2020年高考理科數(shù)學(xué)《數(shù)列》題型歸納與訓(xùn)練

1、2020年高考理科數(shù)學(xué)數(shù)列題型歸納與訓(xùn)練【題型歸納】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算題組一等差數(shù)列基本量的計(jì)算例1設(shè)S為等差數(shù)列何)的前7?項(xiàng)和，若%=1,公差d=2, S7與=36,則片A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】解法一：由題知S=na +雪112d=n + n(n1)=M,=5+2)2,由耳+-s=36得，(+ n 122)2-2=4+4=36，所以 77=8.解法二：S，廠S =4=2i+(2 + l)d=2+2(2? + l)=36,解得=8.所以選D.“十 L 71 71 十 JL71 十 Z1【易錯(cuò)點(diǎn)】對(duì)S+廠S=36,解析為冊(cè)+2發(fā)生錯(cuò)誤。題組二等比數(shù)列基本量的

2、計(jì)算例2在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列冊(cè)中，若丹2二14=36 + 224,則6的值是.【答案】4【解析設(shè)公比為狗M),2=1，則由丹8二丹6 + 2%得q6=q4 + 2q2,即q2 2=。，解得平=2, a = a q4 = 4.62【易錯(cuò)點(diǎn)】忘了條件中的正數(shù)的等比數(shù)列.【思維點(diǎn)撥】等差，(比)數(shù)列基本量的計(jì)算是解決等差(比)數(shù)列題型時(shí)的基礎(chǔ)方法，在高考中常有所體現(xiàn)，多以 選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在解答題的第一間中，屬基礎(chǔ)題等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的解題 思路：(1)設(shè)基本量力和公差d(公比q).(2)列、解方程組：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于和d(q)的方程(組)，然后求解.，注意整體計(jì)算，以

3、減少運(yùn)算量.等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明 題組一等差數(shù)列的判定與證明例1設(shè)數(shù)列%的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前項(xiàng)和為已知對(duì)任意£N*, S是42J口冊(cè)的等差中項(xiàng).(1)證明：數(shù)列%為等差數(shù)列；若b=n + 5,求q»的最大項(xiàng)的值并求出取最大值時(shí)的值.【答案】見解析；(2)當(dāng)片2或=3時(shí),%的最大項(xiàng)的值為6.【解析】(1)由已知可得2sL嗎+(，且4>0,當(dāng)=1 時(shí),21=。+%，解得=1; JLitlAJL當(dāng) n>2 時(shí)，有 2s i=2 +%-i， ft 1/ 1所以 2%=2s-2S,li=gJ所以空一空即(%+%)&%尸(十%，因?yàn)?所以%一。-1=1倫2

4、).故數(shù)列是首項(xiàng)為b公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)可知 a=n,以 c-7>'J cnfiy ri i j) / i j 一(i 學(xué), 因?yàn)?#163;N*,所以當(dāng)=2或n=3時(shí)，%/?"的最大項(xiàng)的值為6.【易錯(cuò)點(diǎn)】S是42和Q的等差中項(xiàng)，無法構(gòu)建一個(gè)等式去求解出Q )1)1 O【思維點(diǎn)撥】等差數(shù)列的判定與證明的方法：定義法：a a =d(n£ N*)或a a = d(n z 2,n七N*) o a 是等差數(shù)歹ij；m-1 nnn-1n定義變形法：驗(yàn)證是否滿足a -a =a -a (nneN*)； rn1 nnn-1等差中項(xiàng)法：2a =a +a (ne N

5、*) oa 為等差數(shù)列；n+1 nn+2n通項(xiàng)公式法：通項(xiàng)公式形如a=pn + q(p,q為常數(shù))=a 為等差數(shù)列； nn前項(xiàng)和公式法：s = pn2 + qn(p,q為常數(shù))=a 為等差數(shù)列.注意:(1)若判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，只需找出三項(xiàng)a ,a a 使得2a wa +a即可; n m-1 什2m-1 n m-2(2)如果要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項(xiàng)法.題組二等比數(shù)列的判定與證明例2設(shè)數(shù)列4的前項(xiàng)和為力 已知4=1, Sn+=4a+2.(1)設(shè)與=*_-2%,證明：數(shù)列4是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】見解析；(2)%=(3-【解析】由 4=1 及 S

