高考理科數(shù)學(xué)北京卷

1、2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）（北京卷）滿分150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。一、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2已知向量a、b不共線，cabR),dab,如果cd，那么 A且c與d同向 B且c與d反向 C且c與d同向 D且c與d反向3為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn) A向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 B向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 C向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 D向右平移3個(gè)

2、單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度4若正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，與底面成60°角，則到底面的距離為 A B1 C D5“”是“”的 A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件6若為有理數(shù)），則 A45 B55 C70 D807用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為 A324 B328 C360 D6488點(diǎn)在直線上，若存在過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，則稱點(diǎn)為“點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是 A直線上的所有點(diǎn)都是“點(diǎn)” B直線上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“點(diǎn)” C直線上的所有點(diǎn)都不是“點(diǎn)” D直線上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)不是所有的點(diǎn)）是“點(diǎn)”二、填空題

3、：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。9_.10若實(shí)數(shù)滿足則的最小值為_.11設(shè)是偶函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為1，則該曲線在處的切線的斜率為_.12橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，若，則_；的小大為_. 13若函數(shù) 則不等式的解集為_.14已知數(shù)列滿足：則_；=_.三 、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過程。15（本小題共13分） 在中，角的對(duì)邊分別為，.（）求的值；（）求的面積.16（本小題共14分） 如圖，在三棱錐中，底面，點(diǎn)，分別在棱上，且（）求證：平面；（）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成的角的大小；（）是否存在點(diǎn)使得二面角為直二面

4、角？并說(shuō)明理由.17（本小題共13分）某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2min.（）求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率；（）求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間的分布列及期望.18（本小題共13分）設(shè)函數(shù)（）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍.19（本小題共14分）已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為（）求雙曲線的方程；（）設(shè)直線是圓上動(dòng)點(diǎn)處的切線，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值.20（本小題共13分） 已知數(shù)集具有性質(zhì)；對(duì)任意的

5、，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于.（）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；（）證明：，且；（）證明：當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列.參考答案及解析一、本大題共8小題，每小題5分，共40分。1【答案】B【解析】本題主要考查復(fù)數(shù)在坐標(biāo)系數(shù)內(nèi)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.屬于基礎(chǔ)知識(shí)的考查.，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故選B.2【答案】D【解析】本題主要考查向量的共線（平行）、向量的加減法.屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查. 取a，b，若，則cab，dab， 顯然，a與b不平行，排除A、B. 若，則cab，dab，即cd且c與d反向，排除C，故選D.3【答案】C【解析】本題主要考查函數(shù)圖象的平移變換.屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.A，B，

6、C，D.故應(yīng)選C.4【答案】D【解析】本題主要考查正四棱柱的概念、直線與平面所成的角以及直線與平面的距離等概念. （第4題解答圖）屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查. 依題意，如圖，故選D.5【答案】A【解析】本題主要考查三角函數(shù)的基本概念、簡(jiǎn)易邏輯中充要條件的判斷.屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查. 當(dāng)時(shí)， 反之，當(dāng)時(shí)，有， 或，故應(yīng)選A.6【答案】C【解析】本題主要考查二項(xiàng)式定理及其展開式.屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.， 由已知，得，.故選C.7【答案】B【解析】本題主要考查排列組合知識(shí)以及分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理知識(shí).屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查. 首先應(yīng)考慮“0”是特殊元素，當(dāng)0排在末位時(shí)，

7、有（個(gè)）， 當(dāng)0不排在末位時(shí)，有（個(gè)）， 于是由分類計(jì)數(shù)原理，得符合題意的偶數(shù)共有（個(gè)）.故選B.8【答案】A【解析】本題主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力,考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力. 屬于創(chuàng)新題型. 本題采作數(shù)形結(jié)合法易于求解，如圖，設(shè)，則，（第8題解答圖）消去n,整理得關(guān)于x的方程 （1）恒成立，方程（1）恒有實(shí)數(shù)解，應(yīng)選A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。9【答案】【解析】本題主要考極限的基本運(yùn)算，其中重點(diǎn)考查如何約去“零因子”. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.，故應(yīng)填.10【答案】【解析】本題主要考查線性規(guī)劃方面的基礎(chǔ)知.屬于

8、基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查. 如圖，當(dāng)時(shí)，為最小值.故應(yīng)填.11【答案】【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與曲線在某一點(diǎn)處切線的 （第10題解答圖）斜率的概念.屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.取，如圖，采用數(shù)形結(jié)合法，易得該曲線在處的切線的斜率為.故應(yīng)填.12【答案】【解析】本題主要考查橢圓的定義、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸、焦距之間的關(guān)系以及余弦定理.屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.， （第11題解答圖），又， ，又由余弦定理，得， （第12題解答圖），故應(yīng)填.13【答案】【解析】本題主要考查分段函數(shù)和簡(jiǎn)單絕對(duì)值不等式的解法.屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查. （1）由. （2）由.不等式的解集為，應(yīng)填.14【答案】1，

9、0【解析】本題主要考查周期數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí).屬于創(chuàng)新題型.依題意，得，.應(yīng)填1，0.三 、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過程。15（本小題共13分）【解析】本題主要考查三角形中的三角函數(shù)變換及求值、誘導(dǎo)公式、三角形的面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，主要考查基本運(yùn)算能力（）A、B、C為ABC的內(nèi)角，且，.（）由（）知， 又，在ABC中，由正弦定理，得.ABC的面積.16（本小題共14分）【解法1】本題主要考查直線和平面垂直、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力（）PA底面ABC，PABC.又，ACBC.BC平面PAC.（）D為PB

10、的中點(diǎn)，DE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足為點(diǎn)E.DAE是AD與平面PAC所成的角，PA底面ABC，PAAB，又PA=AB，ABP為等腰直角三角形，在RtABC中，.在RtADE中，與平面所成的角的大小.（）AE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP為二面角的平面角，PA底面ABC，PAAC，.在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AEPC，這時(shí)，故存在點(diǎn)E使得二面角是直二面角.【解法2】如圖，以A為原煤點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)，由已知可得.（），BCAP.又，BCAC，BC平面PAC.（）D為PB的中點(diǎn)

11、，DE/BC，E為PC的中點(diǎn)，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足為點(diǎn)E.DAE是AD與平面PAC所成的角，.與平面所成的角的大小.（）同解法1.17（本小題共13分）【解析】本題主要考查隨機(jī)事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件等概率知識(shí)、考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.（）設(shè)這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈為事件A，因?yàn)槭录嗀等于事件“這名學(xué)生在第一和第二個(gè)路口沒有遇到紅燈，在第三個(gè)路口遇到紅燈”，所以事件A的概率為.（）由題意，可得可能取的值為0，2，4，6，8（單位：min）.事件“”等價(jià)于事件“該學(xué)生在路上遇到次紅燈

12、”（0，1，2，3，4），即的分布列是02468的期望是.18（本小題共13分）【解析】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問題的能力（）, 曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（）由，得， 若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增， 若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，（）由（）知，若，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，若，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，綜上可知，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，的取值范圍是.19（本小題共14分）【解法1】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力（）由題意，得，解得，所求雙曲線的方程為.（）點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)得.由及得，切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，且，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，且，.的大小為.【解法2】（）同解法1.（）點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)得.由及得切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，的大小為.（且，從而當(dāng)時(shí)，方程和方程的判別式均大于零）.20（本小題共13分）【解析】