兩直線(xiàn)的位置關(guān)系

1、兩直線(xiàn)的位置關(guān)系已知點(diǎn)M(2,2),N(,5,-2),點(diǎn)P在軸上,分別求滿(mǎn)足下列條件的P點(diǎn)坐標(biāo):(O是坐標(biāo)原點(diǎn));(2)是直角.已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被兩平行直線(xiàn)和截得的線(xiàn)段之長(zhǎng)為5，求直線(xiàn)的方程已知的一個(gè)定點(diǎn)是，、的平分線(xiàn)分別是，求直線(xiàn)的方程求經(jīng)過(guò)兩條直線(xiàn)和的交點(diǎn)，并且垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)的方程已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，求證：直線(xiàn)，求關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)的方程已知直線(xiàn)，試求：(1)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)；(2)直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)的方程；(3)直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)方程已知直線(xiàn)和兩點(diǎn)、(1)在上求一點(diǎn)，使最??；(2)在上求一點(diǎn)，使最大已知點(diǎn)，和直線(xiàn)，求一點(diǎn)使，且點(diǎn)到的距離等于2在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC，

2、O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，將矩形折疊，使O點(diǎn)落在線(xiàn)段BC上，設(shè)折痕所在直線(xiàn)的斜率為k，則k的取值范圍為如果點(diǎn)(5，a)在兩條平行直線(xiàn)6x8y10和3x4y50之間，則整數(shù)a的值如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行于x軸且過(guò)點(diǎn)A(3，2)的入射光線(xiàn)l1被直線(xiàn)l：yx反射，反射光線(xiàn)l2交y軸于B點(diǎn)，圓C過(guò)點(diǎn)A且與l1、l2都相切，求l2所在直線(xiàn)的方程和圓C的方程若動(dòng)點(diǎn)A（x1,y1），B（x2,y2）分別在直線(xiàn)l1：x+y7=0和l2：x+y5=0上移動(dòng)，則AB中點(diǎn)M到原點(diǎn)距離的最小值為若一直線(xiàn)被直線(xiàn)和截得的線(xiàn)段的中點(diǎn)恰好在坐標(biāo)原點(diǎn)，則這條直線(xiàn)的方程為 。直線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩條直線(xiàn)：和的交點(diǎn)

3、，且分這兩條直線(xiàn)與軸圍成的面積為兩部分，求直線(xiàn)一般式方程。在ABC中，BC邊上的高所在直線(xiàn)方程為：x2y+1=0，A的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為：y=0，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），求點(diǎn)A和C的坐標(biāo).已知等腰直角三角形的斜邊所在直線(xiàn)方程是：3xy+2=0，直角頂點(diǎn)C（）,求兩條直角邊所在的直線(xiàn)方程和此三角形面積.題型二：直線(xiàn)方程的求法例4、一直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且?jiàn)A在兩坐標(biāo)軸的有向線(xiàn)段被點(diǎn)內(nèi)分為，求這條直線(xiàn)的方程。過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交軸，軸的正向于、，兩點(diǎn)，求的最小時(shí)的直線(xiàn)方程（變式：當(dāng)面積最小時(shí)的直線(xiàn)方程）一直線(xiàn)被兩直線(xiàn)截得的線(xiàn)段的中點(diǎn)恰好是坐標(biāo)原點(diǎn)，求這條直線(xiàn)的方程。已知等腰直角三角形斜過(guò)所在直線(xiàn)方程為，直角頂點(diǎn)坐標(biāo)

