無窮級數(shù)練習(xí)題

1、無窮級數(shù)習(xí)題一、填空題1、設(shè)哥級數(shù)anxn的收斂半徑為3,則哥級數(shù)nan(x 1)n1的收斂區(qū)間為 n 0n 12、哥級數(shù) (2n 1)xn的收斂域?yàn)?n 03、哥級數(shù)n一-x2n 1的收斂半徑Rn 1 ( 3 )n 2n nx 4、哥級數(shù)的收斂域是 。non 1一 (x 2)2n ,，5、級數(shù)(x 2/ 的收斂域?yàn)?。n 1 n46、級數(shù) 也孚-的和為 n 027、1 n 1 n(-)n 128、設(shè)函數(shù)f (x) x x2 ( x)的傅里葉級數(shù)展開式為包(an cosnx2 n 1bnsin nx),則其系數(shù)b3的值為1.x 0.9、設(shè)函數(shù)f(x),2，則其以21 x ,0 x ,斂于。為周期

2、的傅里葉級數(shù)在點(diǎn)處的10、級數(shù) 的和n 1 n( n 1)( n 2)一 (x 2)n ，11、級數(shù) (x 2)的收斂域?yàn)?n 1 n 4n參考答案：1、( 2,4) 2、( 1,1) 3、R J3 46、22 ln3101,1) 5 、 (0,4 )111 、(0,4 )4、選擇題1、設(shè)常數(shù) 0,而級數(shù) a2收斂，則級數(shù) (1)naL是()。n 1n 1, n2(A)發(fā)散(B)條件收斂(C)絕對收斂(D)收斂與 有關(guān)、 anlanlan an2、設(shè)Pn nI ",qn-,n 1.2L ,則下列命題中正確的是()。22(A)若an條件收斂，則n 1Pn與 qn都收斂。n 1n 1(B

3、)若an絕對收斂，則n 1Pn與 qn都收斂。n 1n 1(C)若an條件收斂，則n 1pn與 qn的斂散性都不一定。n 1n 1(D)若an絕對收斂，則n 1pn與 qn的斂散性都不定。n 1n 13、設(shè) an0,n1,2L，若 an發(fā)散，(n 1n 11)n 1an收斂，則下列結(jié)論正確的是(A)a2nl收斂，a2n發(fā)散.N 1n 1(C)(a2n1 a2n)收斂.n 14、設(shè)為常數(shù)，則級數(shù)(sin(n )n 1 n(A)絕對收斂.(B)條件收斂.(B) a2n收斂，a2nl發(fā)散.n 1n 1(D)(a2n 1a2n)收斂.n 1)(C)發(fā)散.(D)收斂性與取值有關(guān).)是(5、級數(shù)(1)n(

4、1 COS-)(常數(shù) f 0)是( n 1n(A)發(fā)散.(B)條件收斂.(C)絕對收斂)(D)收斂性與有關(guān).6、設(shè) un(1)nln(11一一1),則級數(shù)- n(A)un與 U2都收斂.(B)un與U2都發(fā)散.n 1n 1n 1n 1(C)un收斂而 u2發(fā)散.(D)un發(fā)散而 u2收斂.7、已知級數(shù) (n 1n 11)an2, na2n 115,(A) 3.(B)7.(C) 8.(D) 9.8、設(shè)函數(shù)f(x)x2(01)S(x)bn sin n其中bn2f (x)sin nxdx1,2,3L，則 S(-2(A)2(B)(C)(D)9、設(shè) f (x)x,2x,其中an2f (x )cos n(

5、A) 210、設(shè)級數(shù)(A)(n 11)n11、已知級數(shù)(A) 3.12、若級數(shù)(A)nanxdx(n3(C)一4S(x)a0an cosn x ,10,1,2,L )則S(n收斂，則必收斂的級數(shù)為unn(B)(D)(C)(u2n 11U2n).(D)(un un 1 ).1)n1ana2n n 1(B) 7.(C) 8.(D) 9.an收斂，則級數(shù)收斂.(B)1)nan收斂.(C)anan 1收斂. n 1(D)nanan 1收斂.1213、若an(xn 01)n在x 1處收斂，則此級數(shù)在 x 2處(A)條件收斂(B)絕對收斂(C)發(fā)散.(D)斂散性不能確定14、設(shè)備級數(shù)anxn與bnxn的收

