幾何三大難題

1、幾何三大難題如果不知道遠溯古希臘前輩所建立和發(fā)展的概念、方法和結果，我們就不可能理解近50年來數(shù)學的目標，也不可能理解它的成就.Herm𝒶nn Weyl§ 1 問題的提出和解決1.1 數(shù)學的心臟數(shù)學是由什么組成的？公理嗎？定義嗎？定理嗎？證明嗎嗎？公式嗎？誠然，沒有這些組成部分數(shù)學就不存在，它們都數(shù)數(shù)學的必要組成部分，但是，它們中間的任一個都不是數(shù)學的心臟.數(shù)學家存在的主要理由就是提出問題和解決問題.因此，數(shù)學的真正組成部分是問題和解.兩千多年以來，數(shù)學就是在解決各種問題中進行的.那么，什么樣的問題是好問題呢？對此希爾伯特有一段精彩的論述：“要想預先正確判斷一個問題的

2、價值是困難的，并且常常是不可能的；因為最終的判斷取決于科學從該問題獲得的收益，雖說如此，我們仍然要問：是否存在一個一般準則，可以借以鑒別好的數(shù)學問題，一個老的法國數(shù)學家曾經說過：一種數(shù)學理論應該這樣清晰，使你能向大街上遇到的第一個人解釋它.在此以前，這一理論不能認為是完善的.這里對數(shù)學理論所堅持的清晰性和易懂性，我想更應該把它作為一個數(shù)學問題堪稱完善的要求.因為清楚地、易于理解的問題吸引著人們的興趣，而復雜的問題卻使我們望而卻步.”“其次，為了具有吸引力，一個數(shù)學問題應該是困難的，但卻不能是完全不可解決的，使我們白費力氣.在通向哪隱藏的真理的曲折道路上，它應該是指引我們前進的一盞明燈，最終以成

3、功的喜悅作為我們的報償.”在數(shù)學史上這樣的例子是不勝枚舉的.本章介紹的幾何作圖三大問題就是最著名的問題之一.1.2 希臘古典時期數(shù)學發(fā)展的路線希臘前300年的數(shù)學沿著三條不同的路線發(fā)展著.第一條是總結在歐幾里得得幾何原本中的材料.第二條路線是有關無窮小、極限以及求和過程的各種概念的發(fā)展，這些概念一直到近代，微積分誕生后才得以澄清.第三條路線是高等幾何的發(fā)展，即園和直線以外的曲線以及球和平面以外的曲面的發(fā)展.令人驚奇的是，這種高等幾何的大部分起源于解幾何作圖三大問題.1.3 幾何作圖三大問題古希臘人在幾何學上提出著名的三大作圖問題，它們是：( 1 ) 三等分任意角.( 2 ) 化園為方：求作一正

4、方形，使其面積等于一已知園的面積.( 3 ) 立方倍積：求作一立方體，使其體積是已知立方體體積的兩倍.解決這三大問題的限制是，只許使用沒有刻度的直尺和圓規(guī)，并在有限次內完成.1.4 問題的來源 這三個問題是如何提出來的呢？由于年代久遠，已無文獻可查.據(jù)說，立方倍積問題起源于兩個神話.厄拉多賽（Eratoshenes of Cyrene，約公元前27約前194）是古希臘著名的科學家、天文學家、數(shù)學家和詩人.他是測量過地球周長的第一人.在他的柏拉圖一書里，記述了一個神話故事.說是鼠疫襲擊了愛琴海南部的一個小島，叫提洛島.一個預言者說，他得到了神的諭示：須將立方形的阿波羅祭壇體積加倍，瘟疫方能停息.

5、建筑是很為難，不知道怎樣才能使體積加倍.于是去請教哲學家柏拉圖.柏拉圖說，神的真正意圖不在于神壇的加倍，而是想使希臘人因忽視幾何學而羞愧. 另一個故事也是厄多拉塞記述的.說古代一位悲劇詩人描述克里特國王米諾斯為他的兒子克勞科斯修墳的事.他嫌墳修造得太小，命令有關人必須把墳的體積加倍，但要保持立方的形狀.接著又說，“趕快將每邊的長都加倍.”厄拉多塞指出，這是錯誤的，因為邊長加倍，體積就變成原來的8倍.這兩個傳說都表明，立方倍積問題起源于建筑的需要.三等分任意角的問題來自正多邊形作圖.用直尺和圓規(guī)二等分一個角是輕而易舉的.由此可以容易地作出正4邊形、正8邊形，以及正2n次方邊形，其中n 2是自然數(shù)

