立體幾何基礎(chǔ)題題庫二有詳細答案

1、立體幾何基礎(chǔ)題題庫（二）（有詳細答案）51. 已知空間四邊形 ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N分別為BC、AD的中點。求：AM與CN所成的角的余弦值；解析： 連接DM,過N作NE / AM交DM于E,則/ CNE/ N為AD的中點,NE / AM省1二NE= AM且E為MD的中點。2為AM與CN所成的角。設(shè)正四面體的棱長為 1,則 NC= 1 334口1V3且 ME= MD=2422在 Rt MEC 中，CE2=ME22 3+CM =+1'=7164163 23、27cos / cne=CN2NE CE2 _（4）（一16 _ 2”2 CN NE、3. 3J32

2、*44ji又/ CNE （0,-）22異面直線AM與 CN所成角的余弦值為 一.3注：1、本題的平移點是 N,按定義作出了異面直線中一條的平行線，然后先在 CEN 外計算CE CN EN 長，再回到厶CEN中求角。2、作出的角可能是異面直線所成的角，也可能是它的鄰補角，在直觀圖中無法判定，只有通過解三角形 后，根據(jù)這個角的余弦的正、負值來判定這個角是銳角（也就是異面直線所成的角）或鈍角（異面直線所 成的角的鄰補角）。最后作答時，這個角的余弦值必須為正。52. 如圖所示，在空間四邊形 ABCD中，點E、F分別是BC、AD上的點，已知 AB=4 , CD=20 , EF=7 ,AF be i。求異

3、面直線 AB與CD所成的角。FD EC 3解析：在BD上取一點G,使得BG =-，連結(jié)EG、FGGD 3-13 -BE BGEG BE 1心 BCD 中，-，故 EG/CD，并且，所以，EG=5 ；類似地，可證FG/AB，且FGDF3 ?ABAD4故 FG=3 ,在厶EFG中，利用余弦定理可得cos/ FGE= EG2 GF2-EF2= 32 號"-2 EG GF2 3 52故/ FGE=120 °。另一方面，由前所得 EG/CD , FG/AB，所以EG與FG所成的銳角等于 AB與CD所成的角，于是AB與CD所成的角等于60 °。53. 在長方體 ABCD-AB

4、CD中，AA=c, AB=a, AD=b且a>b.求AC與BD所成的角的余弦.1解一：連AC設(shè)ACn BD=0則O為AC中點，取 CC的中點F,連OF,貝U OF/ AC1且OF= AC1，所以/ FOB即為AC1與DB所成的角。2在厶 FOB 中，OB= 1 Pa2 +b2 , OF= *a2 +b2 十c2 , 2 21 l2 1 2"BE= . b c2 ,2 .4由余弦定理得cos / OB=1 2 2 1 2 2 2 22(a b ) (a b c ) -(b c )2 1 Ja2 +b2 va2 +b2 +c24-b.(a2 b2)(a2 b2c2)解二：取AC中點

5、O, BB中點 6在厶COG中，/ COG即AC1與DB所成的角。C1E= 4a2 c2由余弦定理，得解三：.延長CD到E,使ED=DC則ABDE為平行四邊形.AE/ BD,所以/ EAC即為AG與BD所成的角.連 EC"A AEC1 中，ae= . a2 b2 , AC1= a2 b2 c2 ,/ 匚AC(a2 +b2)+(a2 +b2 +c2)(4a2 +c2)b2a2二 0cos / EAC 1=v 02 . 2 2 .2 2 ,2, 2、， 2, 2 2)2 a b a b c(a b )(a b c所以/ EAG為鈍角.根據(jù)異面直線所成角的定義，2b2ACi與BD所成的角的