6、斂半徑分別為 Y5與，則哥級數(shù)%xn的收斂半n0n 133n 1 b；徑為()(A) 5.(B)叵.(C) 1.(D) 1.3351234567891011121314CBDCCCBCDCDBA參考答案:三、解答題1、設(shè)f ( x)在點(diǎn)x 0的某一鄰域具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且limf區(qū) 0,證明級數(shù)f(-)x 0 xn 1 n絕對收斂。f(x)【分析一】lim 0表明x 0時f(x)是比x局階的無窮小，若能進(jìn)一步確定X 0 xf(x)是x的p階或高于p階的無窮小，p 1,從而f(1)也是 '的p階或高于p階的無窮小，這就證明了1 f( _)絕對收斂。n 1 nf (x)【證明一】由lim-

7、 0及f(x)的連續(xù)性f(0 ) 0, f (0 )x 00 。再由f(x)在x 0鄰域有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)及洛必達(dá)法則f(x) r f (x) r f (x) 1,lim -lim lim - - f (0)x 0 x2x 0 2xx 0 22f(x)2x1-lf (0)f(1)1由函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系lim 1f (0)x 12-2n一 1 一，1，r1因一收斂f()收斂，即 f()絕對收斂。n 1 nn 1 nn 1 n2、設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an單調(diào)減小，且(n 1n1c1)nan發(fā)散，試問級數(shù)()n是否收斂?n 1 an 1【分析與求解】因an單調(diào)下降有下界0 極限limxana 0。若a 0

8、,由萊布尼茲法則，并錯級數(shù)1）nan收斂，與假設(shè)矛盾，于0?，F(xiàn)在對正項(xiàng)級數(shù)an1二）n可用根值判別法：因?yàn)?所以原級數(shù)收斂。3、求哥級數(shù)n13n【分析與求解】limn/1、n11()lim an 1 n an 1 a 1n（2）nx-收斂區(qū)間'直接用求收斂半徑的公式,nlim n13n ( 2 )n并討論該區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性。先求limn3(111122、n、n*3(3)于是收斂半徑R 3,收斂區(qū)間為（3,3).當(dāng)x 3時是正項(xiàng)級數(shù):13n3nF27_3n3n (2)n),3n3n1 3ng ( 2)n n發(fā)散，即x 3時原哥級數(shù)發(fā)散。3時是變號級數(shù)，我們用分解法討論它的斂發(fā)散。1(

9、1)n(3n ( 2)n ( 2)nnn3( 2) n3n ( 2)n3n lim n(1)nn2n3n(2)n n2n3n2n(2)nlim n3n3n ( 2)n12c.1 0, (-)n 收斂, n n1 32nn 1 3n (原哥級數(shù)收斂。2)n上收斂3n13n ( 2)nn收斂，即x 3時x3 x6 x94、(1)驗(yàn)證函數(shù) y(x) 1 L3!6!93n x(3n)!)滿足微分方程(2)利用(1)的結(jié)果求哥級數(shù)3n的和函數(shù)。n o(3n)!【分析與求解】(1)首先驗(yàn)證該哥級數(shù)的收斂區(qū)間是().這是缺項(xiàng)哥級數(shù)，令tx3,則3n xtnn o(3n)!n o(3n)!1,(3(n 1)!

10、1由 limlim n 1 n (3n 3)(3n 2)( 3n 1) (3n)!t (,)，從而x (,)時原級數(shù)收斂。其次，在收斂區(qū)間對哥級數(shù)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次，這里要求逐項(xiàng)求導(dǎo)兩次:y (x)3n 1 xn 1(3n1)!y (x)3n 2 xn 1(3n2)!).y(x) y(x)y(x)3n 2xn 1(3n 2)!3n 1x1 (3n 1)!3nxo(3n)!級數(shù)的線性性質(zhì)3n 2 x3n 1 x3n x(3n 2 )!(3n1)!(3n)!337)2/ x(x2!).(收斂級數(shù)與它任意添加括號后的級數(shù)有相同的和)3n(2)因?yàn)楦缂墧?shù)x一的和函數(shù)y(x)滿足微分方程n 0(3n)!