6、 i=4a +2,得i+)=S)=4i+2.X11 I XflX 4 乙JL血=424=3.又心+1=乜+2，區(qū)=4*+2,-,得%=4%-4%,%+12%=2(%2為_)力=%+12%，,血=2%，故勾是首項(xiàng)4=3,公比為2的等比數(shù)列.(2)由知 =%+2%=32f 1 I 一 ,2+1 2 4口乂" J "y 0 寸H WJ .,3 3l1N y 7 IT,故 %=(3-1>2-2.【易錯(cuò)點(diǎn)】對(duì)于ban+2a”在條件中無法構(gòu)造出來，等比數(shù)列的判定與證明常用的方法不清楚. 【思維點(diǎn)撥】等比數(shù)列的判定與證明常用的方法：a(1)定義法：/二q (q為常數(shù)且qwO)o數(shù)列

7、a是等比數(shù)列.dnn(2)等比中項(xiàng)法：a2 =aa (neNa 0)o數(shù)列a是等比數(shù)列. m-1 n rn-2nn(3)通項(xiàng)公式法：a =tqn(tqwO,ri£N*)o數(shù)列a是等比數(shù)歹ij. nn(4)前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列的前n項(xiàng)和S =_Aqn + A(AwO,qwO,qw1),則該數(shù)列是等比數(shù)列. n其中前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法，而后兩種方法一般用于選擇題、填空題中.注意：(1)若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.(2)只滿足a =qa (q。0)的數(shù)列未必是等比數(shù)列，要使其成為等比數(shù)列還需要a wO. n+1 n 1等差數(shù)列、等比

8、數(shù)列的性質(zhì)題組一等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例1若4是等差數(shù)列，首項(xiàng)>0,。2 016 +。2 017>°，20164017<°，則使前項(xiàng)和>0成立的最大正整數(shù)是B. 2 017A. 2016C. 4 032D. 4 033【答案】C【解析】因?yàn)?gt;0, 2 016+2 017>°, 2 016“2 017<°, 所以"<0,骰 016>°，°2017V0，4032(所以Sg2.7<°，所以 4033a2017a + a味 一 )4032(a + a)4033( a

9、+a)使前項(xiàng)和S>0成立的最大正整數(shù)是4 032.【易錯(cuò)點(diǎn)】等差數(shù)列的求和與等差數(shù)列的某一項(xiàng)有關(guān)系。題組二 等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例2已知數(shù)列%是等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若+2+%=4, %+%+線=8,則代廣A. 40B. 60C. 32D. 50【答案】B【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,數(shù)列S3, S0 Sf 512-S9是等比數(shù)列，即數(shù)列4,8, S9-S6, S12-S9 是等比數(shù)列，因此加2=4+8 + 16+32=60,選B.S .【易錯(cuò)點(diǎn)】2n =1 + qn,等式不會(huì)轉(zhuǎn)化.sn【思維點(diǎn)撥】等差（比）數(shù)列的性質(zhì)是每年高考的熱點(diǎn)之一，利用等差（比）數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解可使題目減少運(yùn)算量

10、，題型以選擇題或填空題為主，難度不大，屬中低檔題.應(yīng)用等差數(shù)列性質(zhì)的注意點(diǎn):(1)熟練掌握等差數(shù)列性質(zhì)的實(shí)質(zhì) 等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)的推廣與變形，熟練掌握和靈 活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問題.(2)應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解答問題的關(guān)鍵尋找項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，.但要注意性質(zhì)運(yùn)用的條件，如若m + n=p + q,則七+a“ = a。+dq (m,n,p, q e N*),需要當(dāng)序號(hào)之和相等、項(xiàng)數(shù)相同時(shí)才成立，再比如只有當(dāng)?shù)炔顢?shù)列*的前項(xiàng)和S中的為奇數(shù)時(shí)，才有S =na巾成立. 71 中應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)時(shí)的注意點(diǎn):(1)在解決等比數(shù)列的有

11、關(guān)問題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m+n=p+q,則 ama=apa(可以減少運(yùn)算量，提高解題速度.(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.此外，解題時(shí)注意設(shè) 而不求思想的運(yùn)用.等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合 例1已知%是等差數(shù)列，公差d不為零，前項(xiàng)和是.若%, 明，&成等比數(shù)列，則ds4 VoA. 40>0,血>0C.。0>0，dS4VoD. a/vO,【答案】BL/m/ I J mII /ujyu I D3)乙,【易錯(cuò)點(diǎn)】對(duì)三項(xiàng)成等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)應(yīng)用.例2已知數(shù)列%滿足：=d(£N *),前7?項(xiàng)和記為