6、.很自然地，人們會提出三等分一個角的問題.但這卻是一個不可能用尺規(guī)解決的問題.圓和正方形都是最基本的幾何圖形，怎樣做一個正方形和一個已知圓有相同的面積呢？這就是化園為方的問題.歷史上恐怕沒有一個幾何問題像這個問題那樣強烈地吸引人們的興趣.早在公元前5世紀，就有很多人研究這個問題了，都想在這個問題上大顯身手.化園為方的問題相當于用直尺和圓規(guī)作出的值.這個問題的最早研究者是安那克薩哥拉，可惜他的關于化圓為方的問題的 研究沒有流傳下來，以后的研究者有希波克拉茨（Hippocrates of Chios，公元前約460年）.他在化圓為方的研究中求出了某些月牙形的面積 .此外.還有安提豐，他提出了一種窮

7、竭法，具有劃時代的意義，是近代極限論的先聲. 1.5 “規(guī)”和“矩”的規(guī)矩 在歐幾里得幾何學中，幾何作圖的特定工具是直尺和圓規(guī)，而且直尺上沒有刻度.直尺、 在歐幾里得幾何學中，幾何作圖的特定工具是直尺和圓規(guī)，而且直尺上沒有刻度.直尺、圓規(guī)的用場是 直尺：（1）已知兩點作一直線；（2）無限延長一已知直線. 圓規(guī)：已知點，以為心，以為半徑作圓. 希臘人強調，幾何作圖只能用直尺和圓規(guī)，其理由是：（1）希臘幾何的基本精神是，從極少數(shù)的基本假定定義、公理、公設出發(fā)，推導出盡可能多的命題.對作圖工具也相應地限制到不能再少的程度.（2）受柏拉圖哲學思想的深刻影響.柏拉圖特別重視數(shù)學在智力訓練方面的作用，他主

8、張通過幾何學習達到訓練邏輯思維的目的，因此對工具必須進行限制，正像體育競賽對運動器械有限制一樣.（3）畢達哥拉斯學派認為圓是最完美的平面圖形，圓和直線是幾何學最基本的研究對象，因此規(guī)定只使用這兩種工具. 1.6問題的解決 用直尺和圓規(guī)能不能解決三大問題呢？答案是否定的，三大問題都是幾何作圖不能解決的.證明三大問題不可解決的工具本質上不是幾何的而是代數(shù)的，再帶舒緩沒有發(fā)展到一定水平時是不能解決這些問題的.1637年迪卡兒創(chuàng)立了解析幾何，溝通了幾何學和代數(shù)學這兩大數(shù)學分支，從而為解決尺規(guī)作圖問題奠定了基礎.1837年法國數(shù)學家旺策爾（Pierre L.WAntzel）證明了，三等分任意角和立方倍積

9、問題都是幾何作圖不能解決的問題，化圓為方問題相當于用尺規(guī)作出的值.1882年法國數(shù)學家林得曼證明了是超越數(shù)，不是任何整系數(shù)代數(shù)方程的根，從而證明了化圓為方的不可能性. 但是，正是在研究這些問題的過程中促進了數(shù)學的發(fā)展.兩千多年來.三大幾何難題起了許多數(shù)學家的興趣，對它們的深入研究不但給予希臘幾何學以巨大影響，而且引出了大量的新發(fā)現(xiàn).例如，許多二次曲線、三次曲線以及幾種超越曲線的發(fā)現(xiàn)，后來又有關于有理數(shù)域、代數(shù)數(shù)與超越數(shù)、群論等的發(fā)展在化圓為方的研究中幾乎從一開始就促進了窮竭法的發(fā)展，二窮竭法正是微積分的先導. § 2 放棄“規(guī)矩”之后問題的難處在于限制用直尺和圓規(guī).兩千多年來，數(shù)學家

