數(shù)值分析考試復(fù)習(xí)總結(jié)

1、第一章1誤差相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差得概念例題：當(dāng)用數(shù)值計(jì)算方法求解一個(gè)實(shí)際的物理運(yùn)動(dòng)過程時(shí)，一般要經(jīng)歷哪幾個(gè)階段在哪些階段將有哪些誤差產(chǎn)生答：實(shí)際問題-數(shù)學(xué)模型-數(shù)值方法-計(jì)算結(jié)果在這個(gè)過程中存在一下幾種誤差：建立數(shù)學(xué)模型過程中產(chǎn)生：模型誤差參數(shù)誤差選用數(shù)值方法產(chǎn)生：截?cái)嗾`差計(jì)算過程產(chǎn)生：舍入誤差傳播誤差6 設(shè)a =0.937關(guān)于精確數(shù)x有3位有效數(shù)字，估計(jì)a的相對(duì)誤差.對(duì)于f (x)二J -x，估計(jì)f(a)對(duì)于f(x)的誤差和相對(duì)誤差.解 a的相對(duì)誤差:由于1_3l , 、 x a|E(x) |x a-10 .Er(x)-2xEr(x) 12 1_210 =一 10 .(Th1)2漢918f(a

2、)對(duì)于f(x)的誤差和相對(duì)誤差乍冃”=10| Er(f )|乞10：1 -a =4 10 .2有效數(shù)字基本原則：1兩個(gè)很接近的數(shù)字不做減法：2：不用很小得數(shù)做分母(不用很大的數(shù)做分子)例題：4 改變下列表達(dá)式使計(jì)算結(jié)果比較精確：(1)(2)(3)解1_ 1 - x對(duì) | X |一： 1；對(duì)X八1;-0,1x2 1.2x2.(1x)(12x).(3)2 1 - cosx sin xsin x=Sfex x(1 cosx) 1 cosx第二章拉格朗日插值公式（即公式（1）插值基函數(shù)（因子）可簡(jiǎn)潔表示為nn其中：n(X)3U (X-Xj), n XJI.I( Xj - X j ).7j=0例 1 n

3、=1 時(shí)，線性插值公式p(x) = y0x (X_X1)(x)，(XoX1)(X1Xo)例2 n=2時(shí)，拋物插值公式牛頓（Newton）插值公式由差商的引入，知（1）過點(diǎn)Xo, X1的一次插值多項(xiàng)式 為其中（2）過點(diǎn)Xo, x1 ,x2的二次插值多項(xiàng)式 為其中重點(diǎn)是分段插值：例題：1.利用Lagrange插值公式求下列各離散函數(shù)的插值多項(xiàng)式（結(jié)果要簡(jiǎn)化）：(1)-101/21-3-1/201(2)-101/21-3/2001/2解：方法一.由Lagrange插值公式可得： L3（x） =x2（x-1 2）方法二令31由L3（-1）， L3（1），定A, B（稱之為待定系數(shù)法）2215.設(shè)f（x

4、） =x2，求f （x）在區(qū)間0,1上的分段線性插值函數(shù)fh（x），并估計(jì)誤差, 取等距節(jié)點(diǎn)，且h =1/10.解 f （x） = X2，Xi 二 ih ， i =0,1, , 10 ， h = h0設(shè)Xi 空X Xi 1 ，貝U:誤差估計(jì)：| f (x) 一 fh(x) I蘭導(dǎo) max(x-ih)(x(i +011).2! ix 眾t!)h第三章最佳一致逼近:(了解)最佳平方逼近主要分兩種情形：1. 連續(xù)意義下在空間L2a,b中討論2. 離散意義下在n維歐氏空間Rn中討論，只要求提供f的樣本值1. 最佳逼近多項(xiàng)式的法方程組設(shè) L2a,b的 n 1 維子空間 P =span1,x,x2, xn

5、,其中1,x,x2，Xn是L2a,b的線性無關(guān)多項(xiàng)式系士士m士對(duì)-f L2a,b，設(shè)其最佳逼近多項(xiàng)式可表示為：=ai xii=0由(f - *, ) =0,-Pn一n i i *；即 為(x ,xj)aj = (f ,x ), i = 0(1)n(*2)j =0其中稱(*2)式為最佳逼近多項(xiàng)式的法方程組(或正規(guī)方程組).由xJ的線性無關(guān)性，可證明G正定，即上述法方程組的解存在且唯一 11、求f(x)二cos二X ， X- 0,1的一次和二次最佳平方逼近多項(xiàng)式.解： 設(shè)P1(x) = a0 a1x，P2(x) = bb1 xb?x分別為f(x)的一次、二次最佳平方逼近多項(xiàng)式。內(nèi)積(f,g)二 0