12、S“，=4, 63=21.(1)求數(shù)列%的通項(xiàng)公式;(2)攻雙列出"兩/E 4=1, D7n+1-bn = 2an,求數(shù)列出的通項(xiàng)公式.“口木 I 1 ； 一k/trt-i/i j iijnn 八八寸工"八，八工八”， 七一)人r 1 考團(tuán)所以數(shù)列%的通項(xiàng)公式為4=3 +1.(2)由得2+廠勾=23+i.當(dāng) n>2 時(shí)，2=(4黑1)+(%黑2)+ +。2-4)十% 所以L +24+畀隼口上卜2).又4=竽滿足與=/23+1,所以£N*,2號(hào)x23+i.【易錯(cuò)點(diǎn)】累加法的聯(lián)想和使用.考點(diǎn)5等差數(shù)列與等比數(shù)列的創(chuàng)新問題題組一 等差數(shù)列與等比數(shù)列的新定義問題冰。

13、八刈/八口，口 J 小”，4111 y iLk rp 乂人，項(xiàng)為2、公差為d(存0)的等差數(shù)列，且數(shù)列%是，和等比數(shù)列“，則介2n(q + c, 工2,所以用三【答案】42n(c +c ) 2ft,2 乙 2Hd 一乙 n(C + C ) 4+nd-d 1-2【解析】由題意可知，數(shù)列%的前項(xiàng)和為S二小十二 .前2項(xiàng)和為S n 22 ， 加"n CL4 HJ，卜中中奴.1+寧，【易錯(cuò)點(diǎn)】數(shù)列新定義型創(chuàng)新題.【思維點(diǎn)撥】 數(shù)列新定義型創(chuàng)新題的一般解題思路：(1)閱讀審清“新定義”；(2)結(jié)合常規(guī)的等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，化歸、轉(zhuǎn)化到“新定義”的相關(guān)知識(shí);(3)利用“新定義”及常規(guī)的

14、數(shù)列知識(shí)，求解證明相關(guān)結(jié)論.題組二 等差數(shù)列與等比數(shù)列的文化背景問題例2九章算術(shù)卷第六均輸中，提到如下問題：，今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升.問中間二節(jié)欲均容，各多少？ ”其中“欲均容用勺意思是：便容量變化均勻，即每節(jié)的容量成等差數(shù)列.在這個(gè) 問題中的中間兩節(jié)容量分別是 41A彘升、方升B. 2升、3升373升、一升2233【答案】DD.縣升、663733【解析 1設(shè)從上而下，記第i節(jié)的容量為a升，故a+a +a +a =3, a +a +a =4,設(shè)公差為d , i1234789f 133a + 21d =4 中干 2Z 6737則有1,解得，故a =_, a ,選D.I 66【

15、易錯(cuò)點(diǎn)】數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)合需要學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).公式法求和題組一等差數(shù)列的求和公式以寸紅W/j “ u J rrj 小”八 2”， JZL1PJAU18、U，小八"小八15A.C.JLZ-【答案】C【解析】因?yàn)?是等差數(shù)列，所以S尸"（a抻8）=/qlu，切以9du，乂nr 18（a +a ）=見碼十,。）!7 - 40rrj y，外d/y, /八k iu 小八KySqx.八, MX心 J【易錯(cuò)點(diǎn)】等差數(shù)列的公差和求和的關(guān)系題組二 等比數(shù)列的求和公式例2在等比數(shù)列%中，%+盤=34,%。1=64,且前"項(xiàng)和S=62,則項(xiàng)數(shù)等于A. 4B. 5C. 6D. 7【

16、答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列%的公比為q,由題意得。2%t=%=64,又 % +=34，解得 %=2, %=32 或%=32， a =2.d(J q叮 (!* 252q 2 J，川十11 g J.I 口J 理,出 3 = - Ji q 1 J7 3$L=" T =62,解得q=L乂 =40?t=32><i 9 /i=2，加1-q Lq -1-q-“一品片妙 綜上，項(xiàng)數(shù)等于5,故選B.【易錯(cuò)點(diǎn)】等比數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)的求解.例3已知等差數(shù)列%的前項(xiàng)和為且邑=9, %, %，%成等比數(shù)列.求數(shù)列%的通項(xiàng)公式；(2)若4/虱當(dāng)n>2時(shí)),數(shù)列色滿足b=2an,求數(shù)列出的前n項(xiàng)和T