6、余弦為a "bJ(a2 +b2)(a2 +b2 +c2)54. 已知AO是平面:-的斜線，A是斜足，OB垂直:-,B為垂足，則直線AB是斜線在平面:-內(nèi)的射影，設(shè) AG是內(nèi)的任一條直線，O解析：設(shè)AO與AB所成角為刁，AB與AG所成角為七，AO與AG所成 角為 二，則有 COST - cos 可 cosv2。在三棱錐 s ABG 中，/ SAB= / SAG= / AGB= 90 ,AG = 2, BC = 3, SB =29，求異面直線SG與AB所成角的大小。（略去了該題的 1,2問） 由SA丄平面 ABC知，AG為SG在平面 ABC內(nèi)的射影，設(shè)異面直線SG與AB所成角為二，則 c

7、os ： - cos_SCA cos BAG ,由 AC =2,BC 二、一 3, SB 二 29 得 AB =：【17, SA = 2.3, SC =21cos SCA 二22,cos 乙 BAC =山7二 cos,1717 即異面直線SC與AB所成角為 arccos1755.已知平行六面體 ABCD - AiBiCiDi的底面ABCD是菱形，且CiCB =/CiCD =/BCD =60 ,證明 C1C BD。B（略去了該題的2, 3問）解析：設(shè)Ci在平面ABCD內(nèi)射影為H，則CH為CiC在平面abcd內(nèi)的射影， cosCrCD = coC1CH cos/DCH , cosecjCB 二 c

8、oseCQH cos BCH ,由題意CjCD 二/CjCB ,cos. DCH = cos. BCH。又 . DCH BCH 0,二） . DCH二.BCH , 從而CH為.DCB的平分線，又四邊形ABCD是菱形， CH_BD CiC與BD所成角為90 ,即CiC_BD56. 在正四面體 ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，求異面直線 AE與CF所成角的大小。解析： 連接BF、EF,易證AD丄平面BFC, EF為AE在平面BFC內(nèi)的射影， 設(shè)AE與CF所成角為二,- cost - cos AEF cos CFE ,顯然EF± BC ,EFDa，貝U AE =CF = BF設(shè)正

9、四面體的棱長為COS-AEFEF6EF. 6,cosAFEAE3CF3cos J -,3即AE與CF所成角為2 arccos3。57. 三棱柱 OAB _OiAiBi，平面 OBBQi 丄平面 OAB , / OQB =60 上 AOB =90 ,且OB =OOi =2,OA二3，求異面直線 AiB與AOi所成角的大小,（略去了該題的1問）解析： 在平面BO1內(nèi)作BCOO!于C ,連A1C，由平面BOO1B平面AOB，/AOB =90 知，AO丄平面BOO1B1 ,AO I BC ,又 AO " OO1 = O ,BC丄平面AOO1A1 , A,C為A,B在平面AOO1A1內(nèi)的射影。

10、設(shè)與AO1所成角為二，A1C與AO1所成角為 七,則 cos v - cos BA-|C cos r ,由題意易求得 BC 3, A,C =2,人占=. 7 ,/A1C2cos 乙 BA1C-A1B V7在矩形AOO1A中易求得 AC與AO1所成角 屯的余弦值：cosx14cos J - cos /BAQ cos I1arccos7。58. 已知異面直線a與b所成的角為50 , P為空間一定點，則過點P且與a , b所成的角均是30的直線有且只有（）A、1條B、2條 C、3條 D、4條解析： 過空間一點P作a' / a , b' / b，則由異面直線所成角的定義知：a'

11、與b'的交角為50 過P與a， b成等角的直線與a，b亦成等角，設(shè)a，b確定平面：，a， b交角的平分線為I，則過I且與:- 垂直的平面（設(shè)為 J內(nèi)的任一直線|'與a'，b'成等角（證明從略），由上述結(jié)論知：與a', b'所成角大于或等于I與a'，b'所成角25，這樣在內(nèi)I的兩側(cè)與a'，b'成30角的直線各有一條，共兩條。在a'，b'相交的另一個角130內(nèi)，同樣可以作過130角平分線且與：垂直的平面 ，由上述結(jié)論知， 內(nèi) 任一直線與a'，b'所成角大于或等于 65，所以 內(nèi)沒有符合要

