知識(shí)講解正態(tài)分布理

1、正態(tài)分布【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義。2. 了解正態(tài)曲線與正態(tài)分布的性質(zhì)?！疽c(diǎn)梳理】要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)一、概率密度曲線與概率密度函數(shù)3. 概念：對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量 X,位于x軸上方，X落在任一區(qū)間(a, b內(nèi)的概率等于它與 x軸、直線x a 與直線x b所圍成的曲邊梯形的面積(如圖陰影部分)，這條概率曲線叫做X的概率密度曲線，以其作為圖象的函數(shù) f (x)叫做X的概率密度函數(shù)。2、性質(zhì):概率密度函數(shù)所取的每個(gè)值均是非負(fù)的。夾于概率密度的曲線與 x軸之間的“平面圖形”的面積為1P(a X b)的值等于由直線x a, x b與概率密度曲線、x軸所圍成的“平面圖形”的 面

2、積。要點(diǎn)二、正態(tài)分布1.正態(tài)變量的概率密度函數(shù)112 2正態(tài)變量的概率密度函數(shù)表達(dá)式為：，(x)e (x R),(0,)其中x是隨機(jī)變量的取值；心 為正態(tài)變量的期望；是正態(tài)變量的標(biāo)準(zhǔn)差.2 .正態(tài)分布(1)定義b如果對(duì)于任何實(shí)數(shù) a,b(a b)隨機(jī)變量X滿足：P(a X b)(x)dx,a ,則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布。記為 X: N( , 2)。(2)正態(tài)分布的期望與方差22若X : N(,)，則X的期望與方差分別為：EX , DX o要點(diǎn)詮釋：(1)正態(tài)分布由參數(shù)和 確定。參數(shù)是均值，它是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可用樣本的均值去估計(jì)。是標(biāo)準(zhǔn)差，它是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特

3、征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)。(2)經(jīng)驗(yàn)表明，一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布.在現(xiàn)實(shí)生活中，很多隨機(jī)變量都服從或近似地服從正態(tài)分布.例如長(zhǎng)度測(cè)量誤差；某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等；一定條件下生長(zhǎng)的小麥的株高、穗長(zhǎng)、單位面積產(chǎn)量等；正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)(如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容量、電子管 的使用壽命等)；某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度、降雨量等；一般都服從正態(tài)分布.要點(diǎn)三、正態(tài)曲線及其性質(zhì)：1.正態(tài)曲線(x )21 二2如果隨機(jī)變量 X的概率密度函數(shù)為 f(x) e 2 (x R),其中

4、實(shí)數(shù)和 為參數(shù)2(0,),則稱函數(shù) f (x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線。2.正態(tài)曲線的性質(zhì)：曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線 x 對(duì)稱；曲線在x 時(shí)達(dá)到峰值 1L ；2當(dāng)x 時(shí)，曲線上升；當(dāng) x 時(shí)，曲線下降.并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時(shí)，以 x軸 為漸近線，向它無限靠近 .曲線與x軸之間的面積為1;決定曲線的位置和對(duì)稱性；當(dāng) 一定時(shí)，曲線的對(duì)稱軸位置由確定；如下圖所示，曲線隨著的變化而沿x軸平移。確定曲線的形狀；當(dāng) 一定時(shí)，曲線的形狀由 確定。 越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大,曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散。如下圖所示。要點(diǎn)詮

5、釋：性質(zhì)說明了函數(shù)具有值域(函數(shù)值為正)及函數(shù)的漸近線( x軸).性質(zhì)并且說明了函數(shù)具有對(duì) 稱性；性質(zhì)說明了函數(shù)在x= 時(shí)取最值；性質(zhì)說明越大，總體分布越分散，越小，總體分布 越集中.要點(diǎn)四、求正態(tài)分布在給定區(qū)間上的概率1.隨機(jī)變量取值的概率與面積的關(guān)系2、右隨機(jī)變量 工服從正態(tài)分布 N(,),那么對(duì)于彳J意實(shí)數(shù) a、b (ab),當(dāng)隨機(jī)變量 七在區(qū)間(a, b上取值時(shí)，其取值的概率與正態(tài)曲線與直線x=a, x=b以及x軸所圍成的圖形的面積相等.如圖(1)中的陰影部分的面積就是隨機(jī)變量孝在區(qū)間( a, b上取值的概率.一般地，當(dāng)隨機(jī)變量在區(qū)間(，a)上取值時(shí)，其取值的概率是正態(tài)曲線在x=a左側(cè)