11、y y yex.又知y(0 ) 1,y (0) 0.所以為求y( x)只須解二階線性常系數(shù)微分方程的初值問題喳該方程相應(yīng)的齊次方程的特征方程為1 0.特征根為1,2 - i相應(yīng)齊次方程的通解為1_xy e 2 (C1 cos3 C2slx).22設(shè)非齊次方程的一個特解為yAex,代入方程得3Aex非齊次方程的通解為xe 2(C1,3cosx2c2sin 立 x) .23令x 0,由初始條件y(0)Ci1,y(0)3c22 20.C126二,C20.3因此y(x)3nx2 -一 e n0(3n)! cos35、求哥級數(shù)n(1)n1(11n(2n 1)x2n的收斂區(qū)間與和函數(shù)f(x).【分析與求解

12、】這是缺項(xiàng)哥級數(shù)，令t x2,考察 antn ,其中n 1an ( 1)n1(11).1Pn2nlim ；an1.antn的收斂半徑為n 1原哥級數(shù)收斂半徑為1,收斂區(qū)間為(1,1)。卜面求和函數(shù):f1(x)n1)n1 2nx(1)n112(n 1)xn 2n1) xf2(x)n1)nn(2n 1)2nx ,f2(x)1)n 12n 1 x2n 1f2(X)n 1 2( n 1)1) x21 x2(x1)注意f2(0)0,f2(0)0 ,積分兩次得因此，f(x)6、求級數(shù)f2(X)f2(X)f1(x)x0 f2(t)dtx0 f2(t)dt2x arctan xf2(x)n 1 / 21) 2

13、n(n n【分析與求解】先將級數(shù)分解:n 1 , 2A ( 1) -n(nn 02第二個級數(shù)是幾何級數(shù)，它的和已知(1)nn0 21 ( 2)x 122dt0 1 t2x2 arctan tdt 02 arctan x,2x arctant2dt t221n(1 x )2x _ 一2 2xarctan x 1n(1 x).1)的和。n 1n 1)( 1) -nn(nn 021)求第一個級數(shù)的和轉(zhuǎn)化為哥級數(shù)求和,n n(1) xn 0考察(x1)S(x) ( 1)nn(n 1)xn 2 n 0n n(1) xn 0(/x)2(1 x)3n 1111) 2nn(n 1)22 S(-)1241 34

14、(1 2)3427因此原級數(shù)的和422227 3 277、求級數(shù)c n 2n 22 ( n 1)的和?！痉治雠c求解】先用分解法將原級數(shù)分解。4i(1-)2 2 n 1 n 1 n要熟記五個簡單函數(shù)的哥級數(shù)展開式,1n( 1A1c n 1 /2 2 ( n 1)(1)n1n因此8、將函數(shù)A2c n 12 2 ( n 1)1n(1A1n 1 ,2 2 (n 1)n 1 ,n 22(n 1)與此級數(shù)和有關(guān)的是xn ( 1 x 1).0n n 1 2n 321n(1 x),即1-2- n1 1n( 142)1一 1n2 ，4(1)nnA21-(2)(1)n1 n1-(-)n 1228 31n2. 41

15、n21 x 一f (x) arctan展為x的帚級數(shù)。1 x【分析與求解】f (x)容易展開。f(x) Tv： 1 H)2(1 x) (1 x) ( 1)(1 x)2(1 x)2 (1 x)2t2 L1)ntn(1)ntn(t 1),0f (x)11 x2n(1) x02n1).在哥級數(shù)的收斂區(qū)間可逐項(xiàng)積分得x0 f出n1)nx c0 t2ndt,f(x) f(0)(1)n0 2n 12n 1 x(_Xx2n10 2n 1且收斂區(qū)間不變，當(dāng)x1時，式右端級數(shù)均收斂，而左端f(x)1 x »/arctan在 x 11 x連續(xù)，在x 1無定義，因此arctan 1 x2nn 0 2n 1

16、1,x 1,1)19、將函數(shù)f (x) 1n 41arctan x2展開成x的哥級數(shù)?！痉治雠c求解】f(x)1 1n(1 x)41 1n(14、1x) arctan x 2先求f (x)的展開式積分得f (x)10、設(shè) f(x)11二 22 1x24n x04n x1(x Df(x) f(0)(x)dxxt4ndt04n xn 1 4n 11).(1 )n的和。n 1 1 4n【分析與求解】1 x221,arctan x,x試將f(x)展開成x的哥級數(shù)并求級數(shù)關(guān)鍵是將arctan x展成哥級數(shù)，然后約去因子x,再乘上1x2并化簡即可。直接將arctan x展開辦不到，且(arctan x)易展