12、求的直線，因此過 P與a，b成30的直 線有且只有2條，故選（B）59.垂直于同一條直線的兩條直線的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.異面D.以上都有可能解析：D60. Ii、12是兩條異面直線，直線mi、m2與li、12都相交，則 mi、m2的位置關(guān)系是（A.異面或平行C.異面解析：DB.相交D.相交或異面61.在正方體ABCD-AB' C'中Df棱AA '異面的直線共有幾條（A.4B.6C.8D.10解析：A62.在正方體ABCD-A ' B' C中D12條棱中能組成異面直線的總對數(shù)是（A.48 對B.24 對C.12 對D.6 對次，共有24對.解

13、析：B棱AA '有4條與之異面，所以，所有棱能組成4X 12=48對,但每一對都重復(fù)計算63.正方體ABCD-A ' B' C'中靑面直線CD '和BC '所成的角的度數(shù)是(A.45 °B.60 °BC.90 °D.120 °解析：B/ AD 'C=60 °即為異面直線 CD '和BC '所成的角的度數(shù)為 60°64異面直線a、b, a丄b, c與a成30°角，貝U c與b成角的范圍是JT3Tt JIA. 3,2C.二 2 二解A.直線c在位置c2時，它

14、與b成角的最大值為90° ,直線c在cl位置時，它與b成角的最小值是60°65如圖，空間四邊形 ABCD的各邊及對角線長都是 1,點M在邊AB上運動、點Q在邊CD上運動，則P、Q的最短距離為（)123A.-B.C.D.2242解析：B當(dāng)M,N分別為中點時。因為AB, CD為異面直線，所以M, N的最短距離就是異面直線 AB,CD的距離為最短。連接BN,AN則CD丄BN,CD丄AN且AN=BN,所以NM丄AB。同理，連接 CM,MD 可得 MN丄CD。所以 MN為AB,CD 的公 垂線。因為 AN=BN = 3,所以在RT BMN中，MN = 、BN 2 - BM 2 = .

15、 3 - 1 = 2。求異面直線的2V442距離通常利用定義來求，它包括兩個步驟：先證一條線段同時與兩異面直線相交垂直；再利用數(shù)量關(guān)系求解。在做綜合題時往往大家只重視第二步，而忽略第一步。66. 空間四邊形ABCD中，AD=BC=2,E,F分別是AB,CD的中點，EF = V 3，則AD,BC所成的角為（）A.30 °B.60 °C.90D.120cos -EMF 二.2.2211 ( - 3)2 -2 -1=-1注：考察異面直線所成角的概2念，范圍及求法，需注意的是，異面直線所成的角不能是鈍角，而利用平行 關(guān)系構(gòu)造可求解的三角形， 可能是鈍角三角形， 望大家注意。同時求角

16、的大 小是先證明再求解這一基本過程。ACD67. 直線a是平面a的斜線，b在平a內(nèi)，已知a與b成60°的角，且b與a在平a內(nèi)的射影成45°角時,a與a所成的角是（）A.45 °C.90 °解AB.60 °D.135A a, A在內(nèi)的攝影是C,則AC .1二于C，AB _ b于B，則0B _平面ABC 。 OB _ BCcos AO0COAcos. AOB 二 cos600 = 0BOAcos/BOC = cos450OBOCcos AOOCOAcos/AOB _ cos60 _ . 2cos一 BOCcos45°2 AOC =45&#