17、.【答案】(1)%= + 1 或%=3； (2) T=2+24.方一jq 1 3g2T .一'4-7,/irr i/i a 11/以u(píng) J 分/cn/。u. u-iMZi/E、nr c/,(/37， 臼"1 uikuj 1 vc<)> i ui«j ittuv.EC.4，U1，a=a+(- 1 )d=2+(77-1 )= +1, BP a=n +1；當(dāng) d=0 時(shí)，由 S3=9» 得 =3,，%=3綜上，a=n +1 或 q?=3.(2)由題意可知么=2an=2+i,-T，% 一乙. n，勾是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，b(1-qn) 4(

18、1-2n) 4= _11 = -2L =/"24.1-q1-2【易錯(cuò)點(diǎn)】等差數(shù)學(xué)與等比數(shù)列的互相交叉使用.【思維點(diǎn)撥】1 .兩組求和公式/1縷:妾張r萬il. Vn(2)等比數(shù)列：Sn2 .在進(jìn)行等差(比)數(shù)列項(xiàng)與和的運(yùn)算時(shí)，若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關(guān)于力和d(q)的方程 組求解，但要注意消元法及整體計(jì)算，以減少計(jì)算量.注：在運(yùn)用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式時(shí)，一定要注意判斷公比q是否為1，切忌盲目套用公式導(dǎo)致失誤. 錯(cuò)位相減法求和例1已知等比數(shù)列a 的前n項(xiàng)和為S ,若S =7ZS =63,則數(shù)列na 的前n項(xiàng)和為 nn 36nA. -3+(n+1)x2nB. 3+(n+1)x

19、2nc. 1 + (n+1)x2nd. 1+(n-1)x2n【答案】D%(1 q)= 71-q3177 a ，兩式相1二;=有 解得q = 2,Vq )1 q6 1 + q3 63稀析】當(dāng)q=1時(shí)，不成立；當(dāng)qw1時(shí)，<=63、邛5則a =1,所以a二aqe = 2R,所以rva =n2e,則數(shù)列na 的前n項(xiàng)和為 1n 1nnT =1 + 22+322+L +n-2n-i , n2T = 1 - 2+ 2, 2 +L + (n-1), 2n-1 + n, 2n, n兩式相減得到：T =1 + 2+22+L +2-n. 2n=n2n =(1 n)21,n1 2所以T =1+(n-1)-2

20、n,故選d. n【易錯(cuò)點(diǎn)】注意錯(cuò)位相減的運(yùn)算步驟.例2已知等差數(shù)列a滿>a (neN*), a =1,該數(shù)列的前三項(xiàng)分別加上1, 1, 3后成等比數(shù)nm-1 n1足:a列，a +2log b =-1.n2 n求數(shù)列a, b的通項(xiàng)公式； n n里糕0偏2痢嘩蟲方3十。【解析】設(shè)等差數(shù)列a 的公差為d,且d>0,n角解導(dǎo)d=2,由 a =1, a =1 + d,a =1 + 2d ,分別加上 1, 1, 3后成等比數(shù)列，得(2+d)2= 2(4+2d), 123a =1 + (n-1)x2=2n-1. n,. a +2log b =-1,n2 n(2)由(1)得%2n-1135CA “

21、=2啜 23 2n1135-+ . + 2n -1 2t= 2j 24+. +,2+1 ，得2 2 口)，2 J 2n 1Tn= +2+.+2n+11 13-I - /n-1乙11 i f.T=1 +-= 3-1 12n 2*2 2n 2n1-2【易錯(cuò)點(diǎn)】注意錯(cuò)位相減的運(yùn)算步驟.【思維點(diǎn)撥】錯(cuò)位相減法兩邊同乘適用于各項(xiàng)由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積組成的數(shù)列.把s=%+%+ 以相應(yīng)等比數(shù)列的公比,，得到45.=漢+42夕+。應(yīng)，兩式錯(cuò)位相減即可求出S”. 裂項(xiàng)相消法求和例1已知數(shù)列a 的前n項(xiàng)和s =n2 + 2n,則數(shù)列J 1的前6項(xiàng)和為 n n24A- 15B, T5510C -