17、開，即1(arctan x)21 xn 2n1) x , x1,積分得arctan xx0 (arctan t) dtxn1) 0 tdt(1)n 2n 1x0 2n 1因?yàn)橛叶思墧?shù)在x 1成立。1時均收斂，又arctan x在1連續(xù)，所以展開式在收斂區(qū)間端點(diǎn)現(xiàn)將式兩邊同乘上式右端當(dāng)上式中令x11、將函數(shù)的和。2 x .arctan x xf(x)1( 1)nn 1 1 4n2f(x) 2x( 1【分析與求解】因f(x)為偶函數(shù)an(1x2) 3n 0 2n(1)0 2nn2n一 x1f(1)1)nn-x12n3x n 02n 1J2nn 1 2n 112n 1嗎x，4nn -1) 2 2n2

18、x ,x4n11222nn 2n 2(1) xn 0 2n 1-x2n2n 11,1, x 0.1,1.1441)展成以2為周期的傅里葉級數(shù),并由此求級數(shù)1i5按傅氏系數(shù)公式，先求 f(x)的傅氏系數(shù)an與bn。bn0( n 1,2,3L ).1 一、 n , i_j 八0 f (x )cos -xdx = 210 ( 2 x )cos n dx注意到為了求現(xiàn)由14 cosn0a。f(x)在f(x) 22 xdx 一 n2°(1)n 1 n12 n10(2 x)dx1,11xd sin n01sin n02xdx 2 2cosnn5.12、將函數(shù)f( x)4-T2(2k 1)20,2

19、k 1, 2k .(n 1,2,L )分段單調(diào)，連續(xù)且f( 1)2(2n上式中令21 (2n 1)21)21(0【分析與求解】這就是將氏系數(shù):bn0( n1,2,3L ).，即f(1)-cos(2n 1)1),于是有傅氏展開式x,x1( 2n2(2n)2an1)221(2n 1)2122n 1 n 6x 2)展開成周期為4的余弦級數(shù)。f(x)作偶延拓后再作周期 4的周期延拓，于是得 f(x)的傅n xl_2f (x )cos dx -20(x1)d sin(x 1)cossinn .xdx2n .xdx24-cos n1)n1)8(2k 1)20,2k 1,2k,k 1,2,3L2 22a0

20、2 0 f(x)dx 0(x1 1)dx -(x1)20.由于(延拓后)f(x)在2,2分段單調(diào)、連續(xù)且f( 1)1).于是£(*)有展開式f(x)1 2 cos 1(2n 1)(2n21)c cx,x 0,2 .13、求哥級數(shù)n 1 3n ( 2)nxn的收斂區(qū)間, n并討論該區(qū)間端關(guān)處的收斂性。解：設(shè)an3nJ(2)n n0, n 1,2,L ,記VnVn 1Vnlimxan 1anlimx3n3n(2)n n(1)n1 (n1)limx1 ( - )n1 1 ( 3)1312、n 13(3)收斂區(qū)間(3,3).3 時，an1,發(fā)散2n3時,an3n3n (n2) n12n原級數(shù)

21、在x 3處發(fā)散。3n ( 2)n23n 1( 3n3)nnr(1)n2nnn3( 2) n0, n1,2,L ,2)n 13n (2n1 ( 2)“32nn 13n ( 2)n1一收斂，又 n1)n匕工收斂。故原級數(shù)在x 3處收斂收斂域3,3).14、將函數(shù)xf(x) 2展開成x的哥級數(shù)。2 x x2分析先將f(x)分解成部分分式，再利用等比級數(shù)間接展開。解：f(x)n(2 x)(x 1)x),n。# 22,1)1.f(x)1 nn 02nxn n1) x13n 01)1 x 1.15、將函數(shù)f ( x)arctan1 2x2x展開成x的哥級數(shù)，并求級數(shù)1)n0 2n 1n的和。分析直接展開較