4、是（3，4），求兩直角過(guò)所在直線(xiàn)的方程。求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且被兩條平行線(xiàn)和截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為的直線(xiàn)方程。已知點(diǎn)過(guò)作一條直線(xiàn)，使它包含在兩已知直線(xiàn)和間的線(xiàn)段被點(diǎn)平分，求這條直線(xiàn)方程。已知點(diǎn)和直線(xiàn)（1）求點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（2）若一束光線(xiàn)由點(diǎn)射到上，反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求入射光線(xiàn)和反射光線(xiàn)的方程。例5、已知，則直線(xiàn)一定不經(jīng)過(guò)（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限直線(xiàn)的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A、（0，1） B、 C、 D、以上都不對(duì)題型三：直線(xiàn)系方程例6、已知直線(xiàn)，求平行直線(xiàn)，且與軸，軸相交在第一象限所成三角形面積為24的直線(xiàn)線(xiàn)方程。直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的交點(diǎn)，與兩點(diǎn)的距離相等，求直線(xiàn)的

5、方程。已知直線(xiàn)，求證：不論為何實(shí)數(shù)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)。已知直線(xiàn)求經(jīng)過(guò)、的交點(diǎn)且與已知直線(xiàn)平行的直線(xiàn)的方程。已知兩直線(xiàn)，相交于點(diǎn)，求過(guò)且垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)方程。小結(jié)歸納：1、過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)系 恒過(guò)點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)系2、斜率為定值的直線(xiàn)系 斜率為若已知直線(xiàn)與平行的直線(xiàn)系為若已知直線(xiàn)與垂直的直線(xiàn)系為3、經(jīng)過(guò)兩條直線(xiàn)交點(diǎn)的在象限 過(guò)交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程：題型四：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題例7、不論為何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn) 。直線(xiàn)在軸上截距的倒數(shù)和為常數(shù)，則直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn) 。題型五：直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題1、直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)問(wèn)題2、點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)問(wèn)題關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 ；關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 ；關(guān)于直線(xiàn)=軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 ；關(guān)于直線(xiàn)=-軸的對(duì)稱(chēng)

6、點(diǎn)為 ；關(guān)于直線(xiàn)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 ；關(guān)于直線(xiàn)=軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 ；關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的求法，令則3、直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)問(wèn)題關(guān)于軸，軸，對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)。直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)的求法例8、求點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B的坐標(biāo)。例9、求直線(xiàn)關(guān)于（1，0）對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)的方程。例10、求直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)的方程。例11、已知點(diǎn)與點(diǎn)，試在軸上求一點(diǎn)；使得的值最小。 變式題：求函數(shù)的最小值。以點(diǎn)為頂點(diǎn)，在軸上找一點(diǎn)，另在直線(xiàn)上找一點(diǎn)C構(gòu)成，使其周長(zhǎng)最小，并求出這個(gè)最小值。 直線(xiàn)系方程問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中的一類(lèi)重要問(wèn)題，在解題中有著重要的應(yīng)用，本文將直線(xiàn)系在解題中的應(yīng)用作以介紹，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考. 一、平行直線(xiàn)系方程在解題中的應(yīng)

7、用 與直線(xiàn)：（A,B不同時(shí)為0）平行的直線(xiàn)系方程為：（）. 例1已知直線(xiàn)：，直線(xiàn)：被，截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為，求直線(xiàn)的方程. 分析：本題是已知兩直線(xiàn)平行和其中一條直線(xiàn)方程求直線(xiàn)方程問(wèn)題，可用平行直線(xiàn)系求解.解析：設(shè)：（），直線(xiàn)到直線(xiàn)所處的角為，直線(xiàn)、間的距離為，由題知，=1，=，由到角公式得，=，=，=，由平行線(xiàn)間距離公式得，=，解得=2或=4，直線(xiàn)方程為：或.點(diǎn)評(píng)：對(duì)于已知兩直線(xiàn)平行和其中一條直線(xiàn)方程求另一直線(xiàn)方程問(wèn)題，常用平行直線(xiàn)系法，以簡(jiǎn)化計(jì)算.本題也可以由兩直線(xiàn)平行斜率相等求出所求直線(xiàn)斜率，把所求直線(xiàn)方程設(shè)成點(diǎn)斜式，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列出關(guān)系式求解.二、垂直直線(xiàn)系方程在解題中的應(yīng)用與直線(xiàn)