6、f (x) g(x)dx計(jì)算如下內(nèi)積:(X, X)3(X, X2) = 14 ,(xlx2)(1, f) =0 ,(X,f)2 二 2建立法方程組:aoai = 0(1)于是P1解得:2ao (13記2二“、1224(x)2-rXn nbo+(%)b +b2= 3111-b-b-b2234111:b0* ： b1 + 匚 b2i34512b0 2H，得:122a1242b124:2于是:1224F2(x)22 x.第四章1為什么要進(jìn)行數(shù)值積分常用哪些公式，方法答：梯形復(fù)化求積公式和simps on復(fù)化求積公式. 2:方法好壞的判斷：代數(shù)精度誤差分析1代數(shù)精度的概念*）對(duì)所有次數(shù)乞m的多項(xiàng)式bn

7、定義 若求積公式f(x)dx、7 Wjf(Xj)(ai=0是精確的，但對(duì)m 1次多項(xiàng)式不精確，則稱（*）具有m次代數(shù)精度。等價(jià)定義若求積公式（* ）對(duì)1,x, x2/ ,xm是精確的，但對(duì)xm 1不精確，則（*）具有m次代數(shù)精度3:誤差1等距剖分下的數(shù)值求積公式:公式特點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)預(yù)先給定，均勻分布,系數(shù)Wj ,i = 0(1)n待定利用插值多項(xiàng)式Pn(x)近似代替f(x)，即得插值型求積公式Newton-Cotes公式2給定節(jié)點(diǎn)數(shù)下的具有最佳逼近性質(zhì)(具有最高次代數(shù)精度)的數(shù)值求積公式：Gauss求積公式 公式特點(diǎn)：系數(shù)Wj, i = 0(1)n和節(jié)點(diǎn)Xj, i = 0(1)n均待定3分段插值多

8、項(xiàng)式(x)近似代替f(x)(分段求積)復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式通過高次求積公式提高精度的途徑不行，類似函數(shù)插值分而治之：分段+低次求積公式 稱為復(fù)化求積法兩類低次(n空4)求積公式：1. Newton Cotes 型：矩形、梯形、Simpson、Cotes 公式分別稱為復(fù)化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式2. Gauss型： 一點(diǎn)、兩點(diǎn)、三點(diǎn) Gauss求積公式稱為復(fù)化一點(diǎn)、兩點(diǎn)、三點(diǎn) Gauss公式復(fù)化梯形公式(Tn)Tn I f(X。)f(Xj f(Xj fg)f(Xn_1)f(Xn)2hn -1b af(a) 2 f (xQf (b),h 二2k an復(fù)化辛甫生公式：(每個(gè)ek上用辛甫生公

9、式求積)h f (xo) 4 f (xi) f (xi) f (xi) 4 f (xa f (X2)6 2 2+ + f (Xnj) +4 f *_1)+ f (Xn)2hnn 1=h f (a)4、f (xk i )2 f(xQ f (b)6k d一2k =1其中 h = b - a , x-1/2為ek的中點(diǎn)n復(fù)化辛甫生公式是最常用的數(shù)值求積方法。常采用其等價(jià)形式：復(fù)化柯特斯公式其中，h =, xi為xk1,xk的中點(diǎn)，n=xk _4 , xk -3為xk_i,x訂的四等分的分點(diǎn)自適應(yīng)復(fù)化求積法計(jì)算時(shí)，要預(yù)先給定n或步長(zhǎng)h，在實(shí)際中難以把握因?yàn)?，h取得太大則精度難以保證，h太小則增加計(jì)算工

10、作量自適應(yīng)復(fù)化梯形法的具有計(jì)算過程如下：步 1 n1, b a, T- f (a) f (b)2步2步3判斷|T2 -T1卜；？ 若是, 則轉(zhuǎn)步5；步 4 n 2n,hh/2, T廠 T2，轉(zhuǎn)步 2；步5輸出T2 .第五章1:常用方法：(1).直接解法：Gauss逐步(順序)消去法、 Gauss 主元素法、矩陣分解法等；(2).迭代解法：構(gòu)造某種極限過程去逐步逼近方程組的解 經(jīng)典迭代法Jacobi迭代法、Gauss-Seidel 迭代法、逐次超松弛(SOR迭代法等； .Krolov子空間的迭代法根據(jù)A的對(duì)稱性，又分為： A對(duì)稱正定共軛梯度法A非對(duì)稱BICG 、GMRes最小殘量法) .解一類特