6、以及x軸圍成圖形的面積，如圖(2).隨機(jī)變量在(a, +8)上取值的概率是正態(tài)曲線在 x=a右側(cè)以及x軸圍 成圖形的面積，如圖(3).根據(jù)以上概率與面積的關(guān)系，在有關(guān)概率的計(jì)算中，可借助與面積的關(guān)系進(jìn)行求解.2、正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間的概率值：P( X ) 0.683；P( 2 X 2 ) 0.954 ；P( 3 X 3 ) 0.997 o上述結(jié)果可用下圖表示：要點(diǎn)詮釋：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布 N( , 2),則X落在(3 ,3 )內(nèi)的概率約為，落在(3 ,3 )之外的概率約為，一般稱后者為小概率事件，并認(rèn)為在一次試驗(yàn)中，小概率事件幾乎不可能發(fā)生。一般的，服從于正態(tài)分布 N( , 2)的隨機(jī)

7、變量 X通常只取(3 ,3 )之間的值，簡(jiǎn)稱為3原則。3、求正態(tài)分布在給定區(qū)間上的概率方法(1)數(shù)形結(jié)合，利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性及曲線與x軸之間面積為1。正態(tài)曲線關(guān)于直線 x 對(duì)稱，與x對(duì)稱的區(qū)間上的概率相等。例如 P(X ) P(X )；b)O P(X a) 1 P(X a)；若 b ，則 P(X b) -P(byX(2)利用正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率：P( X P(2X P(3X)0.6826 ；2 ) 0.9544 ；3 ) 0.9974 o【典型例題】類型一、正態(tài)分布的概率密度函數(shù) 例1.下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是(x)2A P(x)0)都是實(shí)數(shù)(x 1)2B. P(x)P(x)

8、2/2-e1D - P(x) ITe2【思路點(diǎn)撥】本題可對(duì)照正態(tài)密度函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式判斷.(x)2【解析】 正態(tài)密度函數(shù)為：P(x)其中指數(shù)部分的應(yīng)與系數(shù)的分母處的保持一致，系數(shù)為正數(shù)且指數(shù)為負(fù)數(shù).選項(xiàng)a有兩處錯(cuò)誤，分別是 J2一 錯(cuò)為J2- ,指數(shù)錯(cuò)為正數(shù).選項(xiàng)C,從系數(shù)可得=2,而從指數(shù)處可得J2,顯然不符.選項(xiàng) D中指數(shù)為正，錯(cuò)誤.所以正確答案為B.(x)2【總結(jié)升華】注意函數(shù)P(x)2-.的形式特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.舉一反三:(x 10)2【變式1】設(shè)一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象，則這個(gè)正態(tài)總體的均值與方差分別是(A. 10 與 8 B . 10 與 4 C . 8 與

9、10 D2與10【答案】在該正態(tài)分布中,=10,=2,貝IE(X)=10 ,D(X)=4,故選Bo o【變式2】.給出下列三個(gè)正態(tài)總體的函數(shù)表達(dá)式，請(qǐng)找出其均值1和標(biāo)準(zhǔn)差(Tx2(1)f(x)e 2 .x (x 1)2(2)f(x)2.2 e8 .x (3)f(x)e2(x1)2/,x (1 (2) 1【變式3】正態(tài)總體為0,1概率密度函數(shù) f(x)是A.奇函數(shù) B .偶函數(shù) C .非奇非偶函數(shù)D .既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)因?yàn)閒(x)【變式4】一臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)一種尺寸為10 mm的零件，現(xiàn)在從中抽測(cè)10個(gè)，它們的尺寸分別如下(單位:10,.如果機(jī)床生產(chǎn)零件的尺寸X服從正態(tài)分布，求正態(tài)分布的概率密度函

