第2章計算機投影

1、1主要介紹: 三維圖形的基本問題 投影變換 三維圖形的顯示流程圖 21. 在二維屏幕上如何顯示三維物體？在二維屏幕上如何顯示三維物體？顯示器屏幕、繪圖紙等是二維的顯示對象是三維的解決方法-投影三維顯示設(shè)備正在研制中2. 如何表示三維物體？如何表示三維物體？二維形體的表示-直線段,折線,曲線段,多邊形區(qū)域二維形體的輸入-簡單（圖形顯示設(shè)備與形體的維數(shù)一致）3三維形體的表示-空間直線段、折線、曲線段、多邊形、曲面片三維形體的輸入、運算、有效性保證-困難解決方法-各種用于形體表示的理論、模型、方法3. 如何反映遮擋關(guān)系？如何反映遮擋關(guān)系？物體之間或物體的不同部分之間存在相互遮擋關(guān)系遮擋關(guān)系是空間位置

2、關(guān)系的重要組成部分解決方法-消除隱藏面與隱藏線4 4. 如何產(chǎn)生真實感圖形如何產(chǎn)生真實感圖形?何謂真實感圖形 逼真的 示意的人們觀察現(xiàn)實世界產(chǎn)生的真實感來源于 空間位置關(guān)系-近大遠小的透視關(guān)系和遮擋關(guān)系 光線傳播引起的物體表面顏色的自然分布解決方法-建立光照明模型、開發(fā)真實感圖形繪制方法5三維圖形的基本研究內(nèi)容 投影 三維形體的表示 消除隱藏面與隱藏線1. 建立光照明模型、開發(fā)真實感圖形繪制方法6 主要介紹: 三維圖形的基本問題 投影變換 三維圖形的顯示流程圖 7 投影變換:把三維物體變?yōu)槎S圖形表示的過程稱為投影變換。8投影分類投影中心與投影平面之間的距離為無限投影中心與投影平面之間的距離為

3、無限 投影中心與投影平面之間的距離為有限投影中心與投影平面之間的距離為有限 根據(jù)投影方向與投影平面的夾角根據(jù)投影平面與坐標(biāo)軸的夾角9透視投影透視投影 平行投影平行投影 10平行投影 投影中心與投影平面之間的距離為無限因此，只需給出投影方向即可是透視投影的極限狀態(tài)11根據(jù)投影線方向與投影平面的夾角，平行投影分為兩類：正平行投影與斜平行投影 正平行投影包括：正投影（三視圖）和正軸側(cè)投影三視圖：三個投影面和坐標(biāo)軸相互垂直。正軸側(cè)：投影面和坐標(biāo)軸呈一定的關(guān)系。12三視圖：正視圖、側(cè)視圖和俯視圖 13 把三維空間的圖形在三個方向上所看到的棱線分別投影到三個坐標(biāo)面上。再經(jīng)過適當(dāng)變換放置到同一平面上。 zy

4、xa2c2b2a1b1c114 變換矩陣(其中(a,b)為u、v坐標(biāo)下的值)正視圖1000100000000111zxtbtazyxwvuuzyyxozyyxoovtztztxtxtyty(a,b)15 俯視圖： 1000000010000111yxtbtazyxwvuuzyyxozyyxoovtztztxtxtyty(a,b)zyxa2c2b2a1b1c116 側(cè)視圖1000100001000011zytbtazyxwvuuzyyxozyyxoovtztztxtxtyty(a,b)zyxa2c2b2a1b1c117 當(dāng)投影方向不取坐標(biāo)軸方向，投影平面不垂直于坐標(biāo)軸時，產(chǎn)生的正投影稱為正軸測投

5、影。 正軸測投影分類： 正等測：投影平面與三個坐標(biāo)軸的交點到坐標(biāo)原點的距離都相等。沿三個軸線具有相同的變形系數(shù)。18 正二測：投影平面與兩個坐標(biāo)軸的交點到坐標(biāo)原點的距離都相等。沿兩個軸線具有相同的變形系數(shù)。19 正三測：投影平面與三個坐標(biāo)軸的交點到坐標(biāo)原點的距離都不相等。沿三個軸線具有各不相同的變形系數(shù)。20正軸測投影的形成過程如下：將空間一立體繞繞y軸旋轉(zhuǎn)y角然后再繞x軸旋轉(zhuǎn)x最后向z=0平面做正投影由于這種投影的投影平面不與立體的軸線垂直，同時可見到物體的多個面，因而可產(chǎn)生立體效果。經(jīng)過正軸測投影變換后，物體線間的平行性不變，但角度有變化。 21正軸測投影變換矩陣的一般形式： 100000