17、176;68. m和n是分別在兩個互相垂直的面a、3內(nèi)的兩條直線，a與B交于I, m和n與I既不垂直，也不平行，那么m和n的位置關(guān)系是A. 可能垂直，但不可能平行B. 可能平行，但不可能垂直C. 可能垂直，也可能平行D. 既不可能垂直，也不可能平行解析：這種結(jié)構(gòu)的題目，常常這樣處理，先假設(shè)某位置關(guān)系成立，在此基礎(chǔ)上進行推理，若無矛盾，且推 理過程可逆，就肯定這個假設(shè)；若有矛盾，就否定這個假設(shè)。設(shè)m/n,由于m在3外，n在3內(nèi)，/ m/ 3而a過m與3交于I m/l，這與已知矛盾,m不平行n.設(shè)mln,在3內(nèi)作直線a丄I,又由于n和a共面且相交（若a/n則n丄I，與已知矛盾） m丄 B ,mil

18、與已知矛盾， m和n不能垂直.綜上所述，應(yīng)選（D）.69. 如圖，ABCD-A iBiCiDi是正方體，E、F分別是AD、DDi的中點，則面 EFCiB和面BCCi所成二面角 的正切值等于-io -解析：為了作出二面角e-bc 1-C的平面角，需在一個面內(nèi)取一點，過該點向另一個面引垂線（這是用三垂線定理作二面角的平面角的關(guān)鍵步驟）。從圖形特點看，應(yīng)當(dāng)過 E （或F）作面BCC的垂線.解析：過E作EH丄BC,垂足為H.過H作HG丄BC1，垂足為 G.連EG.面 ABCD 丄面 BCCi, 而 EH 丄BC/ EH 丄面 BECi ,EG是面BCC的斜線，HG是斜線EG在面BCC內(nèi)的射影./ HG

19、L BCi, EG 丄 BCi,在 Rt BCCi 中:sin / CiBC=CC1BC1在 Rt BHG 中:sin/ CiBC=HGBH211 HG=（設(shè)底面邊長為1）5 25而 EH=1 ,亠亠HG 廠在 Rt EHG 中: tg/ EGH=5BH/ EGH=arctg - 5故二面角 E-BC 1-C 等于 arctg . 5 .70.將邊長為1的正方形ABCD，沿對角線AC折起，使BD=2則三棱錐D-ABC的體積為V624V224BDEGH是二面角E-BC 1-C的平面角。-21 -解析：設(shè)AC、BD交于0點，貝U BO丄AC且DO丄AC,在折起后，這個垂直關(guān)系不變，因此/BOD是二

20、面角B-AC-D的平面角由于 DOB中三邊長已知，所以可求出/ BOD :r+1642>I< _ p這是問題的一方面，另一方面為了求體積，應(yīng)求出高，這個高實際上是 理由是：刪刪刪|=面肋C丄面0屍 DOB中，OB邊上的高 DE ,DE丄 OB DEL面 ABC.1cos/ DOB=，知 sin / DOE=2 DEsin . DOE2應(yīng)選（B）171. 球面上有三個點 A、B C. A和B, A和C間的球面距離等于大圓周長的 B和C間的球面距離等于61大圓周長的 丄.如果球的半徑是 R,那么球心到截面 ABC的距離等于4fffl解析：本題考查球面距離的概念及空間想像能力如圖所示，圓

21、0是球的大圓，且大圓所在平面與面ABC垂直，其中弦 EF是過A、B、C的小圓的直徑，弦心距 0D就是球心0到截面ABC的距離,ABC的半徑.11，所以/ AOB= X 2n =_ ,663下一個圖是過 A、B、C的小圓.AB、AC、CB是每兩點之間的直線段它們的長度要分別在厶 AOB、 AOC > COB中求得（0是球心）由于A、B間球面距離是大圓周長的兀兀同理/ AOC= ，/ BOC=32|AB|=R , |AC|=R,|BC|= '.在厶 ABC 中，由于 AB2+AC 2=BC2./ BAC=90 ° ,BC是小圓ABC的直徑.V? |ED|= R242從而 |

