2007年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽

1、中國數(shù)學(xué)教育網(wǎng)info2007年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準說明：評閱試卷時，t#依據(jù)本評分標準.第一試，選擇題和填空題只設(shè)7分和0分兩檔；第二試各題，請嚴格按照本評分標準規(guī)定的評分檔次給分，不要再增加其他中間檔次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評卷時請參照本評分標準劃分的 檔次，給予相應(yīng)的分數(shù).第一試一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）本題共有6小題，每題均給出了代號為 A,B,C,D的四個答案，其中有且僅有一個是正確的.將你所選擇的答案的代號填在題后的括號內(nèi).每小題選對得7分；不選、選錯或選出的代號字母超過一個（不論是否寫在括號內(nèi)）,一律得0分

2、.一 一21.已知x,y,z滿足一 x5x的值為2z(A) 1.(C)1(D)一2【答】B., 2解由一x3x,z所以5xy 2z5x 3x3x 3x故選（B）.第 5 頁 共10頁注：本題也可用特殊值法來判斷，12.當x分別取值2007200620052,2005, 20062007 時,1 x2計算代數(shù)式3y的值,1 x將所得的結(jié)果相加,其和等于(A) -1.【答】C.(B)1.(C) 0.(D) 2007.1解因為-(1)2n1(1)2n2n2n2n2n2n2nr .,- 1，一，即當x分別取值-,n （n為正整數(shù)）n時，計算所得的代數(shù)式的值之和為0;而當1時,12 I 八 B117 0

3、.因此，當x分別取值,1200720062005第11,1,1,2,，200522006,2007時，計算所得各代數(shù)式的值之和為0.故選(C)3.設(shè)a, b,c是 ABC的三邊長，二次函數(shù) y (a8b ,則 ABC是 5(A)等腰三角形 角形.【答】D.(B)銳角三角形b ob 一)x cx a 一在x 1時取最小值22( )(C)鈍角三角形.(D)直角三解由題意可得2(a1,8 b,b c 2a, 33 所以c 3b, ac - b,55此a2c2 b2,所以 ABC是直角三角形.故選(D)4 .已知銳角 ABC的頂點A到垂心H的距離等于它的外接圓的半徑，則/A的度數(shù)是( )(A) 30&

4、#176; .(B) 45° .(C) 60° .(D)75° .【答】C.解 銳角 ABC的垂心在三角形內(nèi)部，如圖，設(shè) ABC的外心為O, D 為BC的中點，BO的延長線交。于點E,連CE、AE,則CEAH, AE/ CH ,則 OB AH CE 2OD ,所以/ OBD=30 , / BOD = 60。，所以/ A = Z BOD=60。.故選(Q .5 .設(shè)K是 ABC內(nèi)任意一點， KAB、 KBC、 KCA的重心分別為 D、E、F ,則Sa def : Sa abc的值為(A) -.(B) -.(C) -.(D)-.9993【答】A.解 分別延長KD、KE

5、、KF ,與 ABC的三邊AB、BC、CA交于點M、N、P,由于D、E、 F分別為 KAB、 KBC、 KCA的重心，易知 M、N、P分另ij1為 AB、BC、CA的中點，所以 Samnp-Saabc .4易證 DEF s MNP , 且相似比為 2:3 , 所以2 24-SA DEF(二)SA MNP二- SA ABC-SA ABC.3 9491 所以 Sa DEF : Sa ABC .故選(A).96.袋中裝有5個紅球、6個黑球、7個白球，從袋中摸出15個球，摸出的球中恰好有3個紅球的概率是()(A).(B) 1.(C) .(D) 2.105105【答】B.解 設(shè)摸出的15個球中有x個紅球

6、、y個黑子z個白球，則x, y,z都是正整數(shù)，且x 5, y 6,z 7, x y z 15.因為 y z 13 ,所以 x可取值 2, 3, 4,5.當x 2時，只有一種可能，即 y 6,z 7；當x3時，yz12,有2種可能，y5,z 7或y 6, z 6；當 x4 時，yz11,有3 種可能，y4, z 7 或 y 5, z 6或 y6,z 5；當x5時，yz10,有4種可能，y3,z 7或y 4, z 6或y 5, z5或 y 6,z 4.因此，共有1+2+3+4=10種可能的摸球結(jié)果，其中摸出的球中恰好有3個紅球的結(jié)21果有2種，所以所求的概率為 1 .故選(B)105二、填空題(本