10、為解決三大問題投入了熱大量精力.如果解除這一限制，問題很容易解決.2. 1 帕普斯的方法帕普斯（Pappus，約300350前后)是希臘亞歷山大學派晚期的數(shù)學家.他把希臘自古以來各名家的著作編為數(shù)學匯編，共8卷.其中也包括了他自己的創(chuàng)作.在第4 卷中，他討論了三等分任意角的問題.下面的方法就是帕普斯的.圖 15-1DGEBCAO設,過點做角的另一邊的垂線.過點作的平行線.考慮過點的一條直線，它交于點，交平行線于，并使2.這時.證 如圖15-1所示，只要證明了2，那么就是. 設是的中點，并作，從而直線與并行.由 ，可知，從而，.又與是內錯角，所以.注意到，是等腰三角形，于是，2.這就是說，三等分

11、了角. 這種作法的關鍵一步是，使2.這只能使用有刻度的直尺才能實現(xiàn)，它違反了歐幾里得幾何學作圖的規(guī)則.具體做法是這樣的：在直尺上標出一段線段,其長為2，然后調整直尺的位置，使它過點，并且在上，在過的平行線上.這種辦法叫“插入原則”.2. 2 阿基米德的方法在圖15-2上，是任意給定的一個角，其頂點在點.我們的目的是三等分這個角.在該角的一邊上取一點，然后以點為心，以為半徑做一圓，圓與的延長線交于點，與角的另一邊交于點.作圖的關鍵步驟是，使用“插入原則”.在直尺上標出兩點和，并且使.現(xiàn)在上直尺過點，且使直尺上的點在圓弧上，然后移動直尺，使沿圓周運動，直到點落在的延長線上.直線表示這時直尺的位置，

12、即直尺過點，且. 圖 15-2BAOCED 設.因為是等腰三角形，所以.同時，是的外角，從而這就證明了是的三分之一. 2. 3 時鐘也會三等分任意角 大家知道，時鐘面上有時針、分針和秒針，秒針用不到，只看時針和分針.分針走一圈，時針就走一個字.也就是，分針轉過角，時針轉過角的12分之1，即轉過角.注意到12是3的倍數(shù)，我們就可以利用時鐘三等分一個任意角了.具體作法如下.把要三等分的任意角畫在一張透明紙上.開始時，把時針和分針并在一起，設它們正好在12的位置上（圖15-3）.把透明紙鋪到鐘面上，使角的頂點落在針的軸心上，角的一邊通過111012458793612ACB12的位置.然后把分針撥到和

13、角的另一邊重合的位置.這時時針轉動了一個角，在透明紙上把時針的現(xiàn)在位置記下來.我們知道，時針所走過的一定是的12分之1.把放大4倍就是的3分之1.O這種解法出現(xiàn)在前蘇聯(lián)別萊利曼的著作趣味幾何學中，這是一本很好的科普讀物，它告訴我們如何把幾何知識用到實際中去.圖 15-32. 4 達芬奇的化圓為方 如何化圓為方的問題曾被歐洲文藝復興時期的大師達·芬奇用以種巧妙的方法給出解答：取一圓柱，使其底和已知圓相等，高時底面半徑的一半.將圓柱滾動一周，產生一個矩形，其面積為2×2.這正好是圓的面積.再將矩形化為正方形，問題就解決了. § 3從幾何到代數(shù)3.1用直尺圓規(guī)可以作什么

14、圖 用歐幾里得的直尺圓規(guī)可以完成哪些作圖呢？下面的5種基本作圖是可以勝任的（圖15-4）：（1） 用一條直線連接兩點.（2） 求兩條直線的交點.（3） 以一點為心，定長為半徑作一圓（4） 求一個圓與一條直線的交點，或切點.（5） 求兩個圓的交點，或切點.還有，用直尺圓規(guī)作圖必須在有限次內完成，不允許無限次地作下去.換言之，不允許采取極限手段完成作圖.圖 15-4根據(jù)直尺的基本功能，我們有下面的重要結論：一個作圖題可否用直尺完成，決定于是否能反復使用上面5種基本作圖經有限次而完成.這就是用直尺圓規(guī)可能與不可能的基本依據(jù).具體說來，用尺規(guī)作什么圖呢？（1） 二等分已知線段.（2） 二等分已知角.（