8、：（A,B不同時(shí)為0）垂直的直線(xiàn)系方程為：.例2已知直線(xiàn)是曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)且與直線(xiàn)垂直，求直線(xiàn)的方程.分析：本題是已知兩直線(xiàn)垂直和其中一條直線(xiàn)方程求另一直線(xiàn)方程問(wèn)題，可用垂直直線(xiàn)系法.解析：設(shè)：，由消去得，由與曲線(xiàn)相切得，=0，解得=0，：.點(diǎn)評(píng)：對(duì)已知兩直線(xiàn)垂直和其中一條直線(xiàn)方程求另一直線(xiàn)方程問(wèn)題，常用垂直直線(xiàn)系法，可以簡(jiǎn)化計(jì)算.本題設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，用導(dǎo)數(shù)求出切線(xiàn)斜率，利用切線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直，列出關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系式，求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，寫(xiě)出直線(xiàn)方程.三、過(guò)定點(diǎn)直線(xiàn)系方程在解題中的應(yīng)用過(guò)定點(diǎn)（，）的直線(xiàn)系方程：（A,B不同時(shí)為0）.例 3 求過(guò)點(diǎn)圓的切線(xiàn)的方程分析：本題是過(guò)定點(diǎn)直線(xiàn)方程問(wèn)題，可用定

9、點(diǎn)直線(xiàn)系法.解析：設(shè)所求直線(xiàn)的方程為（其中不全為零），則整理有，直線(xiàn)l與圓相切，圓心到直線(xiàn)l的距離等于半徑1，故，整理，得，即（這時(shí)），或故所求直線(xiàn)l的方程為或點(diǎn)評(píng)：對(duì)求過(guò)定點(diǎn)（，）的直線(xiàn)方程問(wèn)題，常用過(guò)定點(diǎn)直線(xiàn)法，即設(shè)直線(xiàn)方程為: ，注意的此方程表示的是過(guò)點(diǎn)的所有直線(xiàn)（即直線(xiàn)系），應(yīng)用這種直線(xiàn)方程可以不受直線(xiàn)的斜率、截距等因素的限制，在實(shí)際解答問(wèn)題時(shí)可以避免分類(lèi)討論，有效地防止解題出現(xiàn)漏解或錯(cuò)解的現(xiàn)象四、過(guò)兩直線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程在解題中的應(yīng)用過(guò)直線(xiàn)：（不同時(shí)為0）與：（不同時(shí)為0）交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程為：（，為參數(shù)）.例4 求過(guò)直線(xiàn)：與直線(xiàn)：的交點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)方程.分析：本題是過(guò)

10、兩直線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)系問(wèn)題，可用過(guò)交點(diǎn)直線(xiàn)系求解.解析：設(shè)所求直線(xiàn)方程為：，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，則=0，則=1，此時(shí)所求直線(xiàn)方程為：；當(dāng)所求直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，令=0，解得=，令=0，解得=，由題意得，=，解得，此時(shí)，所求直線(xiàn)方程為：.綜上所述，所求直線(xiàn)方程為：或.五、求直線(xiàn)系方程過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題例5 證明：直線(xiàn)(是參數(shù)且R)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).分析：本題是證明直線(xiàn)系過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，可用恒等式法和特殊直線(xiàn)法.解析：（恒等式法）直線(xiàn)方程化為:,R, ，解得，直線(xiàn)(是參數(shù)且R)過(guò)定點(diǎn)（1,1）.（特殊直線(xiàn)法）取=0，=1得，聯(lián)立解得，將（1,1）代入檢驗(yàn)滿(mǎn)足方程，直線(xiàn)(是參數(shù)且R)過(guò)定點(diǎn)（1,1）.點(diǎn)評(píng)：對(duì)證明直線(xiàn)