22、困難，先將 f (x)展開，再遞項(xiàng)積分得出f(x)的展開式解 f(x) -12(1 2x) 2(1 2x)2(1 2x)224x2n 2 n1) (4x )n n 2n1) 4 xf(x)xf(0)0f (t)dt(1)no2nn 2n 14 x0 2n 1n n1) 4xt2ndt012時,(1)n02n 1f(x) 4(1)nn 02n 1122n 112n(1)n收斂12n(萊布尼茲判別法)4n4n(1)2n122n 12n 1x ,x(1)n 匕收斂2 n0 2n 11 12 ,21f(2) 4(1)n no 2n一 arctanO 01(1)nn 0 2n 116、求哥級數(shù)(1)n1

23、 2n 1的收斂域及和函數(shù)n 1 n(2n 1)s(x).解：求收斂域，由于該哥級數(shù)缺項(xiàng)哥級數(shù)則直接用比值判別法求之，設(shè)n 1 2n 1(1) x.Un(x),n 1,2Ln( 2n 1)當(dāng)x2當(dāng)x2limxUn 1( x)Un( x)2n 3n( 2nlim !x (n 1)( 2n 1)1 ,即x 1時，原級數(shù)絕對收斂;1,即x 1時，原級數(shù)發(fā)散。所以原級數(shù)的收斂半徑為1,收斂區(qū)間是(當(dāng) x 1 時，-(_6n 1 n(2nn 1絕對收斂(Q1)x2n11,1).n(2n 1)同理，當(dāng)x 1時，n(1)n因此，該級數(shù)的收斂域?yàn)?.1x 1,1(1)n 1x2nS(x) n 1 n(2n 1

24、)17、求哥級數(shù)(1)n 1(1n 1一絕對收斂, n(2n 1)x2n (1)的收斂區(qū)間與和函數(shù) f ( x )。 n(2n 1)解：此級數(shù)(1)是缺項(xiàng)的哥級數(shù)n 11 x n 1 n( 2n 1)1 2n令 Un(x) ( 1) (1)x x ,n 1,2L ,n(2n 1) n(2n 1)Q limn當(dāng)x2當(dāng)x2Un 1(x)Un(x)級數(shù)（1）(1)nn 1記 g(x)S(x)f(x)18、（1）討論級數(shù)anbn絕對斂。(1)Q - un(2)limn(n 1)( 2n 1) 1 n(2n 1)2x(n 1)(2n 1) n(2n1) 11時,1時,的收斂區(qū)間為1(1級數(shù)（1）絕對收斂

25、;級數(shù)（1）發(fā)散。(1,1)n(2n 1)2n)x(1)n11 2nx(1)n12n(2n 1)1 2n一 x1)n 1 2nx2x"2 ,1 x1,1)1)n1 2n(2n 1)2n x(例7 )xarctamx211n(1x2)g(x) 2S(x)(n 1)!(n2x2x2 arctan xlin (1x2 ),x ( 1,1)2)!(n 1)n2(n 1)!收斂的斂散性,（2）已知級數(shù)n=1(n1)!n(n 2)1(n 1)2 (12an1)n nbn2都收斂12 anbn收斂xnn 1絕對收斂。19、設(shè)有方程xn和b：都收斂,n 1anbn收斂nx 1 0 ,其中n為正整數(shù)，

26、證明此方程存在唯一的正實(shí)根試證明級數(shù)xn,并證明當(dāng) 1時，級數(shù)xn2收斂。n 1分析 (1)存在性用根的存在定理，唯一的性用函數(shù)的嚴(yán)格可調(diào)性(2)用比較判別法證明xn收斂。n 1證(1)取fn(x) xn nx 1 0,則fn(x)在0,1上連續(xù)，且fn(0)1 0, f(1) n 0 nn (0,1),使 f(xn) 0,又fn(x) nxn 1 n 0,x0,fn(x)在0,上嚴(yán)格遞增方程xn nx 1 0存在唯一正實(shí)根xn (0,1).由 xn nxn 10 且 xn (0,1),有1 xn 1n 10 xnn 0 xn (1)n nn一 1 一，又 '收斂 nn收斂。n 1 n

27、n 120、設(shè) an4 tannxdx.n 01(1)試證： -(an an 2) n 1 n(2)試證：對任意常數(shù)0,級數(shù) 曳收斂。n 1 n(1)解 直接求an an 2的表達(dá)式an an 24 tannxdx o4tann 2xdxo4tann x (1 tan2 x )dx04 tannx sec2 xdx04tann xd(tan x)n 1 n( n 1)1/cc 、一(anan 2 )n 1 nSn1n 1 k(k 1)由于因此21、求級數(shù)(x1( n(an n 1 nan1) 104 tannxdxtn2dt 1 t21tndt0tann ,narctan tan n1,1,&