15、3） 已知直線和外一點，過作直線垂直.（4） 任意給定自然數(shù)，作已知線段的倍，等分已知線段.（5） 已知線段，可做其做法如圖15-5所示.接著r也可做，這里r是正有理數(shù).這樣做：設都是自然數(shù)，因此.先做的p倍，再做p，這樣就做出來了.上面各條告訴我們，已知線段的加、減、乘、除能用幾何作圖來實現(xiàn).+b bb11b圖 15-5另一方面，代數(shù)學告訴我們，從0，1出發(fā)利用四則運算可以構造出全部有理數(shù).事實上，1+1=2，1+2=3， .因此，我們通過加法可以得到全體自然數(shù).0減去任何一個自然數(shù)都得到負整數(shù)，因此，借助減法可以得到全體負整數(shù).從整數(shù)出發(fā)，借助除法，我們可以得到全體有理數(shù).現(xiàn)在我們知道了，

16、只要給定單位1，我們可以用尺規(guī)作出數(shù)軸上的全部有理點.幾何與代數(shù)在這里達到了完全的統(tǒng)一. C O A B 圖 15-6（6） 已知線段可作.這一條超出了有理作圖的范圍. 如圖15-6，OA，以OB為直徑作圓.過A作OB的垂直線交圓周于.直角三角形OAC與直角三角形OBC有一個公共角COB，由此可得，OCAABC. 這樣一來，我們有，OCAABC. 設AC我們有，3.2域的定義 近代代數(shù)是研究運算性質的，它把普通實數(shù)滿足的運算法則推廣到更大的范圍中去.本段給出域的定義，為后面研究可構造數(shù)域做些準備.設R是一個集合，下面的公理對R中的任何元素，b，都成立.公理1 （1）；（2）；（3）存在唯一得元

17、素，使得；（4）對任意的，都存在惟一的，使得.公理2 （1）；（2）（3）存在惟一的元素1，使得.（4）對任意的（除外），都存在惟一的，使得公理3 我們把滿足這些公理的集合R叫做一個域.全體有理數(shù)對加法和乘法構成一個域，叫做有理數(shù)域.全體實數(shù)對加法和乘法構成一個域，叫做實域，全體復數(shù)也是一個域，叫復數(shù)域.3.3可構造數(shù)域在下面的討論中，我們假定最初只給了一個元素，即單位長1.由1出發(fā)，我們用直尺和圓規(guī)通過有理運算加、減、乘、除能做出所有的有理數(shù)，這里r和s是整數(shù)，即做出整個有理數(shù)域.進而我們能做出平面上的所有有理點，即兩個坐標皆為有理數(shù)的點.我們還能做出新的無理數(shù)，如，它不屬于有理數(shù)域.從出發(fā)

18、，通過“有理”作圖，可以做出所有形如（15-1）的數(shù)，這里是有理數(shù).同樣地，我們可以做出所有形如的數(shù)，這里，b，是有理數(shù).但這些數(shù)總可以寫成（15-1）的形式.例如這里是有理數(shù)，且分母不可能是零（為什么？）.同樣，這里是有理數(shù).因此，由的作圖，我們產生了全部形如（15-1）的數(shù)集，其中，b是任意有理數(shù).由此得命題1 形如（15-1）形成一個域.這個域比有理數(shù)域大.事實上在（15-1）中取就可得到有理數(shù)域.有理數(shù)域是它的一部分，稱為它的子域.但是，它顯然小于全體實數(shù)數(shù)域.將有理數(shù)域記為F，這個構造的數(shù)域記為，稱它為F的擴域.中的數(shù)都可用直尺和圓規(guī)做出來.現(xiàn)在我們繼續(xù)擴充可作數(shù)的范圍.在中取一個數(shù)

19、，如.求它的平方根而得到可作圖的數(shù)用它可以得到由所有形如的數(shù)，它們也形成一個域.稱為的擴域，記為 ，現(xiàn)在可以是中的任意數(shù)，即，q形如，b 為有理數(shù).從出發(fā)，我們還可以進一步擴充作圖的范圍.這種辦法一直繼續(xù)下去.用這種辦法得到的數(shù)都是可用直尺圓規(guī)作出來的.3.4進一步的討論代數(shù)研究的對象是數(shù)、數(shù)偶（即坐標）、一次方程式、二次方程式等.幾何研究的對象是點、直線、圓、曲線、等.通過坐標法，幾何的對象與代數(shù)的對象緊密的聯(lián)系在一起了.現(xiàn)在面臨一個這樣的問題：用直尺圓規(guī)作出來的數(shù)是不是都在有理數(shù)域的諸擴域中呢？會不會超出這個范圍呢？下面來回答這一問題.假定我們可用直尺圓規(guī)作出某個數(shù)域 F中的所有數(shù).命題2