22、OD|= R.2故應(yīng)選B.72. 如圖，四棱錐 P-ABCD中，ABCD是正方形，PA丄底面ABCD，該圖中，互相垂直的面有A.4對 B.5對 C.6對D.7對答案（D）解析：要找到一個好的工作方法，使得計數(shù)時不至于產(chǎn)生遺漏73. ABCD是各條棱長都相等的三棱錐 .M是厶ABC的垂心，那么 AB和DM所成的角等于 解析：90°連CM交AB于N 連DN易知N是AB中點，AB丄CN AB丄DN.74. 已知PA丄矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.（1）求證：MN丄CD ;（2）若/ PDA=45 °，求證 MN 丄面 PCD.（12 分）解析:1(1)取 P

23、D 中點 E,又 N 為 PC 中點,連 NE,貝 U NE /CD, NECD.21又；AM / CD , AM =丄CD,. AM/NE,.四邊形AMNE為平行四邊形2 =.MN / AEPA _ 平面 ABCDCD 二面ABCD_ CD _PACD _AD_ CD _ 平面 ADP AE 二平面 ADP= CD _ AE.（注 :或直接用三垂線定理(2)當(dāng)_PDA =45時,RUPAD為等腰直角三角形 則AE _PD,又MN/AE,. MN _PD,PDCD =D .MN 平面 PCD.75. 設(shè)P、Q是單位正方體 AC1的面AA 1D1D、面A1B1C1D1的中心。如圖：（1）證明：P

24、Q/平面AA 1B1B ；（2）求線段PQ的長。（12分）證法一：取AAi, A Bi的中點M , N,連結(jié)MN ,NQ,MP11 MP /AD, MP AD,NQ/ADi,NQAi Di22.MP /ND且MP =ND.四邊形PQNM為平行四邊形.PQ/MNMN 二面AAi B B, PQ 二面AAiBiB.PQ/ 面AA Bi B證法二：連結(jié)ADi ,ABi,在.ABi Di中,顯然P,Q分別是ADi, Di B的中點.PQ/AB,且PQ ABi2PQ 二面AAiBiB,AB 面 AAiBiB.PQ/ 面AA Bi B(2)方法一 ：PQ =MN =；AiM2 AN2 =#a2方法二-:P

25、QABia.2 2評注：本題提供了兩種解法，方法一，通過平行四邊形的對邊平行得到“線線平行”，從而證得“線面平 行”；方法二，通過三角形的中位線與底邊平行得到“線線平行”，從而證得“線面平行”。本題證法較 多。76. 如圖，已知1=I,EA_ :于代 EB _ 于B,a 二：a_AB.求證 a/ l 解析:EA _ : , EB:-=1l _EAl _EB又 a : , EA_ : ,. a _EA 又 a _ABa _平面EABa/l.77 .如圖，ABCD為正方形，過 A作線段SA丄面ABCD，又過A作與SC垂直的平面交 SB、SC、SD于E、K、H，求證：E、H分別是點A在直線SB和SD

26、上的射影。(i 2分)解析:SA 平面ABCD-SA BCBC 平面 ABCD一又.AB _BC,SA - AB =A,. BC _平面 SAB .BC _AE.SC _平面 AHKE.SC_AE又BC - SC 二C.AE _平面 SBC.AE _SB,即E為A在SB上的射影.用理可證,H是點A在SD上的射影.78.在正方體 ABCD AiBiCiDi, G為CCi的中點，0為底面ABCD的中心。求證：AiO丄平面 GBD (14分) 解析:AA BD BD 平面 AAD="二 BD A OAC _BDA O 面A AO又 A °2A2 AO2 =a2 (-)2 =3a2

