巧用旋轉(zhuǎn)法解幾何題

1、巧用旋轉(zhuǎn)法解幾何題巧用旋轉(zhuǎn)法解幾何題將一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知旋轉(zhuǎn)前后的圖 形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的連線所組成的夾角等 于旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)法是在圖形具有公共端點(diǎn)的相等的 線段特征時(shí)，可以把圖形的某部分繞相等的線段的公共端點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)另一位置的引輔助線的方法，主要 用途是把分散的元素通過(guò)旋轉(zhuǎn)集中起來(lái)，從而為證 題創(chuàng)造必要的條件。旋轉(zhuǎn)方法常用于等腰三角形、 等邊三角形及正方形等圖形中。現(xiàn)就旋轉(zhuǎn)法在幾何 證題中的應(yīng)用舉例加以說(shuō)明，供同學(xué)們參考。例1.如圖，在RtZXABC中,點(diǎn)，E, F分別AC和BC上, 求證：EF2=AE2+BF2分析：從所證的結(jié)論來(lái)看,NC=

2、90。，D 是 AB 的中 且 DE1DF,令人聯(lián)想到勾股定理,但注意到EF, AE, BF三條線段不在同一個(gè)三角形中,由于D是中點(diǎn)，我們可以考慮以D為旋轉(zhuǎn)中心，將 BF旋轉(zhuǎn)到和AE相鄰的位置，構(gòu)造一個(gè)直角三角形， 問(wèn)題便迎刃而解。證明：延長(zhǎng)FD到G,使DG=DF,連接AG, EG2yG . AD=DB / ADG= BDF ./ADG3/BDF (SAS . / DAG= DBF BF=AG .AG/1 BC/ C=90EAG=90 . EG=AE+AG=AE2+BF2/DEL DF .EG=EFeF=aE+bF例 2,如圖 2,在/ABC中，/ACB=90 , AC=BC P 是/ABC內(nèi)

3、一點(diǎn)，且 PA=3 PB=1, PC=2 求/BPC勺 度數(shù).分析：題目已知條件中給出了三條線段的長(zhǎng)度和一 個(gè)直角，但已知的三條線段不在同一三角形中，故 可考慮通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換移至一個(gè)三角形中，由于/ ACB 是等腰直角三角形，宜以直角頂點(diǎn) C為旋轉(zhuǎn)中心。解：作 MCL CP 使MC=CP連接PM BM . /ACB=90 ) / PCM=90，/ 1=/ 2; AC=BC = / CA國(guó) / CBM(SAS . MB=AP=3 , PC=MC / PCM=90 . / MPC=45由 勾 股 定PM = =PCMC =V2PC2 =2我)在/MP沖，pB+pM= (2”)2+12=9=BM丁/M

4、P喔直角三角形 /BPCW CPM+ MPB=45 +90° =135°例3,如圖3,直角三角形 ABC中，AB=AC/BAC=90 , Z EAF=45 ,求證：eF=bE+cF分析：本題求證的結(jié)論和例1十分相似，無(wú)法直接 用勾股定理，可通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換將 BE, CF轉(zhuǎn)移到同一 個(gè)直角三角形中，由于/ BAC是等腰直角三角形，不 妨以A為旋轉(zhuǎn)中心，將/ BAE和/CAF合在一起，取 零為整。證明：過(guò) A作APIAE交BC的垂線CP于P,連結(jié)PF , / EAP=90 )/ EAF=45.二 / PAF=45 , / BAC=90 . / BAEWPAC; AB=AC. /

5、B=/ ACB=/ ACP=45，/AB草 /ACP (ASA，PC=AE, AP=AE，/AEF/APF (SAS .EF=PF故在 Rt/PCF中,pP=cF+pC,即 eF=cF+aE例4,如圖4,正方形ABC沖，E, F分別在ARDC上，且/ EBF=45 , BML EFT M,求證：BA=BM分析：本題與例3相同之處在于直角三角形家?jiàn)A有化45°角，可利用相同的方法，將/ ABE和/CBF“散為整”來(lái)構(gòu)造全等三角形。證明：延長(zhǎng)FC到N,使CN=AE 連結(jié)BN四邊形ABC奧正方形 .AB=AC / BAC=90 / EBF=45 °. / ABE+/CBF=45由/