7、題滿分 28分，每小題7分)1.設(shè)xa是x的小數(shù)部分，b是x的小數(shù)部分，則a3 b3 3ab 1_<2 1 3, . a3ab (a b)2 1.7212 , b x (3) 2 < 2 . .-. a b 1 ,a3 b3 3ab (a b)(a2 ab b2) 3ab a2 ab b22.對于一切不小于 2的自然數(shù)n ,關(guān)于x的一元二次方程 x2 (n 2)x 2n2 0的兩an, bn ( n 2), 則11 2)M2) 2)。2)11003(a20072)(b2007 2) 4016解由根與系數(shù)的關(guān)系得anbnn 2, an bn中國數(shù)學(xué)教育網(wǎng)info第 7 頁 共10頁(

8、an2)(bn2)anbn 2( an bn) 42n2 2( n 2) 42n(n 1),(an 2)(bn 2)12n(n 1)11產(chǎn)(a2 2。 2)(a32)M 2)(a20072)(b20072)1(2 A；"/羨）100340163.已知直角梯形 ABCD的四條邊長分別為 AB 2,BCCD 10, AD6,過 B、D兩點作圓，與BA的延長線交于點4.E ,與CB的延長線交于點BE解延長CD交。于點G,設(shè)BE,DG的中點分別為點 M,N,易知AM DN .因為BC CD所10,由割線定理，易證 BF DGBE BF BE DG 2(BMDN) 2(BM AM ) 2AB

9、4.BF的值為a的值是4.若 100a 64和 201a17.64均為四位數(shù)，且均為完全平方數(shù)，則整數(shù)解設(shè)100a2101a nm 101402n所以a6420237(n m)( n2n 101 17.64則32 m,n 100,兩式相減得因為101是質(zhì)數(shù)，且101101 ,所以2n101.代入201a64整理得59,343 （舍去）.中國數(shù)學(xué)教育網(wǎng)info第二試 (A)(本題滿分 20分)設(shè)m,n為正整數(shù)，且 m 2,如果對一切實數(shù)t,二次函數(shù)2一,， 、， 一一一.，y x (3 mt)x 3mt的圖象與x軸的兩個交點間的距離不小于2t n ,求m, n的值.解 因為一元二次方程 x2 (

10、3 mt)x 3mt 0的兩根分別為 mt和 3,所以二次函數(shù)y x2 (3 mt)x 3mt的圖象與x軸的兩個交點間的距離為mt 3 .由 題意， mt 3 2t n , 即(mt 3)2 (2t n)2, 即222(m2 4)t2 (6m 4n)t 9 n2 0.由題意知，m2 4 0,且上式對一切實數(shù)t恒成立，所以m2 4 0, (6m 4n)2 4(m2 4)(9 n2) 0,2007年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第4頁(共8頁)第 11 頁 共 10 頁m 2, 4(mn 6)2 0,m 2,所以mn 6,3,或2,6,1.二、(本題滿分25分)如圖，四邊形延長線與BA

11、的延長線交于點 F ,過點ABCD是梯形，點E作BA的平行線交CE的BM與AD交于點N .證明：/ AFN =/ DME .證明設(shè)MN與EF交于點P ,PNEA PBC ,PN NE/BC,PEPB PB PE PN PC.PC又 ME / BF， ./ PMEAPMPEPBPFE是上底邊AD上一點,CD的延長線于點M , PB PE PM PF . PN PC PM PF，故 PMPNPCPF又/FPN=/MPE, PNFAPMC ./ANF =Z EDM. ./ PNF = / PMCNF/MC又 ME/BF , FAN =Z MED. / ANF + / FAN = / EDM + /

12、MED ,/ AFN= / DME.（本題滿分25分）已知a是正整數(shù)，如果關(guān)于x的方程3/x (a217）x（38 a）x 56 0的根都是整數(shù)，求a的值及方程的整數(shù)根.觀察易知，方程有一個整數(shù)根x11,將方程的左邊分解因式，得(x 1) x2 (a 18)x 560因為a是正整數(shù)，所以關(guān)于 x的方程2-一(1)x (a 18)x 56 0的判別式（a 18）2 224 0 ,它一定有兩個不同的實數(shù)根而原方程的根都是整數(shù)，所以方程（1）的根都是整數(shù)因此它的判別式2（a 18）224應(yīng)該是一個完全平萬數(shù)設(shè)(a18）2 224 k2 （其中k為非負整數(shù)），則(a 18)2 k2224,即(a 18