27、2 2OG2 =OC2 CG2 =( 2a)2 (旦)2 =a2224AG2 二A C C ! G2 =C- 2a)2 - ( )a224.AO2 OG2 二A G2.AO_OG 又BD OG =0 A O _平面GBD79.如圖，已知a、b是兩條相互垂直的異面直線，其公垂線段AB的長為定值 m,定長為n (n>m)的線段PQ的兩個端點分別在 a、b上移動，M、N分別是AB、PQ的中點。(i )求證：AB丄MN ;(2)求證：MN的長是定值(1 4分) 解析：-1 6-取PB中點H ,連結(jié)HN，則HN b又.AB _b.AB _HN同理AB _MH.AB _ 平面 MNH.AB _ 平面

28、 MNH.AB _MNb丄AB'十=(2)= b _ 平面 PAB. b _ PB.b丄a :在Rt PBQ中,BQ2 =PQ2 _PB2 = n2 _PB2(1)在RtPBA中,PA2 二PB2 AB2 二PB2m2(2)(1),(2)兩式相加 PA2 BQ2 = n2 -m2a _b, ZMHN =90.MN EMH2 NH2 二(PA)2 (BQ)2 J , n2 -m2(定值)V 22280.已知：平面:-與平面1相交于直線a,直線b與、-都平行，求證:b II a.證明：在a上取點P, b和P確定平面 設(shè) 與交于a', 與交于a/ b I 二且 b II 1-：, b

29、 II a 且 b II a a 與 a 重合，而a 二：J a ，實際上是a a、a三線重合, a II b.81. 有三個幾何事實（a, b表示直線，表示平面），a/ b,a/，b/.其中，a, b在面外.用其中兩個事實作為條件，另一個事實作為結(jié)論，可以構(gòu)造幾個命題？請用文字語言敘述這些命題，并判 斷真?zhèn)握_的給出證明，錯誤的舉出反例.解析：I： a II bn： a II bb Hi = a II :a在、；夕卜I、n是同一個命題：兩條平行直線都在一個平面外，若其中一條與平面平行， 則另一條也與該平面平行.證明：過a作平面-與芒交于a '/ a II :a II a而 a II

30、b b II a且b在工外，a 在.工內(nèi) b /川：a II :-二檢 / bb II :-_命題：平行于同一個平面的兩條直線平行,這是錯的，如右圖82. 兩個平面同時垂直于一條直線，則兩個平面平行.已知：、是兩個平面，直線I丄亠I丄二 垂足分別為 A、B.求證：/ 1思路1根據(jù)判定定理證.證法1 :過I作平面，:-n = ac, -n = bd,過I作平面an 鼻 ae Bn 鼻 bf,I丄=T丄ACI丄=I丄BD=AC II BD= AC/ :,-31 -I、AC、BD 共面同理 AE / 爲(wèi) AC n AE 工, AC, AE 二：故H .思路2 :根據(jù)面面平行的定義，用反證法.證法2

31、:設(shè)：、有公共點P則I與P確定平面，且;.n = AP, : n = BP.I丄I丄API丄=I丄BPI、AP、BP共面，于是在同一平面內(nèi)過一點有兩條直線AP、BP都與I垂直，這是不可能的.故、：不能有公共點，:- / -.83. 已知：a、b是異面直線，a 平面:, b二平面：，a/ :, b / :-.證法1:在a上任取點P,顯然P b.于是b和點P確定平面.且與：有公共點P. 、一 n = b'且b'和a交于P,/ b / ：, b / b' b'/ 一：而 a /這樣:-內(nèi)相交直線a和b '都平行于一：證法2:設(shè)AB是a、b的公垂線段， 過AB和

32、b作平面 ，n ： = b過AB和a作平面:n -= aa -二 a II a' AB 丄AB 丄 a', AB 丄 bAB 丄 b于是AB丄：且AB丄 ：/ '：.84.已知a、b、c是三條不重合的直線，a、3、r是三個不重合的平面，下面六個命題: a I c,b I c= a I b; a I r,b Ia I b; a II C,3 I C = a I 3 ； a II r,3 Ir= a I 3 ； a I c,a I C= a I a ； a I r,a I r = a I a .其中正確的命題是( )(A)(B)(C)(D)解析：由公理4 “平行于同一條直線