22、D. »【答案】A【解析】數(shù)歹Ija 的前n項(xiàng)和S =M + 2n, nz2時(shí)，S1,兩式作差得到a =2n+1(n>2),nnn-1n11111當(dāng)n=1時(shí)，也適合上式，所以a2n+1,所以肝蒞內(nèi)2fm一看了,孫n m-1求和得到Jxf1 1 + 1 J+L +. 1)=2,故答案為A.2 13 5 5 713 15； 15【易錯(cuò)點(diǎn)】需要檢驗(yàn)=1時(shí)通項(xiàng)公式.【思維點(diǎn)撥】本題考查的是數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及數(shù)列求和的常用方法數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見的已知S99n和a的關(guān)系，求a的表達(dá)式，一般是寫出S 1后兩式作差得通項(xiàng)，但是這種方法需耍檢驗(yàn) =i時(shí)通項(xiàng)公式 nnn-l是否適用.數(shù)列求和

23、的常用方法有：錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)求和、分組求和等.例2已知等比數(shù)列4的前項(xiàng)和為力 且6S=3+i+(”£N*).求。的值及數(shù)列%的通項(xiàng)公式；(2)右。=(1_)1083(43明 卜 /徼夕牛后/削 刖唄仲lfj.【答案】(Dl3,卡，t(GN*)；片品.【解析】(1) < 6S=3+1 + a(n £ N*)， 當(dāng) =1 時(shí)，6S=6=9+，當(dāng)佗2 時(shí)，6%=6(SS"_J=2x3，即為=3t,%是等比數(shù)列，貝ij 9+q=6,得=一3,，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為q=3t(7? £N*).(2)由得 Q=(l-即)log3(4 an+1 戶(3-2)(3

24、+1),11.x 1.1 1.,11(3n-2)(3n+1) 3 4 4 73-2-3 + 1)3；/+r【易錯(cuò)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法注意分子.【思維點(diǎn)撥】裂項(xiàng)相消法將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和的形式，然后通過累加抵消中間若干項(xiàng)的方法.裂項(xiàng)相消法適用(KT人匕TT，火ST，八寸"寸，C 八中外川)幺人:Z'J 拆項(xiàng)分組法求和例 1 已知函數(shù) f(n)= n2cos(mi)且a = f (n)+ f (n+1),則a+a +L +a n12A. 100B. 0c. 100D. 10200【答案】A【解析】由題意可得，a =-1 + 22, a =22 32, a =二+全，a =全

25、一52,，1234所以 a+a +L +a =(1 + 22)+L + (-992 +10( )=(1 + 2)+(3+ 4)+L +(99+100)=5050, 1399a +a +L +a =( )+L +(10(-10l0=-(2+3+L +100+101)=5150,24100所以 a +a +L +a = 5050 5150= 100 e 12100【易錯(cuò)點(diǎn)】奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別求和，每個(gè)和都是等差數(shù)列的和，從而易于求解.【思維點(diǎn)撥】數(shù)列.求和的常用方法：公式法、分組求和法、裂項(xiàng)相消法、并項(xiàng)求和法、倒序相加法等，當(dāng)遇到數(shù)列的通項(xiàng)為a =(-1>f (n)的形式時(shí)，可以用并項(xiàng)求和法

26、或者用分組求和法，由于本題中 nan = (-1)n M + (1)向(n+1)2 = (-1>1儼+ (n+1)因此我們把奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別求和，每個(gè)和都是等差數(shù)列的和，從而易于求解.例2已知等差數(shù)列%中，=5，前4項(xiàng)和邑=28.求數(shù)列%的通項(xiàng)公式；(2)若Q=(T)叨,求數(shù)列勾的前2n項(xiàng)和4.【答案】a= 43 ；。)心=4.【解析】。)設(shè)等差數(shù)列"”的公差為小則由已知條件得1141fI|口=4,%=。1 +(77-l)xd=4n3.(2)由(1)可得與=(1 )%=( 1 )(43),/. 12=-1 +5-9 + 13-17+. +(83)=4x=4.【易錯(cuò)點(diǎn)】注意拆項(xiàng)