6、AB。/CB用口 BE=BN /CBN=ABE/CBN+CBF=45 ,即/ EBW NBF 又 BE=BN BF=BF ，/EB監(jiān)/NBF(SAS，BM=BC.BM=BA例5、如圖6,五邊形ABODES, AB= AE, BO+ DE= OR / ABO / AED=180° o 求證：/ ADtE= /ADO解析：條件中有共點(diǎn)且相等的邊 AE和AB,可將A ADEI乂點(diǎn)A為中心，順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)/BAE的角度到 AFB的位置，如圖7。這宗使已知條件/ ABO /AED= 180°和BC+DE= CD1過(guò)轉(zhuǎn)化得到集中，使解題思路進(jìn)一步明朗。由 4AD孳 AAFES,彳4/A

7、ED= /ABF / ADE= Z AFB,ED= BF, AF= AD由/ABO / AED= 180° ）得/ ABO / ABF= 180°。所以G B、F三點(diǎn)共線。又 OD= BC+ DE= BU BF= OF,故/ OFD= / CDF 由 AF= AD,得到/ DFA= /FDA. / ADE = / AFB = / OFD + / DFA = / CDF+ / FDA = / ADO o例6、如圖，P是等邊三角形AB8的一個(gè)點(diǎn)，PA=ZPB=2./3, PC=4 求 ABC的邊長(zhǎng)。分析：PA PR PC比較分散，可利用旋轉(zhuǎn)將PA PR PC放在一個(gè)三角形中，為

8、此可將 BPA繞B點(diǎn)逆時(shí) 針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°可得 BHG解：把ABPA B點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得至IJZXBHC因?yàn)?BP=BH Z PBH=60所以 BP偎等邊三角形時(shí)以/ BPH=60 ,所以 BP=PH2V3又因?yàn)?HC=PA=2 PC=4所以 PC J HP J HCa所以HC羯RtZ所以/ CHP=90又因?yàn)镠C=2 PC=4所以/ HPC=30又因?yàn)? BPH=60 ,所以/ CPB=90在 RtZXBPC中，BC2 = BP。PC J Q 忑Y +42= 12+16=28,BC 2萬(wàn)）那么 ABC的邊長(zhǎng)為2行。例7、如圖2, O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知：

9、 /AOB=115 , / BOC=125 ,則以線段 OA OB OC 為邊構(gòu)成三角形的各角度數(shù)是多少？解：可將 BO凝B點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°可得 BMA因?yàn)?BO=BM / MBO=60 所以ABO娓等邊三角形， 所以/ 1=2 2=60°又因?yàn)? AOB=115 ,所以/ MOA=55又因?yàn)? AMB= COB=125所以/ AMO=65又因?yàn)?AM=OC MO=BO所以AMQE好是以AO OC BO為邊組成的三角形 所以/ MAO=180 (55° +65° ) =180° 120° =60°即：以線段OA OB

10、 OC為邊構(gòu)成三角形的各角的度數(shù)分別為 55°、65°、60°例8、如圖4, P是正方形ABCD一點(diǎn)，將 AB隙點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)能與cbp'重合， 若PB=3求pp'的長(zhǎng)。分析：將4人8噬點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)能與cbp'重合，實(shí)際上就是把 ABP順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90可得 CBP; 即 PBP' 90° 。解：因?yàn)锽P BP', PBP' 90° o所以PP' BPPP'B2<32""32 3v,2 o例9、如圖5, P為正方形ABC加一點(diǎn)，且PA PB:PC

11、=1 2: 3,求/APB的度數(shù)。分析：PA PB: PC=1 2: 3,不妨設(shè)PA=1, PB=2 PC=3而這些條件較分散，可設(shè)法把PA PB PC相對(duì)集中起來(lái)即把 BC畸B點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到 BAE解：因?yàn)?BP=BE / PBE=90所以PE2 22 22)所以PE 2 2又在 APE中,AE CP 3, PA2 PE2 AE2即 12 (2 2)2 32所以/ APE=90即/APB=90 +45° =135°所以/ APB=135例10、如圖，正萬(wàn)形ABCD勺邊長(zhǎng)為1, AB AD上各 存一點(diǎn)P、Q若APQ勺周長(zhǎng)為2,求/ PCQ勺度數(shù)。解：把 CD選點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90因?yàn)?AQ+AP+QP=2又 AQ+QD+AP+PB=2到 CBF勺位置，CQ=CF所以 QD+BP=QP又 DQ=BF 所以 PQ=PF所以QCP FCP所以/ QCP= FCP又因?yàn)? QCF=90 ,所以/