33、的兩條直線互相平行”可知命題正確；若兩條不重合的直線同平行 于一個平面，它們可能平行，也可能異面還可能相交，因此命題錯誤；平行于同一條直線的兩個不重合 的平面可能平行，也可能相交，命題錯誤；平行于同一平面的兩個不重合的平面一定平行，命題正確;若一條直線和一個平面分別平行于同一條直線或同一個平面，那么這條直線與這個平面或平行，或直線在 該平面內(nèi)，因此命題、都是錯的，答案選A .85. 已知直三棱柱 ABC A1B1C1中，AC=BC, M、N分別是A1B1 , AB的中點，P點在線段BQ上，貝U NP 與平面AMCi的位置關(guān)系是 ()(A) 垂直(B) 平行(C) 相交但不垂直(D) 要依P點的

34、位置而定解析：由題設(shè)知BiM / AN且BiM=AN ,四邊形ANBiM是平行四邊形，故 BiN / AM , BiN / AMCi 平面.又 CiM / CN，得 CN /平面 AMCi，則平面 BiNC / AMCi, NP 平面 BiNC, NP /平面 AMCi.答案選B.86. 已知：正方體 ABCD AiBiCiDi棱長為a.(1) 求證：平面 AiBD /平面 BiDiC;(2) 求平面AiBD和平面BiDiC的距離.證明：(i)在正方體 ABCD AiBiCiDi中, BBi平行且等于 DDi,四邊形BBiDiD是平行四邊形， BD / BiDi, BD /平面 BiDiC.同

35、理AiB/平面BiDiC,又 AiB n BD=B,平面AiBD /平面BiDiC 解：(2)連ACi交平面AiBD于M，交平面BiDiC于N .AC是ACi在平面AC上的射影，又 AC丄BD , ACi 丄BD,同理可證，ACi± AiB,C ACi丄平面AiBD，即MN丄平面AiBD, 同理可證 MN丄平面BiDiC. MN的長是平面AiBD到平面BiDiC的距離，設(shè)AC、BD交于E,則平面AiBD與平面AiC交于直線AiE. M 平面 AiBD , M ACi 平面 AiC, M AiE.同理N CF .在矩形AAiCiC中，見圖9-2i(2)，由平面幾何知識得iMN ACi

36、,3MN評述：當(dāng)空間圖形較為復(fù)雜時，可以分解圖形，把其中的平面圖形折出分析，利于清楚地觀察出平面上各 種線面的位置關(guān)系證明面面平行，主要是在其中一個平面內(nèi)找出兩條與另一個平面平行的相交直線，或 者使用反證法.87. 已知正三棱柱 ABC-AiBiCi,底面邊長為(1) 求證ABi平面CiBD;(2) 求直線ABi到平面CiBD的距離.證明：設(shè)BiCn BCi=O.連DO,貝y O是BiC的中點.在厶ACBi中，D是AC中點，O是BiC中點. DO / ABi,又 DO 平面 CiBD, ABi 二平面 CiBD , ABi / 平面 CiBD .解：(2)由于三棱柱 ABC AiBiCi是正三

37、棱柱, BD 丄 AC,且 BD丄 CCi,8,對角線BiC=i0 , D為AC的中點.D是AC中點, BD丄平面ACi, 平面CiBD丄平面ACi, CiD是交線.在平面ACi內(nèi)作AH丄CiD，垂足是H , AH 丄平面 C1BD,又AB/平面CiBD，故AH的長是直線 ABi到平面CiBD的距離.由 BC=8，BiC=10，得 CCi=6，在 Rt CiDC 中，DC=4，CCi=6，63sin EG DC -22-=v'462<13在 Rt DAH 中，/ ADH =Z CiDCf12 .'i3 AH = AD sin . CQC 二1312/13即AB1到平面C1

