角動量守恒定律

1、Nanjing University of Information Science & Technology第四章角動量守恒定律OHE 4主講：陳玉林OSI 叵 1第四章角動量守恒定律§4-1力矩§ 4-2質點角動量守恒定律§4-3質點系角動量守恒定律§ 4-1 力 矩(moment of force)一.力矩的一般意義力臂定義：Af =r -X. F方向：垂直于F和戶組成的平面，服從右手定則。yX大小:M = Fr si n8 =如果作用于質點上的力是多個力的合力，即F =F+F_>+ + F “代入力矩定義中，得AZ = F x F =

2、 r x (巧 + 尸2 1-尸)= FxP +F xF rx:FAf, + hf可見，合力對某參考點0的力矩等于各分力對同 一點力矩的矢量和。力對軸的力矩剛體繞Oz軸旋轉，力戶 作用在剛體上點P,且在轉動 平面內(nèi)，為由點O到力的 作用點P的徑矢 P對轉軸Z的力矩_M = r x FM = Fr sin 0 = Fdd :力臂工件=0 ,工MhO討論1）若力F不在轉動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂 直于轉軸方向的兩個分量F =+ F,其中乓對轉軸的力 矩為零，故F對轉軸的 力矩 _M zk =rxF±M z = rFL sin & 2）合力矩等于各分力矩的矢量和M = M| +

3、M. + M： +1X<>3E63）剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消O3IE 8eraiF 7思考.合力為零時，其合力矩是否一定為零？ 1匸 合力矩為零時，合力是否一定為零？ J定由圖可知，作用力和反作用力 對同一參考點合力矩為零. 從而，慶點系內(nèi)力矩矢量和 一定為零.工E內(nèi)=0工斤H0,工億=0r = xi + yj zk , F<口口 Q在以參考點O為原點的直角坐標系中，M表示為 M = M f M 方 + M 工 質點戸的位置矢量F和作用力F可表示為=Fxi + Fyj + Fzkj ky zM = yF 乙 F 1 X丿乙，I分量式 M y = zFx -xFzM

4、z =xFyyF力矩沿某坐標軸的分量通常稱作力對該軸的力矩。下面計算力對Z軸的力矩由圖可見x = 7?cos a y = Rsin aFx = /cos pFx = /sin 0代入他式中可得imN證.OHIE io力對Z軸的力矩M r = Rf (cos<zsin ft sinzcos /?)=Rf sin(0 cx)= Rf sin 0 式中/?、f為F、F在刊平面上 的投影。Q如果知道力矩矢量的大小和 它與z軸之間的夾角y,那么力 對z軸的力矩也可按下式求得M = M cos y=r F sin & cos y§4.2質點角動量守恒定律 角動量(angular m

5、omentum) 質點加對O點的角動量：質量為m的質點以速度方 在空間運動，某時刻相對原點 O的位矢為已質點相對于原 點的角動量定義為I =rxp=rxmv 大小 I =rmvsin0 方向右手螺旋定則判定 單位 kgm2/s<口匸 11說一個角動畳肘，必須指明旻對呷個固走點而言的。質點對通過參考點O的任意軸線Oz的角動量4,是 質點相對于同一參考點的角動量2沿該軸線的分量。= cos x如果質點始終在Oxy平面上運動, 質點對4軸的角動量與對參考點0 的角動量的大小是相等的，即I = I = rmv sinZmvX注意面對z軸觀察，由產(chǎn)方向沿逆時針轉向mv的方L = rp = tnrv

6、 = tnr 2a)向所形成的角才是&角。、滋T 一質量為加的質點沿著一條空間曲線運動， 寇曲線在直角坐標下的矢徑為：產(chǎn)- a cos a)ti 4- b sin cotj 其中4. b. 0皆為常數(shù)，求該質點對原點的角動量。解：已知 r =a coscMi 4-bsinotj_ drv = acDslYa)ti -fbcocoscatjd/角動量-_22l =r x z/iv =mabcocoscotk 4-cotk = mabcokOH1E 15二.角動量定理(theorem of angular momentum) 牛頓定律T角動量定理：角動量r =y X p 9兩邊求導d7 d