11、定背景問題的迭代法多重網(wǎng)格法2:幾類迭代法優(yōu)缺點(diǎn)比較：3:迭代方法目標(biāo)：求解Ax=b 其中，A非奇異?；舅枷耄喊丫€性方程組Ax = b的解x，化為一個(gè)迭代序列極限解-0a 2100-ai20- a1nIL_ a n1Jacobi迭代方法若aii-0，迭代格式x(k 1)GJ x(k)-其中Jacobi迭代矩陣:Gj 二 D(L U)式可寫為分量形式(k 1)1Xi()biaiin-工 aijx(k), k=0.K-i(*1)方法(*1 )或稱為Jacobi迭代方法.關(guān)鍵：構(gòu)造迭代序列所滿足的公式：迭代格式 構(gòu)造迭代格式基本步驟：1. 將A分裂：A:=B C,其中，B非奇異2. 構(gòu)造迭代格式其

12、中B J C，稱之為迭代矩陣，其中，b - Ax(k)為x(k)的殘余向量此時(shí)，G = - BA,常用的迭代方法將A = (aij)分裂為其中A 二 D -L -UGauss Seidle迭代方法若aii - 0，迭代格式x(k1GG -x(k) - g其中,Gauss-Seidel迭代矩陣：Gg = (D - L) _1U其分量形式(kql)1 (kq!)J你)1Xi=bjJZajXj 送 ajXj , i =1,2,，n.(*2)aiij jjj 1即，在計(jì)算新分量Xi(k!)時(shí)，利用新值X(k 1) , j =1,2,，i -1。迭代法(*2 )或稱為Gauss-Seidel迭代方法。超

13、松弛方法(SOR)方法定義SOR方法的迭代格式如下：(k 1)Zii J1(k 1)b i l a ij x jn a ijX(k),a iij-1j 1X(k -1)Xi(k41)“ (k) Zj(1 - )Xj,i二 1,2, ,n(*3)稱為松弛因子，=1即為G-S方法.其矩陣形式其中，SOR 法的迭代矩陣：G. = (D -丄廠心)DU g ：(D 一 丄)b .第七章1:解非線性方程與方程組的方法：1. 準(zhǔn)確方法女口：用求根公式對(duì)n乞4次的代數(shù)多項(xiàng)式求根。但：絕大多數(shù)的方程并無準(zhǔn)確方法可用。如：n_ 5次的代數(shù)多項(xiàng)式并無求根公式。2. 數(shù)值方法(實(shí)際中大多采用)基本思想： 設(shè)法找到一

14、個(gè)能收斂到方程的解的序列。(1) .區(qū)間套法二分法。(2) .迭代法：簡(jiǎn)單迭代法；.Newton迭代法；.割線法；.加速算法。2:收斂條件： 二分法無條件 簡(jiǎn)單迭代法條件:定理1如果(X)滿足以下條件:1) -X a,b,(x)a,b;2) 日常數(shù)L： OcL 02. 差分格式的建立針對(duì)方程(3.1 )而言.Step 1取a,b的離散節(jié)點(diǎn)：a=x0_xi一_xN=b,第 m 步步長(zhǎng)hm=Xm -Xm，一般可取等步長(zhǎng)：hm = h , m = 1,2, N.Step 2 將y(Xm)用二階差商、y(Xm)用一階差商近似：y (Xm)y(Xm 1) - 2y(Xm) y(XmGh2m = 1,2，N，y (Xm)y(Xm 1)- y(XmG2hm = 1,2，N .理由：由Taylor展開，有兩式相加得2y (Xm)二m = 1,2, N - 1y(Xm J-2y(Xm) y(Xm_1)h_ y(4)()h212 y ( m)其中， Xm： m舟Xm .兩式相減得y (Xm)y(Xm1)-y(XmG h= r 2h2&y (m),m=1,2, N -其中,Step 32略去O(h )項(xiàng),并記ym ：、y(Xm),則由方程(3.1)(所以得到第一邊值問題(3.1)-(3.2)的差分格式:y