6、000010000110000cossin00sincos0000110000cos0sin00100sin0cosxxxxyyyyzxyTRRT100000cossinsin00cos000sinsincosyxyxyxyT22下面主要討論正二測和正等測的投影變換矩陣，即確定變換矩陣中的x角和y角。如何度量沿三個軸線方向的變形系數(shù)呢？10cossinsin110010cos0101010sinsincos1001yxyxyxy正軸側(cè)投影正軸側(cè)投影正軸側(cè)投影23正二側(cè)投影需滿足：假定Z軸上的單位矢量經(jīng)變換后長度變?yōu)?/2；即取Z軸的變形系數(shù)恒為1/2：可得：x=20。42, y =19。28。

7、 變換矩陣為xxyy2222cossinsincos4/1sincossin222xyy100000000327. 0935. 0133. 00378. 00926. 024正等側(cè)投影需滿足：求得：正等測圖的變換矩陣為xyxy2222coscossinsinxxyy2222cossinsincos4535yx0707004080070700408000081600001.25 投影線與投影平面不垂直 斜等測投影投影平面與一坐標(biāo)軸垂直投影線與投影平面成45角與投影平面垂直的線投影后長度不變 斜二測投影投影平面與一坐標(biāo)軸垂直投影線與該軸夾角成 arcctg(1/2)角該軸軸向變形系數(shù)為 。即與投影

8、平面垂直的線投影后長度變?yōu)樵瓉淼囊话搿?6 斜等測投影和斜二測投影271 已知投影方向矢量為（xp,yp,zp）設(shè)形體被投影到XOY平面上形體上的一點(x,y,z)在xoy平面上投影后(xs,ys)投影方向矢量為(xp,yp,zp)投影線的參數(shù)方程為：tzzztyyytxxxpspspsyzx(xs,ys)(x,y,z)(xp,yp,zp )28因為所以若令 pisssszztzZzyx00的平面上在ippsippszzyyyzzxxxppypppxpzySzxSyzx(xs,ys)(x,y,z)(xp,yp,zp )29則矩陣式為：1000010010000111ypxpsssSSzyxzy

9、x302設(shè)（xe,ye,ze）為任一點，（xs,ys）為（xe,ye,ze）在XcOcYc平面上的投影 設(shè)立方體上一點 P(0,0,1)在XcOcYc平面上的投影P (lcos,lsin,0),投影方向為PP,PP與投影面的夾角為, 為投影與x軸的夾角，則投影方向矢量為(lcos,lsin,-1) zcycxcPP(0,0,1)l31現(xiàn)考慮任一點（xe,ye,ze）在XcOcYc平面上的投影（xs,ys）投影方向與投影線PP平行所以 0sincos1ssesesezlyylxxzzsincoslzyylzxxeeseeszcycxcPP(0,0,1)l32矩陣形式為：斜等側(cè)中：l=1,=45斜

10、二側(cè)中：l=1/2, =arctg=63.4正平行投影：l=0, =90100001sincos0010000111llzyxzyxeeessszcycxcPP(0,0,1)l33 透視投影是一種中心投影法，在日常生活中，我們觀察外界的景物時，常會看到一些明顯的透視現(xiàn)象。 如：我們站在筆直的大街上，向遠處看去，會感到街上具有相同高度的路燈柱子，顯得近處的高，遠處的矮，越遠越矮。這些路燈柱子，即使它們之間的距離相等，但是視覺產(chǎn)生的效果則是近處的間隔顯得大，遠處的間隔顯得小，越遠越密。觀察道路的寬度，也會感到越遠越窄，最后匯聚于一點。這些現(xiàn)象，稱之為透視現(xiàn)象。 產(chǎn)生透視的原因，可用下圖來說明：34

11、 圖中，AA,BB,CC為一組高度和間隔都相等，排成一條直線的電線桿，從視點E去看，發(fā)現(xiàn) AEABEBCEC 若在視點E與物體間設(shè)置一個透明的畫面P,讓P通過AA，則在畫面上看到的各電線桿的投影aabbcc aa即EA,EA與畫面P的交點的連線; bb即為EB，EB與畫面P的交點的連線。 cc 即為EC，EC與畫面P的交點的連線。 近大遠小35 若連a,b,c及a,b,c各點，它們的連線匯聚于一點。 然而，實際上，A,B,C與A，B，C的連線是兩條互相平行的直線，這說明空間不平行于畫面空間不平行于畫面(投影面）的一切平行線的透視投影投影面）的一切平行線的透視投影，即a,b,c與a,b,c的連線