10、數(shù)式.【答案】求正態(tài)分布的概率密度函數(shù)式，只要求出參數(shù)即可，而 即樣本均值,即樣本標(biāo)準(zhǔn)依題意得1 (10.2 10.1 10 9.8 9.91010.39.710 9.9 10.1) 10,(10.310)2 (9.7 10)2 (10 10)2(9.910)2(10.1 10)2 0.03.20.03 .所以X的概率密度函數(shù)為(x)1050(x 10)2J6 ,丁類型二、正態(tài)曲線例2.如圖所示,是一個(gè)正態(tài)曲線，試根據(jù)該圖像寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式,求出總體隨機(jī)變量的期望和方差.【思路點(diǎn)撥】 由正態(tài)曲線的圖像可知，該曲線的對(duì)稱軸為1x=20,最大值為,因此,2 .心二20,由可求得

11、 的值.【解析】從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線=20.x=20對(duì)稱，最大值于是概率密度函數(shù)的解析式是1 P(x) 2 e(x 20)24x (8,+8).總體隨機(jī)變量的期望是= =20,方差是2 (揚(yáng)2 2.【總結(jié)升華】利用圖像求正態(tài)密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖像的實(shí)質(zhì)性兩點(diǎn)：一是對(duì)稱軸x= 11 ,1是最值-=.2.這兩點(diǎn)確定以后，相應(yīng)參數(shù)縱便確定了，代入 P (x)中便可求出相應(yīng)的解析式.舉一反三:【變式1】 關(guān)于正態(tài)密度曲線性質(zhì)的敘述:x軸上方;曲線關(guān)于直線 x= 對(duì)稱，整條曲線在曲線對(duì)應(yīng)的正態(tài)總體概率密度函數(shù)是偶函數(shù)；曲線在x= 時(shí)處于最高點(diǎn)，由這一點(diǎn)向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸

12、降低；曲線的對(duì)稱位置由確定，曲線的形狀由 確定，越大曲線越“矮胖”，反之，曲線越“高瘦”.其中敘述正確的有() C . D【答案】B根據(jù)曲線關(guān)于直線 x= 對(duì)稱，只有當(dāng)=0時(shí)函數(shù)才是偶函數(shù)，故錯(cuò).利用排除法選B.【變式2】如圖，兩個(gè)正態(tài)分布曲線圖：1 為 1,1 3 , 2 為 2 2 ，則1 2，1 2 (填大于，小于)【答案】o解析：由正態(tài)密度曲線圖象的特征知?！咀兪?】如圖是三個(gè)正態(tài)分布 XN (0, ) , YN (0, 1) , ZN (0, 4)的密度曲線，則三個(gè)隨機(jī)變量X, Y, Z對(duì)應(yīng)曲線分別是圖中的 、o【答案】。【變式4】已知正態(tài)總體落在區(qū)間0.2,的概率是0. 5,那么相

13、應(yīng)的正態(tài)曲線在x 時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)【答案】。由于正態(tài)曲線關(guān)于直線x 對(duì)稱，由題意知0.2類型三、正態(tài)分布的計(jì)算例3.已知隨機(jī)變量七服從正態(tài)分布N2,(/),P(衛(wèi)(4)=,則P(衛(wèi)(0)=()A.B.C.D.【思路點(diǎn)撥】可畫出正態(tài)曲線，利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性解決?！窘馕觥縋( E 4)=,科=2, R E 4)=1 =,故選 A.【總結(jié)升華】本題利用了正態(tài)密度曲線的性質(zhì)求概率，其中應(yīng)注意對(duì)稱性的運(yùn)用。舉一反三:【變式 1】(1) X : N(0,1),和 的值各是多少？ ( 2) X: N( 1,9), 和 的值各是多少？2(1)比照 X : N( , 2)(0) , X : N(0,1)時(shí)，=0,

14、=1(2)比照 X : N( , 2)(0) , X : N( 1,9)時(shí)， =-1 29 ,所以 =-1,=3【變式2】在某次測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布 N(1, 2) (0),若 在(0, 1)內(nèi)取值的概率為，則在(0, 2)內(nèi)取值的概率為 o【答案】2服從正態(tài)分布N(1,),.在(0, 1)與(1, 2)內(nèi)取值的概率相同，均為。在(0, 2)內(nèi)取值的概率為 +=?！咀兪?】設(shè)隨機(jī)變量 XN (0, 1),(1) P(-aX 0)=P(0 X0)；(2) P(X0)=;(3)已知 P(|X| 1)=,則 P(X1)=;(4)已知 P(|X| 2尸,則 P(X2)=;(5)已知 P(|X|