28、#39;收斂n 1 1包收斂。1 n3)n的收斂域?！窘狻恳蛳禂?shù)an1,2L，故limxan 1anlimx2n(n 1)21.因此當(dāng)1 x 31,4時級數(shù)絕對收斂。當(dāng)x 2時，得交錯級數(shù)1)1；當(dāng)乂 4時，得正項(xiàng)級數(shù)2n1-2 , 者都收斂,1 n于是原級數(shù)的收斂域?yàn)?.422、已知函數(shù)f(x)x,2 x,若 11.試計(jì)算下列各題:2.2(1) S00 f(x)exdx;(2)S142 f(x2)e xdx;2n 2(3)s。2nf( x 2n)e xdx (n2,3L )；(4)ssn0【解】用分段積分法，分部積分法和換元積分法，分別可得1 x2x1 x(1) s00 xe dx 1 (2

29、 x)e dx 0 xe dxxe xdx2e xdx1xxe1e Xdx oxxe2e Xdx11 21 (1 -)e12 (e e1)2；2(2)s1x 2 t of(t)et2dtf (t)e tdt2 s°e(3)snx 2n t2ndt2ntdt soe2n2n e(4)利用以上結(jié)果，有sSn n 0SonSo12 ee2Soe2 1(e 1)2e2 123、設(shè)有兩條拋物線 y2 nx(n1)x,記它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對值為an。(1)求這兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積Sn ；(2)求級數(shù)員的和。n 1 an【解】(1)用Ln與Ln 1分別表示兩條拋物線212y nx 一

30、與 y (n 1) x n有兩個交點(diǎn)(an,yn )與(anUn ),如圖5.2.令nx21(n 1)x n,容易求得an=,利用定積分還可求得兩1)拋物線圍成的平面圖形的面積。an2號an nx(n1)x2dx n 1(2)于是2ann( n 1)因?yàn)镾nanan2 .x dx3 n( n11) n( n1)3 n(n 1)n _Sk k 1 akSnn 1 an(n1,2LL ),-(1 -)(3 1 22n Sk lim n k 1 ak(-n六).4 lim( 13 n124、設(shè) 1n【解】由In01, '2、n1n0n 1( 2 )sinn xcosxdx,n 0,1,2,L

31、 ,求 In 0In4sinnxd(sinx) -(sinx)n 1 工(孚)n 1，有0n 10 n 1 2令 s( x)xn 1 ,因其收斂半徑 R 1 ,且s(0 ) 0 ,故在(1,1)有 n 0 n 1ns( x) x n 0x 1于是 s( x) s(0 ) o - dt 1n(1 x ), 1 p x p 1.(1,1),即得1,'2、n1n 0n 121n(1 J) 1n(2 .2).從而In n 0 n 004sinnxcosxdxs(£) 1n(2 ,2).n 1 xe25、已知fn(x)滿足fn(x) fn(x) x e ( n為正整數(shù))，且fn(1)一

32、,求函數(shù)項(xiàng)級數(shù) nfn(x)之和。 n 1【解】由已知條件可知 fn(x)滿足一階線性微分方程nfn(x) fn(x) xn 1ex,其通解為fn(x) ex(3 C).nn xex e由條件fn( 1) 一，得C 0,故fn(x).從而nnfn(x)記 s( x)n 1n,其收斂域?yàn)閚1,1)，且S(0) 0,當(dāng)x ( 1,1)時，有于是，當(dāng)26、 (1)s(x)s(x)s(0)x0 s (t)dt1dt ln(1 x).1 t由 s(x)與 ln(1 x)在 x1的連續(xù)性知，上述和函數(shù)公式在1 x 1時，有驗(yàn)證函數(shù)y( x )fn(x)1exs( x)ex1n(1x).3 x3!6 x6!9 x9!3nx(3n)!)滿足微分方程(1)利用(1)的結(jié)果求哥級數(shù)3nx0(3n)!的和函數(shù)。【解】(1)因?yàn)楦缂墧?shù)y(x) 13 x3!6 x6!9 x9!3nL (3n)!的收斂域是(),因而可在()上逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù)，得所以y