13、 k)(a 18 k) 224.顯然 a224 11218 k 與 a 18 k 的2 56 4 28 8,所以181818 k18 k112,或 2,a 18a 180,10,而a是正整數(shù)，所以只可能39時，方程（1）即的三個根為1,1 和 56.12時,方程（1）即的三個根為1,2 和 28.56,4,181839,55,12,或26,39,或 55,57x30x5656第二試12,26.0 ,它的兩根分別為0,它的兩根分別為(B)、（本題滿分20分）設(shè)m, n為正整數(shù)，且m 2,二次函數(shù)yx256 .此時原方程28 .此時原方程(3 mt)x 3mt中國數(shù)學(xué)教育網(wǎng)infox2 (2t n

14、)x 2nt的圖象與x軸的圖象與x軸的兩個交點間的距離為d1,二次函數(shù)y(x 1) x2(a 18)x 560第 13 頁 (1)共 10 頁的兩個交點間的距離為d2 .如果d1d2對一切實數(shù)t恒成立，求 m,n的值.2因為一兀一次萬程x （3 mt）x 3mt 0的兩根分別為mt和 3 ,所以d mt 3；元二次方程x2 (2t n)x 2nt 0的兩根分別為2t和 n ,所以d2 2t n所以，d1 d2 mt 3 2t n (mt 3)2(2t n)2,2、 22_(m 4)t(6m 4n)t 9 n 0(1)由題意知，m2 4 0,且（1）式對一切實數(shù)t恒成立，所以m2 4 0,（6

15、m 4n）2 4（m2 4）（9 n2） 0,m 2, 4(mn 6)2 0,mmn2,所以6,m 3,- m 6,或n 2, n 1.二、（本題滿分25分）題目和解答與（A)卷第二題相同.、（本題滿分25分）設(shè)a是正整數(shù)，二次函數(shù) y x2 （a 17）x 38 a,反比例函2007年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第6頁（共8頁）皿 56數(shù)y 一,如果兩個函數(shù)的圖象的交點都是整點 x（橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點），求a的值.y解聯(lián)立方程組y256 rx2 (a 17)x 38 a 一，即 x2x2 (a 17)x 38 a,56消去 y 得, x32x (a 17)x(38 a)

16、x 56 0,分解因式得中國數(shù)學(xué)教育網(wǎng)info顯然x1 1是方程（1）的一個根，（1, 56）是兩個函數(shù)的圖象的一個交點因為a是正整數(shù)，所以關(guān)于 x的方程2(2)x2 (a 18)x 56 0的判別式（a 18）2 224 0 ,它一定有兩個不同的實數(shù)根而兩個函數(shù)的圖象的交點都是整點，所以方程（2）的根都是整數(shù)，因此它的判別式2（a 18）224應(yīng)該是一個完全平萬數(shù)設(shè)（a18）2 224 k2 （其中k為非負整數(shù)），則(a 18)2 k2224,即(a 18 k)(a 18 k) 224.顯然 a224 11218 k 與 a 18 k 的2 56 4 28 8,所以181818 k18 k1

17、12,或 2,a 18a 1856,4,181839,55,12,或26,0,10,而a是正整數(shù)，所以只可能阻或55,12,26.當a 39時，方程（2）即57 x 56°,它的兩根分別為56,此時兩個第 17 頁 共 10 頁函數(shù)的圖象還有兩個交點（1, 56）和（56, 1）.28 ,此時兩個當a 12時，方程（2）即x2 30x 56 0 ,它的兩根分別為函數(shù)的圖象還有兩個交點（2, 28）和（28, 2）.第二試 （C）一、（本題滿分二、（本題滿分25分)25分)題目和解答與（題目和解答與（B）卷第一題相同.A）卷第二題相同.三、（本題滿分25分)設(shè)a是正整數(shù),如果二次函數(shù)y

18、 2x2 （2a23)x 10 7a 和反比例函數(shù)y113a , 一的圖象有公共整點（橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點）,求a的值和對應(yīng)的公共整點.2x2 (2a11 3a23)x 10 7a,消去 y 得_ 2_2x (2a 23)x107a =(2a23)x2(107a)x 3a 110 ,分解因式得(2x 1)x2 (a 12)x 113a(1)如果兩個函數(shù)的圖象有公共整點,則方程（1）必有整數(shù)根，從而關(guān)于x的一元二次方程x2 (a 12)x 11 3a 0(2)必有整數(shù)根，所以一元二次方程（2）的判別式 應(yīng)該是一個完全平方數(shù),而 (a 12)2 4(11 3a) a2 36a 100(a18)2 224.所以（a 18）2 224應(yīng)該是一個完全平方數(shù)，設(shè)(a18)2 224k2 （其中k為非負整數(shù)），則（a 1