12、，必交于一點必交于一點，這點我們稱之為滅點。36透視投影 投影中心與投影平面之間的距離為有限 滅點：不平行于投影平面的平行線，經(jīng)過透視投影之后收斂于一點，稱為滅點. 主滅點:平行于坐標(biāo)軸的平行線產(chǎn)生的滅點。一點透視兩點透視三點透視 特點：產(chǎn)生近大遠小的視覺效果，由它產(chǎn)生的圖形深度感強，看起來更加真實。 37 主滅點數(shù)是和投影平面切割坐標(biāo)軸的數(shù)量相對應(yīng)的,即由坐標(biāo)軸與投影平面交點的數(shù)量來決定的。 如投影平面僅切割z軸，則z軸是投影平面的法線，因而只在z軸上有一個滅點，平行于x軸或y軸的直線也平行于投影平面，因而沒有滅點。yxzo38 人眼從正面去觀察一個立方體，當(dāng)z軸與投影平面垂直時，另兩根軸o

13、x,oy軸平行于投影平面。這時的立方體透視圖只有一個滅點，即與畫面垂直的那組平行線的透視投影交于一點。39 人眼觀看的立方體是繞y軸旋轉(zhuǎn)一個角度之后，再進行透視投影。三坐標(biāo)軸中oy軸與投影平面平行，而其它兩軸與畫面傾斜，這時除平行于oy軸的那組平行線外，其它兩組平行線的透視投影分別在投影平面的左右兩側(cè)，作出的立方體透視圖產(chǎn)生兩個滅點。40 此時，投影平面與三坐標(biāo)軸均不平行。 這時的三組平行線均產(chǎn)生滅點。41421) 一點透視設(shè)z軸上有一觀察點（即視點）V(0,0,h)從V點出發(fā)將物體上的點P(x,y,z)投影到XOY平面上得到P (x,y,0)由相似三角形可知： hzhyyxx43令:011z

14、hzyyhzxxHzZHyYHxXhzH144這是變換矩陣為的齊次坐標(biāo)變換 它可以看作是先作變換 1000100000100001hMrzrzMzyxZYX11 透視變換1000110000100001hMr45再做變換 的合成。平面的正投影變換向01000000000100001ZMz46在透視變換Mr下有：hzzzhzyyhzxx11147當(dāng)z時，x 0,y 0,z -h(0,0,-h)為該透視的一個滅點。同樣，視點在(h,0,0)的透視變換，滅點在(-h,0,0)變換矩陣為1000010000101001hMrx48視點在(0,h,0)的透視變換，滅點在(0,-h,0)變換矩陣為1000

15、010010100001hMry均稱為一點透視變換。、rzryrxMMM49 在變換矩陣中，第四列的p,q,r起透視變換作用1000100010001rqpM50當(dāng)p、q、r中有一個不為0時的變換。假定q!=0,p=r=0.對空間上任一點(x,y,z)進行透視變換結(jié)果如下：對該結(jié)果進行規(guī)范化處理后，便得：1qy zy 1 0 0 00 1 0 0q 0 1 00 0 0 11 zy xx1 1qyz 1qyy 1qyx51當(dāng)y=0時： x = x y = 0 z = z 即處于y=0平面上的點，經(jīng)過透視變換后沒有變化。當(dāng)y=時 x = 0 y = 1/q z = 0 即當(dāng)y-所有點的變換結(jié)果都

16、集中到Y(jié)軸的1/q處，也即所有平行于Y軸的直線，變換后都將沿伸相交于該點。該點即為滅點。52) 二點透視在變換矩陣中，第四列的p,q,r起透視變換作用當(dāng)p、q、r中有兩個不為0時的透視變換稱為二點透視變換。假定p!=0, r!=0, q=0; 將空間上一點(x,y,z)進行變換，可得如下結(jié)果：1000100010001rqpM53由上式可看出：當(dāng)x-時，在X軸上1/p處有一個滅點；當(dāng)z-時，在Z軸上1/r處有一個滅點；)1/()1/()1/(1rzpx zy x 1 0 0 0r 1 0 00 0 1 0p 0 0 11 zy x rzpxzzrzpxyyrzpxxx經(jīng)齊次化處理后得：54)

