解析解，并利用數(shù)值方法對于的一般值給出了問題的數(shù)值解。本文研究結(jié)果表明，由經(jīng)典邏輯斯蒂方程得到的計(jì)算結(jié)果及相應(yīng)曲線與由實(shí)際普查人口得到的曲線差異相當(dāng)大，并不能夠很好的反映人口增長的趨勢。采用適當(dāng)具有冪律指數(shù)型的模型來描述效果更好。參考文獻(xiàn)：1. 于同申：發(fā)展經(jīng)濟(jì)學(xué)M，北京，中國人民大學(xué)出版社， 2002年，第75-96

7、頁。美Frank R. Giordano, Maurice D. Weir, and William P. Fox, 數(shù)學(xué)建模（A first course in mathematical modeling原書第三板）M, 葉其孝，姜啟源等（譯），北京，機(jī)械工業(yè)出版社，2005年，第296-308頁。2. Levins, R. The strategy of model building in population biology J, Americanscientist,1966, 54, pp.421-4313. Verhulst, P. F. Recherches mathém

8、atiques sur la loi d'accroissement de lapopulationJ, Nouv. mém. de l'Academie Royale des Sci. et Belles-Lettres deBruxelles , 1845, 18, pp.1-41.4. Verhulst, P.F. Deuxième mémoire sur la loi d'accroissement de la populationJ, M ém.3de l'Academie Royale des Sci., de

9、s Lettres et des Beaux-Arts de Belgique, 1847, 20, 1-32.5. 楊啟帆：數(shù)學(xué)建模M，北京，高等教育出版社，2005年， 第50-90頁。6. Frauenthal, James C. Introduction to population modelingM, Lexington,Ma:Comap,1979.The improvement and test for the logisticpopulation growth equationYao-ZhengSchool of Economics, University of Renmin,

10、Beijing 100080Abstract. The classical logistic equation is generalized to a new model with power law exponent to the rate of growth of the population and the solutions are presented. A comparing is made with American population, the results indicated that the American population is affected strongly by the power law expon