27、分組是為了合并.【思維點(diǎn)撥】拆項(xiàng)分組法把數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)（或多項(xiàng)），再重新組合成兩個(gè)（或多個(gè)）簡單的數(shù)列，最后分別求和.數(shù)列求通項(xiàng) 例1設(shè)S是數(shù)列%的前項(xiàng)和，且由 = 1, %+1=供+舟 則S=【答案】-5 【解析】法一：構(gòu)造法由已知得 %+i=s+_s=s+s明見I可時(shí)除以+", 曰一一"L=-1, s S + l nAU 1八1=1.大，1八ZA江口寸如以7J，法二：歸納推理法m a1，一1一%產(chǎn) + 1 CJ IW CQ -2產(chǎn)2口1W1 1 B u221UFLJ E “33x4所以當(dāng),時(shí),S+ (k-二6 2x3L.,如此循想三色2時(shí)，弁明=-1） -u占21

28、2心，1.(1 (_ 17+-； + +123)13 4)，Si, = 1,【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）條件中既有a，一，又有S，自然想到用公式為廣<.又因?yàn)榻Y(jié)果求所以考慮"唐一41，n>2.用公式4+1=與向一s換掉%+,進(jìn)而得到關(guān)于S的遞推公式，用構(gòu)造新數(shù)列使問題獲解.（2）考慮到填空題的題型特點(diǎn)，由遞推關(guān)系求出生,由，明，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想通項(xiàng)公式q,最后由 乙 ，r I為求出與，當(dāng)然這需要冒一定風(fēng)險(xiǎn).S， = 1,»-總,心，有時(shí)將4轉(zhuǎn)化為【思維點(diǎn)撥】1 . 一般地，對(duì)于既有與，又有S的數(shù)列題，應(yīng)充分利用公式=S”，有時(shí)將S”轉(zhuǎn)化為明,要根據(jù)題中所給條件靈活變動(dòng).特

29、別注意的是，公式*=S-S_1當(dāng)且僅當(dāng)N2 時(shí)成立，所以在利用作差法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，應(yīng)注意對(duì) =1的檢驗(yàn).2 .由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法(1)形如% .常用疊加法，即利用恒等式4 = 4+(21)+ (。32)+(% 1)求通項(xiàng) 公式.。小)，?？刹捎茂B乘法，即利用恒等式=% 徜項(xiàng)器手+ 1(3)形如%十i=bq7+d(其中b，d為常數(shù)，Z?W(),1)的數(shù)列，常用構(gòu)造法.其基本思路是：構(gòu)造*_+x=b(%aj/k i A- j d 外) k j/e 公口寸廿口以7'j， /i-jm o ,-j <juu a a (4)形如*q，尸是吊雙)削雙夕I，將吳父形為一=二工

30、十2一強(qiáng)+r5+i， P aU，J=L 4 /Cnz a LJ / |J ZA為 iI wJ若p黃丫,則再采用(3)的辦法求解.數(shù)列的綜合應(yīng)用 題組一 數(shù)列與不等式的交匯 例1設(shè)等差數(shù)列4的前項(xiàng)和為S”，已知力=9,0為整數(shù)，且號(hào)：$5.求*的通項(xiàng)公式;I，)以 WJ, 1 J UU HU <7VI H 八 / ，O、kLL ； 1 ：4q 一%【答案】4=J1-2; (2)見解析.【解析】(1)由1=9,0為整數(shù)可知，等差數(shù)列冊(cè)的公差d為整數(shù) v， c46：u，/irr itt %a、5"為整數(shù), "=-2.故%的通項(xiàng)公式為%=11-2機(jī)/曰 1 _11由得，*%+

31、(TT20(9 2R)玄&二F-w),9一2 1乂-m l 1 出的雙人丫(2 7 95 7的囹家大于點(diǎn)(4.5, 0)河橋及吳平儂T王，大口0<。1<。2<%<“4， 也4=1u 當(dāng)（T）=!【易錯(cuò)點(diǎn)】數(shù)列的不等式注意最后的分析.題組二數(shù)列與函數(shù)的交匯設(shè)曲線尸2 018門土（£氏9在點(diǎn)（1，2 018）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為年則+e +% 017的值為A. 2018B. 2 017C. 1D. -1【答案】D加氏常變充照線g%恩段*般卷；貂®2 0J也上段y吧廠工,1 220172 3201812018 208=.1.故選 D-【易