11、系過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，常用方法有恒等式法和特殊直線(xiàn)法，恒等式法就是將直線(xiàn)方程化為關(guān)于參數(shù)的恒等式形式，利用參數(shù)屬于R，則恒等式個(gè)系數(shù)為0，列出關(guān)于的方程組，通過(guò)解方程組，求出定點(diǎn)坐標(biāo);特殊直線(xiàn)法，去兩個(gè)特殊參數(shù)值，得到兩條特殊直線(xiàn)，通過(guò)接著兩條特殊直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，并代入原直線(xiàn)系方程檢驗(yàn)，即得定點(diǎn).直線(xiàn)系方程及其巧妙應(yīng)用1命題的給出命題：設(shè)點(diǎn)在直線(xiàn)（其中不全為零）上，則這條直線(xiàn)的方程可以寫(xiě)成這一結(jié)論的證明比較簡(jiǎn)單，但值得我們注意的是直線(xiàn)表示的是過(guò)點(diǎn)的所有直線(xiàn)（即直線(xiàn)系），應(yīng)用這種直線(xiàn)方程可以不受直線(xiàn)的斜率、截距等因素的限制，在實(shí)際解答問(wèn)題時(shí)可以避免分類(lèi)討論，有效地防止解題出現(xiàn)漏解或錯(cuò)解的現(xiàn)象2命題的應(yīng)用

12、（1）斜率問(wèn)題的應(yīng)用在求過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程，或直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系及兩直線(xiàn)的位置關(guān)系時(shí)，一般要分直線(xiàn)有無(wú)斜率兩種情況進(jìn)行討論而應(yīng)用直線(xiàn)系方程，可以避免對(duì)斜率的討論，確保求解的完整性和正確性例過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)l，求切線(xiàn)l的方程解：設(shè)所求直線(xiàn)l的方程為（其中不全為零），則整理有，直線(xiàn)l與圓相切，圓心到直線(xiàn)l的距離等于半徑1，故，整理，得，即（這時(shí)），或故所求直線(xiàn)l的方程為或（2）截距問(wèn)題的應(yīng)用當(dāng)題目中出現(xiàn)直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的“截距相等”、“截距互為相反數(shù)”、“在一坐標(biāo)軸上的截距是另一坐標(biāo)軸上的截距的倍（）”等條件時(shí)，采用截距式就會(huì)漏掉“零截距”的情況，從而丟解而應(yīng)用直線(xiàn)系方程，可以避免對(duì)直線(xiàn)

13、的截距的分類(lèi)討論，確保求解的完整性和正確性例2求過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)方程解：設(shè)所求直線(xiàn)方程為（其中不全為零）顯然，當(dāng)或時(shí)，所得直線(xiàn)方程不滿(mǎn)足題意故均不為零當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意，直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則，令，則，整理，得， 解得，或，則，或，故所求直線(xiàn)方程為，或編者的話(huà)：利用過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)系方程（其中不全為零）確定直線(xiàn)方程，彌補(bǔ)了直線(xiàn)方程中幾種常見(jiàn)的特殊直線(xiàn)方程形式的限制條件的不足，避免了分類(lèi)討論，解法具有通用性和簡(jiǎn)潔性下面我們用這個(gè)方法來(lái)做兩道相關(guān)的題目練習(xí)：1求過(guò)原點(diǎn)且與直線(xiàn)成30°角的直線(xiàn)方程l2在過(guò)點(diǎn)的所有直線(xiàn)中，求到原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)的直線(xiàn)方程答案：1，或2 直