17、三點透視類似，若p,q,r都不為0，則可得到有三個滅點的三點透視。)1/()1/()1/(1rzpx zy x 1 0 0 0r 1 0 0q 0 1 0p 0 0 11 zy x rzqypxzzrzqypxyyrzqypxxxqy經(jīng)齊次化處理后得：55由上式可看出：當(dāng)x-時，在X軸上1/p處有一個滅點；當(dāng)y-時，在Y軸上1/q處有一個滅點;當(dāng)z-時，在Z軸上1/r處有一個滅點；56一點透視圖的生成 在生成一點透視圖時，為了避免將物體安置在坐標(biāo)系原點，而產(chǎn)生下圖所示的透視效果，通常在透視變換前，先將立體作一平移變換。57其變換過程如下：1）先作平移變換；2）再作透視變換；3）最后將結(jié)果投影到

18、投影面。 由于往XOZ平面上投影，故一點透視變換的滅點選在Y軸上。以下是其變換公式。58 1qdy dz 0dx 0 1 0 0q 0 0 00 0 0 1 1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0q 0 1 00 0 0 11 dzdy dx 0 1 0 00 0 1 00 0 0 1T59二點透視投影圖的生成 當(dāng)立體經(jīng)透視變換后，若直接投影到V面上，可能其立體效果并不理想，所以，在透視變換后，對變換結(jié)果繞Z軸旋轉(zhuǎn)后，以使物體軸線不與投影面垂直，再向V面上投影其效果會更好。 變換過程如下：1）先對立體進行二點透視變換；2）再把變換結(jié)果繞Z軸旋轉(zhuǎn)一角

19、度；3）最后將上述變換結(jié)果投影到投影面上。60三點透視投影圖生成 與二點透視投影圖生成變換理由一樣，在透視變換后，先對變換結(jié)果作旋轉(zhuǎn)變換，以保證透視投影面與物體上的三個坐標(biāo)軸均不平行，從而獲得立體效果更好的透視投影圖。變換過程如下： 1）首先對物體作三點透視變換； 2）將透視變換結(jié)果繞Z軸旋轉(zhuǎn)一角度 3）再繞X軸旋轉(zhuǎn)一角； 4）將上述結(jié)果投影到投影面。61主要介紹: 三維圖形的基本問題 投影變換 三維圖形的顯示流程圖 62 顯示流程圖觀察變換：從世界坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換63 何時裁剪投影之前裁剪-三維裁剪 優(yōu)點只對可見的物體進行投影變換 缺點三維裁剪相對復(fù)雜投影之后裁剪-二維裁剪 優(yōu)點二維

20、裁剪相對容易 缺點需要對所有的物體進行投影變換64采用二維裁剪的三維圖形顯示流程圖在投影之前裁剪的理由 三維物體的表面通常被離散表示成多邊形或折線，而對這類簡單圖元，三維裁剪同樣比較簡單。 三維圖形在顯示過程中需要被消隱，做這個工作要有圖形的深度信息，所以必須在投影之前完成 。 消隱很費時，如果在此之前裁剪（或部分裁剪）掉不可見的圖形，可使需要消隱的圖形減至最小。65（1）模型變換 將模型坐標(biāo)系下定義的圖形變換到世界坐標(biāo)系下表示。（2）觀察變換 將世界坐標(biāo)系下定義的圖形變換到觀察（視點）坐標(biāo)系下表示。（3）視見體裁剪 裁剪掉視見體（四棱臺）外的圖形。（4）投影變換 將視見體內(nèi)的圖形透視投影到投

21、影平面上，以規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系定義。 66 設(shè)觀察點在世界坐標(biāo)系中任一位置，用球面坐標(biāo)表示（D，）。觀察者坐標(biāo)系：Ze指向世界坐標(biāo)系的原點Xe指向觀察者的右方Y(jié)e指向觀察者的上方求空間某一點P(x,y,z)在觀察者坐標(biāo)系和投影平面坐標(biāo)系中的表達式。(如下圖)67點P在投影平面上的正透視投影68使用矩陣變換的方法：設(shè)在推導(dǎo)過程中的過渡坐標(biāo)系為X”Y”Z”目前的位置為：然后進行如下四步變換。cossinsincossinDcDbDa69從自然坐標(biāo)系過渡到觀察者坐標(biāo)系的四個變換步驟70從自然坐標(biāo)系過渡到觀察者坐標(biāo)系的四個變換步驟71 第一步：將坐標(biāo)系XYZ平移至Oe點處，形成過渡坐標(biāo)系X”Y”Z”(見上圖a)，其變換矩陣有：10100001000011cbaT72 第二步：將過渡坐標(biāo)系繞Z軸順時針方向旋轉(zhuǎn)90o 角，結(jié)果使Y”軸與Z軸相交，見上圖(b) 1000010000sincos00cossin1000010000)90cos()90sin(00)90sin()90cos(000002)90(TzT73 第三步：將過渡坐標(biāo)系繞X軸