32、錯(cuò)點(diǎn)】數(shù)列結(jié)合了導(dǎo)數(shù)和對(duì)數(shù)的知識(shí)，綜合性強(qiáng).【思維點(diǎn)撥】數(shù)列與不等式的交匯多為不等式恒成立或證明和的范圍的形式，在求解時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化，即分離參 數(shù)法與放縮法的技巧應(yīng)用.已知函數(shù)條件解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；已知數(shù)列條件解決 函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法等對(duì)式子化簡變形.【鞏固訓(xùn)練】題型一求等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量1.已知等差數(shù)列a 的前n項(xiàng)和為S ,且aa =12, a =0.若a >0,則5 = nn 3 52120A. 420 .B. 340C. -420D. -34012A(a +d).(a +3d)=12n

33、d =-2,a =2,221【答案】D【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到a -a 3520x19故得到S = 20x2+乙u2022.在等比數(shù)列a 中，若a = n27211A 23 c 2D. 2【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列a 的公比為q,則q = %=£, n%s/2a +a_二=(a +a )q6，1華72111519 -3.已知等差數(shù)列a 的前n項(xiàng)和是S ,且a +a +a +a =18,則下列命題正確的是 4567A %是常數(shù)C.是常數(shù)D. S產(chǎn)數(shù)【答案】D【解析】Qa+a+a+a =2(a +a )=18,.*. a +a =9, S456756561010(aa ) = 5

34、(a +a)=45,1 1056為常數(shù)，故選D.題型二等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和基本量求解1.對(duì)于數(shù)列a,定義數(shù)列a -2a 為數(shù)列a 的“2倍差數(shù)列2若a =2za 的“2倍差數(shù)列，的通n+1 nn 1 n項(xiàng)公式為a -2a =2向，則數(shù)列a 的前n項(xiàng)和S =M nn n【答案】(n-1)2田+ 2？表不苜項(xiàng)為1,公庫a = i的【喻由2a方麗且a =2,得a a f a 1,n+1 - n =1,所以數(shù)列。.2n+1 2n2nJ等差數(shù)列，所以馬=l + (n1)x1 = n，所以a =n-2n, 2nn則 S = 1 . 21 + 2. 2? + 3. 2?+L + (n-1). 2&quo

35、t; + n. 2n, n2S =1-22 + 223 + 324+L +(n1)2n+ n2n+1, n兩寸相減可徨一。=2-u 2 -u 23 j-T ,4 2n 1 n. 2rH'1 = 2解得 S = (n1)，2n+i + 2 n2.等比數(shù)列a 中，已知對(duì)任意自然數(shù)，a +a +a +L +a = 2n-1,則a2 + # + a2+L +a2等于 ni23n123nA. 2n-1B. J.(3n -1)2c. 1G-1)D.以上都不對(duì)J【答案】c【解析】當(dāng)n = 1時(shí),a =21-1 = 1,1當(dāng)n22時(shí)，a+a +a +L +a = 2n1,a+a +a +L +a =

36、2rHi 1,123n123n-1兩式作差可得：a = 一 2n"1 = 2e ,當(dāng) n = 1 時(shí)，21-1 = 2° = 1 = a ,n1綜上可得，數(shù)列a 的通項(xiàng)公式為a =2=，故 =貝擻列 如是首項(xiàng)為1,公比為4nnnn1xQ4n J（4nl）.本題選擇c選項(xiàng).的等比數(shù)列，其前方項(xiàng)和為aa + a2+a+L +a=1-433.已知正項(xiàng)等比數(shù)列a 的前n項(xiàng)和為S ,且aa =2a ?a與2a的等差中項(xiàng)為則S = nn 1 634625B. 33D. 31故a = 2,又a+2a = 3,二.a4466A. 36c. 32【答案】D【解析】.* a a = 2a , a a = 2a , 1 633 43故選D.4.中國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有這樣一個(gè)問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬.，馬主曰：“我馬食半牛.，今欲衰償之，問各出幾何?此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說：“我馬所 吃的禾苗只有L牛的一半.”打算按此比率償還，他們各應(yīng)償還多少?已知牛、馬、羊的主人應(yīng)償還a升，b 升，c升，1