7、 _二一 一一(r xp)-rx+x p - r x F + vx/nvdt Atdt dt|!匚二1共線，叉乘為零牛二定律：虔=司din作用于質點的合力對參考點oM =的力矩，等于質點對該點o的角i1I動量隨時間的變化率.角動套定理因是牛頓定律的推論，則只適用于慣性系。Gi 面 口 1 &歷3dt-MAt = d/fMdt = i2-Tl1稱為沖量矩質點的角動量定理：對同一參考點O f質點所 受的沖量矩等于質點角動量的增量.角動量定理的分量形式如果質點始終在巧平面上運動，可得到陸dl/f = (rmv sin 0) 必z dtOH1E 16三.質點角動量守恒定律a 1由角動量定律d

8、iM =>dtI =恒矢量即7、=72=恒矢量若對慣性糸禁一固走點，質點所受的合外力 矩為零,則此質盍對該固走點的角動量矣董鋒 持不變，即角動量的丸小和方向都傑持不jt。和動量守恒定律一樣，角動量守恒定律也是自然界的一條最基本的定律。注意：M =0 可以是F-Of也可以是亓=0.還可能是戸與亓 同向或反向"例如有心力情況。如果作用于質點的合力矩不為零而合力矩沿OZ軸的分量為零，則I =恒量（當M0時）ZZ當質點所受對6軸的力矩為零時，質點對該軸 的角動量保持不變。此結論稱為質點對軸的角動量 社定律。O3IE is()$3 開普勒第二定律認為：對于任一行星，由太 陽到行星的矢徑在

9、相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。 試用角動量守恒定律證明。解：將行星看為質點，在dz時間內(nèi)以速度0完成的位移為ydt 矢徑產(chǎn)在 d/時間內(nèi)掃過的面積為dS （圖中陰影！ds = r x vdt,2 _根據(jù)質點角動量的定義I = r x mv = m(r x v ) Zds Ids =dt zz=2mdt 2m恥丄=恒量.2m口匸 1Q行星受萬有引力，為有心力，SA7=0, 7 =恒矢量&砂質量為加的小球系于細繩的一端，繩的另一 端縛在一根豎直放置的細棒上，小球被約束在水平面 內(nèi)繞細棒旋轉，某時刻角速度為細繩的長度為口。 當旋轉了若干圈后，由于細繩纏繞在細棒上，繩長變 為2,求此時小球繞細棒

10、旋轉的角速度畋。解：小球受力 繩子的張力幾指向細棒； 重力巧豎直向下；支撐力了豎直向上。，亍與繩子平行，不產(chǎn)生力矩；斤與W 平衡，力矩始終為零。所以，作用于小 球的力對細棒的力矩始終等于零，故小 球對細棒的角動量必定是守恒的。O3E 21根據(jù)質點對軸的角動量守恒定律mVj rx = mvr式中勺是半徑為口時小球的線速:度，也是半徑為 勺時小球的線速度。而 V1 =叫G， v2 =吟2代入上式得2 2co = rnr <»2解得2 =（ ）2«!r2可見，由于細繩越轉越短，° < 口，小球的角速度 必定越轉越大，即Q 2 >。I。環(huán)置于豎直平面內(nèi)一

11、質量為 加的小球穿在圓環(huán)上，并可在圓環(huán)上滑動小球開始時 靜止于圓環(huán)上的點4 （該點在通過環(huán)心O的水平面上）， 然后從4點開始下滑設小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計.求小球滑到點B時對環(huán)心O的角動量和角速度.解小球受重力和支持 力作用，支持力的力矩為零, 重力矩垂直紙面向里M = mgR cos 6由質點的角動量定理dLmgR cos 0 =OSIEdrdLmgR cos 0 =dtdL = mgR cos 0dt考慮到co = d0/df, L = mR v = mR a> 得 LdL = mgR 3 cos 0d0 由題設條件積分上式LdL = m gR 3 f cosJoJoL = mR

12、3/2 (2g sin )，/2 本題也可以用質點的功能原理求解. L = mR 2co/2gq、1/2cd = sin 6 )R*§4-3質點系角動量守恒走律一.質點系的角動量走理設質點系有個質點組成質量加I，叫,，®速度V, , v2, n位矢斤，產(chǎn)2,壬力矩質點系的角動量為所有質點的角動量的矢量之和Ji/f乙=W町=兀O3E 25對每個質點，根據(jù)角動量定理列方程:心=，忌=d/drO3E 27個方程相加M + M 步 + Af產(chǎn)憶+ A+ +乙）d/考慮質點間的相互作用dLdt工竹外+工M內(nèi)因為藝必內(nèi)=0 直接表示為一 d L牙M =厶d/質點系的角動量定理表述：一個質點糸所受的合外力矩，等于該質點 糸的總角動量對對間的變化率二.質點系角動量守恒定律當工啟=o時 Z =恒矢量