14、線(xiàn)系問(wèn)題一、過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)系設(shè)定點(diǎn)P(x0,y0)1、用斜率k作參數(shù)的直線(xiàn)系方程y-y0=k(x-x0)(不包括無(wú)斜率的直線(xiàn))2、用A、B作參數(shù)的直線(xiàn)系方程A(x-x0)+B(y-y0)=0 (A、B不全為0) 例：求經(jīng)過(guò)P(1,2)的直線(xiàn)L,使點(diǎn)A(3,3)和B(5,2)到它的距離相等.思路一:設(shè)斜率k,用點(diǎn)斜式,再由點(diǎn)距公式列方程,求k出即可.思路二:分類(lèi)討論設(shè)斜率k,用點(diǎn)斜式,當(dāng)LAB時(shí),由斜率相等可得k;當(dāng)L過(guò)AB的中點(diǎn)時(shí),把AB中點(diǎn)坐標(biāo)代入L方程,可解得k.二、平行線(xiàn)系1、斜率是k的直線(xiàn)系方程y=kx+b (b為參數(shù))2、平行于Ax+By+C=0的直線(xiàn)系方程為Ax+By+=0 (為參數(shù)

15、)3、垂直于Ax+By+C=0的直線(xiàn)系方程為Bx-Ay+=0 (為參數(shù))三、過(guò)兩直線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)系設(shè)L1: A1x+B1y+C1=0L2: A2x+B2y+C2=0m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m、n是參數(shù))A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(是參數(shù)但不包括L2)例：已知3a+2b=1,求證：直線(xiàn)ax+by+2(x-y)-1=0過(guò)定點(diǎn),并求該定點(diǎn)坐標(biāo).思路一：由3a+2b=1得:b=(1-3a)代入直線(xiàn)系方程ax+by+2(x-y)-1=0整理得(2x y-1)+a(x -y)=0由, 得交點(diǎn)(1, )直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(1, ).思路二：賦值法令a=0得b

16、= 得L1: 2x - y-1=0令b=0得a= 得L2: x y=0由, 得交點(diǎn)(1, )把交點(diǎn)坐標(biāo)代入原直線(xiàn)方程左邊得:左邊=(3a+2b-1)3a+2b-1=0左邊=0這說(shuō)明只要3a+2b-1=0原直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(1, ).例:求證:無(wú)論為何值,直線(xiàn)(2+)x-(1+)y-2(3+2)=0與點(diǎn)P(-2,2)的距離d都小于4.證明：將直線(xiàn)方程按參數(shù)整理得(2x-y-6)+(x-y-4)=0故該直線(xiàn)系恒過(guò)二直線(xiàn)2x-y-6=0和x-y-4=0的交點(diǎn)M易解得M(2,-2)求得|PM|=4所以d4而過(guò)點(diǎn)M垂直P(pán)M的直線(xiàn)方程為x-y-4=0,又無(wú)論為何值,題設(shè)直線(xiàn)系方程都不可能表示直線(xiàn)x-y-4=0d

17、<4【注】此題若按常規(guī)思路,運(yùn)用點(diǎn)距公式求解,則運(yùn)算量很大,難算結(jié)果,運(yùn)用直線(xiàn)系過(guò)定點(diǎn)巧妙獲解.例題：例、 （1）證明直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)； （2）若直線(xiàn)l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，AOB的面積為S，求S的最小值，并求此時(shí)直線(xiàn)l的方程； （3）若直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍。 分析：（1）證直線(xiàn)系過(guò)定點(diǎn)，可用分離參數(shù)法。 （2）求AOB面積S的最小值，應(yīng)先求出目標(biāo)函數(shù)Sf(k)，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征選擇最小值的求法。 （3）直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第四象限的充要條件是：直線(xiàn)在x軸上的截距小于或等于-2，在y軸上的截距大于或等于1?；蛴芍本€(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（-2，1）知斜率大于或等于零。 解：（1）