20、 從數(shù)域 F出發(fā)，只用直尺作不出數(shù)域 F 以外的數(shù).證 設F.過點（），（）的直線方程是或它的系數(shù)是由 F 中的數(shù)作成的有理式.今有兩條以 F 中的數(shù)為系數(shù)的直線：解此聯(lián)立方程，可得交點坐標它們都是F中數(shù).這樣一來，只用直尺的作圖不能使我們超出F的范圍.易見，用圓規(guī)可作出F以外的數(shù).只需在F中取一數(shù)k，使不在F中.我們能作出，因而可作出所有形如 （15-2）的數(shù)，其中，b在F中.所有形如（15-1）的數(shù)形一個域，它是F的擴域.命題3 給定數(shù)域F，用圓規(guī)和直尺只能作出F擴域中的數(shù).證 首先指出，圓規(guī)在作圖中所起的作用只是確定一個圓與一條直線的交點或切點，或一個圓與另一個圓的交點或切點.通過解聯(lián)立

21、方程可以把交點或切點求出來.以（，）為中心，以r為半徑的圓的方程是設，r.將上式展開得其中，在F內.求圓與直線的交點或切點就是解聯(lián)立方程組其中，c內.從第二個方程解出代入第一個方程，得到一個二次方程其中 ，.其解為它們可以化為形式，p，q，kF.易見，是F的擴域.交點的y坐標由（15-3）給出，明顯地，也在擴域中.這就是說，圓和直線的交點的坐標都在擴域中. 接著我們研究兩個圓的交點或切點.再帶書上就是接二元一次聯(lián)立方程： 從第一個方程減去第二方程，得和前面一樣，把它與第一個圓的方程聯(lián)立起來求出，y.它們都不超出F的擴域.無論是哪一種情形，作圖所產生的一個或兩個新點的坐標和坐標，其量的形式都是.

22、在特殊情況下， 本身也可以屬于F（例如，在有理數(shù)域中取k=4,那么仍在有理數(shù)域中） 圖 15-7這樣，我們證明了；（1）如果開始給定域中的F一些量，那么從這些量出發(fā)，只用直尺經有限次有理運算可生成域F的任何量，但不能超出域F.（2）用圓規(guī)和直尺能把可作圖的量擴充到F的擴域上.這種構造擴域的過程可以不斷進行，而得出擴域最后，我們得到結論：可作圖的量是而且僅僅是這一系列擴域中的數(shù).例 1 說明數(shù) 的構造過程. 解 設F表示有理數(shù)域.取得到域，取 ，得到，又知，取，得到 .因為，自然也有取，得到（）取 ，得到，進而 這樣，域包含我們所要求的數(shù).3.5 可作圖的書都是代數(shù)數(shù)如果起始數(shù)域是有理數(shù)域F，那

23、么所有可作圖的數(shù)就都代數(shù)數(shù)（圖15-7）.擴域，中的數(shù)是以有理數(shù)位系數(shù)的2次方程的根，擴域中的數(shù)是以有理數(shù)位系數(shù)的4次方程的根，,一般地，擴域中的數(shù)是以有理數(shù)位系數(shù)的次方程的根.代數(shù)數(shù)超越數(shù) 可代數(shù)數(shù)有理數(shù)作圖數(shù)例2 證明是4次方程的根.證 我們有展開，得到 圖 15-7或 最后，我們有這是一個整系數(shù)的4次方程§4幾個代數(shù)定理4.1根和系數(shù)的關系只要知道了二次方程的兩個根就可將它分解因式：由此不難得出著名的偉達公式： 利用代數(shù)基本定理我們可以得到更一般的公式.代數(shù)基本定理 設是一個元n次多項式，它的系數(shù)是實數(shù)和復數(shù)，那么方程至少有一實數(shù)和復數(shù)根 有了代數(shù)基本定理，我們就可以斷言，一元