38、BD的距離是13評述：證明線面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找出與已知直線平行的直線，如本題的DO.本題的第 問，實質(zhì)上進行了 “平移變換”，利用AB1 /平面C1BD，把求直線到平面的距離變換為求點A到平面的距離.88. 已知：直線a/平面：.求證：經(jīng)過 a和平面平行的平面有且僅有一個.證：過a作平面與：交于a，在內(nèi)作直線b 與a 相交，在a上任取一點P,在b和P確定的平面內(nèi)， 過P作b/ b '. b在外，b 在內(nèi)， b / 二而 a / : a, b確定的平面過a且平行于:-.過a, b的平面只有一個，過a平行于平面:-的平面也只有一個89. 已知平面、：、：.其中 n - =1, Q =

39、a,:門 =a , a/ a , =b，: Q ： =b ,b/ b上述條件能否保證有1 ?若能，給出證明，若不能給出一個反例， 并添加適當(dāng)?shù)臈l件，保證有/.不足以保證:-II.如右圖.lbaY如果添加條件a與b是相交直線，那么:.I :. 證明如下：a I a = a I -bl b = b I 'a, b是鳥內(nèi)兩條相交直線,、：II-'90. 三個平面兩兩相交得三條直線，求證：這三條直線相交于同一點或兩兩平行 已知：平面 a Q平面3 = a,平面3門平面Y = b,平面丫 Q平面a = C. 求證：a、b、c相交于同一點，或 a I bI c.證明：a n 3 = a,3

40、 門 y = b a、b- 3a、b 相交或 a I b.(1) a、b相交時，不妨設(shè) an b= P,即P a, P b而 a、b- 3 , a - a P 3 , P a ,故P為a和3的公共點又T a n y = C由公理2知P c a b、c都經(jīng)過點P,即a、b、c三線共點.當(dāng)a I b時a n y = c且 a a , a - 丫-37 - all b/ c故a、b、c兩兩平行.由此可知a、b、c相交于一點或兩兩平行.說明：此結(jié)論常常作為定理使用，在判斷問題中經(jīng)常被使用91. 如圖，正方體 ABC ABCD中，E在AB上，F(xiàn)在BD上，且 BE= BF求證：EF/平面BBCC.證法一：

41、連 AF延長交BC于 M連結(jié)BM AD/ BC AFDA MFB AF DFFM - BF又 BD= Bia BE= BF DF= AE AF AEFM - B,E EF/ BM BM 平面 BBCC EF/平面 BBCiC.證法二：作 FH/ AD交AB于H,連結(jié)HE/ AD/ BC FH/ BC BCu BBCC FH/ 平BBCiC由 FH/ AD可得BFBD BHBA-41-又 BF= BiE , BD= ABB1E _ BHABj 一 BA EH/ BiB, BBu平面 BBCC EH/平面 BBCiC,EHn FH= H平面FHE/平面BBCCEF平面FHE EF/平面 BBCiC

42、說明：證法一用了證線面平行，先證線線平行證法二則是證線面平行，先證面面平行，然后說明直線在其中一個平面內(nèi)92.已知：平面a/平面B,線段AB分別交a、B于點M N;線段AD分別交a、B于點C D分別交 a、B 于點 F、E,且 AM=m, BN=n, MNp,A FMC面積=(n+p)( n+p),求：END的面積BF解析：如圖，面AND分別交a、B于MC ND因為a / 3 ,故MC/ ND同理 MR/ NE得/ FMC=Z END ND： MC=( m+p) : m和 EN： FM= n : (n+p)1-EN ND sinEND2& END： & FMC=1-FM MC sinFMC2得 Saend=EN NDFM MCX S FMC-(m+p)( n+p)= ( n+p) END的面積為 (m+p)2平方單位m93.如圖，在正方體 ABCA B G D中，點N在BD上，點 M在 B C上, 并且CIMDN求證：MN/平面AABB.解析：本題是把證“線面平行