18、直線(xiàn)l的方程是： 無(wú)論k取何值，直線(xiàn)總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（-2，1） （2）由l的方程，得： 解得：k0 解之得：k0 小結(jié)：本題證明直線(xiàn)系過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題所使用的“分離參數(shù)法”，也是證明曲線(xiàn)系過(guò)定點(diǎn)的一般方法。例、已知P（1，3），直線(xiàn)l：x4y10（1）求過(guò)P且平行于l的直線(xiàn)l1的方程；（2）求過(guò)P且垂直于l的直線(xiàn)l2的方程策略：由l1l的斜率關(guān)系可得，由l2l的斜率關(guān)系得4，再利用點(diǎn)斜式方程可求出直線(xiàn)l1，l2的方程由平行直線(xiàn)系與垂直直線(xiàn)系可以求出l1，l2的方程解法一：（1）直線(xiàn)l的斜率為且l1l，直線(xiàn)l1的斜率k1又l1過(guò)P（1，3），l1的方程為y3(x1)，即x4y110(2)kl且l2l，直線(xiàn)

19、l2的斜率為k24又l2過(guò)P(1，3)l2的方程為y34(x1)即4xy70解法二：（1）l1l且l方程為x4y10設(shè)l1的方程為x4yC0又P(1，3)在l1上14×3C0解得C11l1的方程為x4y110(2)l2l設(shè)l2的方程為4xyC0又l2過(guò)P（1，3）4×13C0解得C7l2的方程為4xy70評(píng)注：一般地，利用平行直線(xiàn)系和垂直直線(xiàn)系求直線(xiàn)方程會(huì)給計(jì)算帶來(lái)很大方便例、求證：不論m為何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)l：(m1)x(2m1)ym5恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)策略：對(duì)于這類(lèi)題目，只要找出兩條相交的直線(xiàn)，然后解出交點(diǎn)坐標(biāo)即可證法一：（特殊值法）當(dāng)m1時(shí)，直線(xiàn)l的方程為y4；當(dāng)

20、m時(shí)，直線(xiàn)l的方程為x9；兩直線(xiàn)的交點(diǎn)為（9，4），滿(mǎn)足直線(xiàn)l的方程(m1)x(2m1)ym5不論m為何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)l：(m1)x(2m1)ym5恒過(guò)一定點(diǎn)（9，4）證法二：（直線(xiàn)系法）將方程(m1)x(2m1)ym5整理得m(x2y1)(xy5)0解方程組得不論m為何實(shí)數(shù)，定點(diǎn)(9，4)恒滿(mǎn)足方程(m1)x(2m1)ym5即不論m為何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)l：(m1)x(2m1)ym5恒過(guò)一定點(diǎn)（9，4）評(píng)注：求某直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)的題目，常用的兩種方法特殊值法和直線(xiàn)系法例、求經(jīng)過(guò)兩直線(xiàn)l1：x2y40和l2：xy20的交點(diǎn)P，且與直線(xiàn)l3：3x4y50垂直的直線(xiàn)l的方程策略：可以先解方程組求出交點(diǎn)P，再利用ll

21、3求出斜率，用點(diǎn)斜式求l方程；求出P點(diǎn)后，用垂直直線(xiàn)系求l方程；先由過(guò)l1，l2的交點(diǎn)的直線(xiàn)系設(shè)出l方程，然后由l3l求系數(shù)解法一：解方程組得交點(diǎn)P（0，2）k3kl由點(diǎn)斜式得l：y2x即4x3y60解法二：設(shè)所求直線(xiàn)l：4x3yC0由解法一知：P(0，2）代入方程，得C6l：4x3y60解法三：設(shè)所求直線(xiàn)l：(x2y4)(xy2)0整理得(1)x(2)y240ll33(1)4(2)011l的方程為：(x2y4)11(xy2)0即4x3y60評(píng)注：解法一是常規(guī)解法，解法二用待定系數(shù)法，解法三應(yīng)用了經(jīng)過(guò)兩直線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程，省去了求兩直線(xiàn)交點(diǎn)的解方程組的運(yùn)算利用直線(xiàn)系解題一、直線(xiàn)系的定義1、 共點(diǎn)直線(xiàn)系方程經(jīng)過(guò)兩直線(xiàn)的交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程為2、 平行直線(xiàn)系方程與直線(xiàn)3、 垂直直線(xiàn)系方程與直線(xiàn)二、利用直線(xiàn)系解題例題：