24、n次多項式在復數(shù)域中有n個根，從而它可分解成一次因式的連成積，即這里為實數(shù)或復數(shù)，它們都是多項式（15-4）的根.事實上，設式方程的一個根，用（）去除，由于除式是一次的，所以余數(shù)就是一個常數(shù)R，我們有恒等式式中是一個次多項式.因為是的一個根，所以把代入上式，就得到于是這就是說，（ ）能整除此多項式.同樣的道理，我們有n次分解之后，我們得到（15-5）式. 把（15-5）式乘開，并比較系數(shù)就得到偉達公式： 當代數(shù)方程的次數(shù)時，就是我們熟知的二次方程的根與系數(shù)的關系，當時，對三次方程 我們有 這就是三次方程的韋達公式，下面要用到此結果. 定理 1 若整系數(shù)的一元n次方程 有有理根（既約分數(shù)），則是

25、的因數(shù)，是的因數(shù). 證 將有理根代入方程（15-9），得兩邊乘以，得移項，并提出公因數(shù)：記著與是互素的，所以是的因數(shù).同樣，用提出公因數(shù)的方法可證明，是的因數(shù).同樣，用提出公因數(shù)b的方法可證明，b是的因數(shù). 系 設整系數(shù)的一元n次方程的首項系數(shù)為1，即若它有理根，則此根一定是整數(shù)，且為常數(shù)項的因數(shù).4.2 3次方程的根 考慮有理系數(shù)的一元3次方程只需作變換，就可以把上面的方程化為缺項的3次方程（參考第九章4）： （15-10）這個方程的系數(shù)還是有理數(shù).為簡單計，我們考慮缺項的方程（15-10）.設方程（15-10）沒有有理數(shù)，但有一個可作的數(shù)為根，那么將屬于某一串擴域中最后的一個域.因為（15

26、-10）沒有有理根，所以k0.于是可以寫成下面的形式：其中.今指出，也是方程（15-10）的根.為了證明這一點，只需做些計算.事實上把代入方程（15-10）得展開、合并同類項，得到其中，且.這時，若 ，必有與假設矛盾.所以一定有，從而也有.另一方面，把代入（15-10），并做同樣的計算.在計算中，只需把換成，從而得到由此我們知道，是方程（15-10）.這個結論對方程（15-7）也是成立的.總之，我們證明了以下命題.命題4 若是（15-7）的根，則也是（15-7）的根.將上面結果應用到兩個特殊方程上面去.例1 證明方程 （15-11）沒有有理根.證 有定理1的系知，如果（15-11）有有理根，則

27、此根必是整數(shù)，而且是2的因數(shù).直接驗證就知道1，2不是方程（15-11）的根.這樣一來，方程（15-11）沒有有理根.例2 證明方程 （15-12）沒有有理根證 如果方程（15-12）有有理根，則是1的因子，b是8的因子.這樣一來，方程（15-12）的有理根不外是直接驗證知道它們都不是.因此，方程（15-12）,沒有有理根.定理2 如果一個有理系數(shù)的3次方程沒有有理根，則它沒有一個根是由有理數(shù)域F出發(fā)的可作圖的數(shù).證 我們用反證法來證明這個定理.假設是方程（15-7）的一個可作圖的根，則將屬于某一串擴域中的最后一個域，我們可以假定，k是使得擴域包含3次方程（15-7）的根的最小正整易次方程（1

28、5-7）的根的最小正整數(shù).易見，k0.因此，可以寫成下面的形式： 其中.前面已指出，也是方程（15-7）的根.有韋達定理，方程的第3個根是：但，這指出，這里消失了，所以是中的數(shù)，這和k是使得擴域包含3次方程（15-9）的根的最小正整數(shù)的假設相矛盾.因此假設是錯誤的，在這種域中不可能有3次方程（15-7）的根.推論 方程（15-11），（15-12）都沒有可作圖的數(shù)作為它們的根. § 5 幾何作圖三大問題的解 有了上面的準備，我們來解三大幾何難題.5.1 倍積問題設給定立方體的邊長是.若體積為這立方體的兩倍的立方體的邊長是（圖15-8），則y Q R O P 圖 15-8 圖 15-9所以本題就是求滿足下面方程的：取，則此方程化為更簡單的形式：如果立方倍積問題可解，則我們一定能用直尺和圓規(guī)構造出長度為 的線段.但是前面已證這是不可能的.這樣一