15、 3)=。其中正確的有()A. 2個(gè) B .3個(gè) C .4個(gè) D .5個(gè)【答案】D;均正確，充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性及其意義。例4. 設(shè)工N (1, 22),試求：(1) P (一 133);(2) P (3工5).【思路點(diǎn)撥】要求隨機(jī)變量H在某一范圍內(nèi)的概率，只需借助于正態(tài)密度曲線的圖像性質(zhì)以及課本中所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求值.【解析】N (1 , 22) , .=1 ,=2,(1) P( 1E3) =P(1 2V) =P ( V )=.(2) P ( 3 E 5) =P ( 3 E 1),.P ( 3 E 5) =p a3),11 P( ) -1 P( 35 -1 P(1 41 4)1 1-1

16、 P( 22 ) - (1 0.954) 0.023.2 2【總結(jié)升華】在求隨機(jī)變量 H在某一范圍內(nèi)的概率時(shí)，可以首先把隨機(jī)變量(,)、(2 ,2 )以及(3 ,3 ),然后利用在(為，在(2 ,2 )上的概率約為，在 (2 ,2 )上的概率約為.舉一反三：【變式 1】X : N(2,25)，求 P( 13 X 17)?！敬鸢浮縓 : N(2,25)時(shí)，=2,=5,313,317,P( 13 X 17) 0.9974【變式2】若刀N (5, 1),求P (5刀 7).【答案】刀N (5, 1),:正態(tài)分布密度函數(shù)的兩個(gè)參數(shù)為=5,=1,該正態(tài)密度曲線關(guān)于 x=5對(duì)稱.11 P(57) - P(

17、37) - 0.954 0.477【變式3】設(shè)X : N(0,1)。(1)求 P( 1 X 1)； ( 2)求 P(0 X 2)?！敬鸢浮?1) X : N(0,1)時(shí)，1 ,1 , P( 1 X 1) 0.6826(2) 22,22,正態(tài)曲線0/(x)關(guān)于直線x=0對(duì)稱，11P(0 X 2) 1P( 2 X 2) 1 0.9544 0.4772。類型四、正態(tài)分布的應(yīng)用例5.某年級(jí)的一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)近似服從正態(tài)分布N (70, 102),如果規(guī)定低于(1)成績(jī)不及格的人數(shù)占多少？(2)成績(jī)?cè)?090分內(nèi)的學(xué)生占多少?的取值轉(zhuǎn)化到區(qū)間,)上的概率約60分為不及格，那么因?yàn)檎龖B(tài)【思路點(diǎn)撥】 本題考

18、查正態(tài)密度曲線對(duì)稱性及正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間的概率取值規(guī)律 密度曲線關(guān)于直線 x=a對(duì)稱，故本題可利用對(duì)稱性及特殊值求解.【解析】(1)設(shè)學(xué)生的得分情況為隨機(jī)變量X,則 XN (70, 102),其中 =70,=10.成績(jī)?cè)?080分之間的學(xué)生人數(shù)的概率為P(70 10X 70+10)=,，1:不及格的人數(shù)占一X ( 1 )2(2) P (7020X 70+20)=,成績(jī)?cè)?090分內(nèi)的學(xué)生占1,、,、-P (50X90) P (60X80) =.2【總結(jié)升華】本題利用了正態(tài)密度曲線的性質(zhì)求概率，其中應(yīng)注意對(duì)稱性的運(yùn)用及正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間的概率取值規(guī)律.舉一反三：_ ，1 ,【變式1】工廠制造的某機(jī)械零件尺寸X服從正態(tài)分布 N(4 -),問在一次正常的試驗(yàn)中，取 1 000個(gè)9零件時(shí)，不屬于區(qū)間(3,5)這個(gè)尺寸范圍的零件大約有多少個(gè)？答案1- X N(4, ) ,(i=4, c =.93不屬于區(qū)間(3,5)的概率為P(X5) = 1 - P(3X5)=1 - P(4