分形理論及其發(fā)展歷程

1、分形理論及其發(fā)展歷程李后強(qiáng) 汪富泉被譽(yù)為大自然的幾何學(xué)的分形( Fractal )理論， 是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)新分支， 但其本質(zhì)卻 是一種新的世界觀和方法論。 它與動(dòng)力系統(tǒng)的混沌理論交叉結(jié)合， 相輔相成。 它承認(rèn)世界的局部 可能在一定條件下。過程中，在某一方面(形態(tài)，結(jié)構(gòu)，信息，功能，時(shí)間，能量等)表現(xiàn)出與 整體的相似性，它承認(rèn)空間維數(shù)的變化既可以是離散的也可以是連續(xù)的，因而拓展了視野。分形幾何的概念是美籍法國數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特( B.B.Mandelbrot )1975 年首先提出的，但最早的工作可追朔到 1875 年，德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯( K.Weierestrass )構(gòu)造了處處連續(xù) 但

2、處處不可微的函數(shù)，集合論創(chuàng)始人康托( G.Cantor ，德國數(shù)學(xué)家)構(gòu)造了有許多奇異性質(zhì)的三 分康托集。 1890 年，意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾( G.Peano )構(gòu)造了填充空間的曲線。 1904 年，瑞典數(shù) 學(xué)家科赫( H.von Koch )設(shè)計(jì)出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線。 1915 年，波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓 斯基( W.Sierpinski )設(shè)計(jì)了象地毯和海綿一樣的幾何圖形。 這些都是為解決分析與拓樸學(xué)中的 問題而提出的反例，但它們正是分形幾何思想的源泉。 1910 年，德國數(shù)學(xué)家豪斯道夫 ( F.Hausdorff )開始了奇異集合性質(zhì)與量的研究，提出分?jǐn)?shù)維概念。 1928 年布利干

3、( G.Bouligand )將閔可夫斯基容度應(yīng)用于非整數(shù)維，由此能將螺線作很好的分類。1932 年龐特里亞金( L.S.Pontryagin )等引入盒維數(shù)。 1934 年，貝塞考維奇( A.S.Besicovitch )更深刻地 提示了豪斯道夫測度的性質(zhì)和奇異集的分?jǐn)?shù)維， 他在豪斯道夫測度及其幾何的研究領(lǐng)域中作出了 主要貢獻(xiàn)，從而產(chǎn)生了豪斯道夫 - 貝塞考維奇維數(shù)概念。以后，這一領(lǐng)域的研究工作沒有引起更 多人的注意，先驅(qū)們的工作只是作為分析與拓?fù)鋵W(xué)教科書中的反例而流傳開來。1960 年，曼德爾布羅特在研究棉價(jià)變化的長期性態(tài)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了價(jià)格在大小尺度間的對(duì)稱 性。同年在研究信號(hào)的傳輸誤差時(shí)，

4、發(fā)現(xiàn)誤差傳輸與無誤差傳輸在時(shí)間上按康托集排列。 在對(duì)尼 羅河水位和英國海岸線的數(shù)學(xué)分析中， 發(fā)現(xiàn)類似規(guī)律。 他總結(jié)自然界中很多現(xiàn)象從標(biāo)度變換角度 表現(xiàn)出的對(duì)稱性。他將這類集合稱作自相似集，其嚴(yán)格定義可由相似映射給出。 他認(rèn)為，歐氏測 度不能刻劃這類集的本質(zhì)， 轉(zhuǎn)向維數(shù)的研究， 發(fā)現(xiàn)維數(shù)是尺度變換下的不變量， 主張用維數(shù)來刻 劃這類集合。 1975 年，曼德爾布羅特用法文出版了分形幾何第一部著作分開：形狀、機(jī)遇和 維數(shù)。 1977 年該書再次用英文出版。它集中了 1975 年以前曼德爾布羅特關(guān)于分形幾何的主要 思想， 它將分形定義為豪斯道夫維數(shù)嚴(yán)格大于其拓樸維數(shù)的集合， 總結(jié)了根據(jù)自相似性計(jì)算實(shí)

5、驗(yàn) 維數(shù)的方法， 由于相似維數(shù)只對(duì)嚴(yán)格自相似這一小類集有意義，豪斯道夫維數(shù)雖然廣泛， 但在很多情形下難以用計(jì)算方法求得，因此分形幾何的應(yīng)用受到局限。1982 年，曼德爾布羅特的新著自然界的分形幾何出版，將分形定義為局部以某種方式與整體相似的集，重新討論盒維數(shù)， 它比豪斯道夫維數(shù)容易計(jì)算，但是稠密可列集盒維數(shù)與集所在空間維數(shù)相等。為避免這一缺陷， 1982 年特里科特( C.Tricot )引入填充維數(shù)， 1983 年格拉斯伯格( P.Grassberger )和普羅克西 婭( I.Procaccia )提出根據(jù)觀測記錄的時(shí)間數(shù)據(jù)列直接計(jì)算動(dòng)力系統(tǒng)吸引子維數(shù)的算法。 1985 年，曼德爾布羅特提

6、出并研究自然界中廣泛存在的自仿射集， 它包括自相似集并可通過仿射映射 嚴(yán)格定義。 1982 年德金( F.M.Dekking )研究遞歸集，這類分形集由迭代過程和嵌入方法生成， 范圍更廣泛，但維數(shù)研究非常困難。德金獲得維數(shù)上界。 1989 年，鐘紅柳等人解決了德金猜想， 確定了一大類遞歸集的維數(shù)。隨著分形理論的發(fā)展和維數(shù)計(jì)算方法的逐步提出與改進(jìn)， 1982 年 以后， 分形理論逐漸在很多領(lǐng)域得到應(yīng)用并越來越廣泛。 建立簡便盛行的維數(shù)計(jì)算方法， 以滿足 應(yīng)用發(fā)展的需要，還是一項(xiàng)艱巨的任務(wù)。自然界中的分形，與概率統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)過程關(guān)系密切。確定性的古典分形集加入隨機(jī)性，就會(huì)產(chǎn)生出隨機(jī)康托集、隨機(jī)科契曲

7、線等各種隨機(jī)分形。 1968 年，曼德爾布羅特研究布朗運(yùn)動(dòng) 這一隨機(jī)過程時(shí)，將其推廣到與分形有關(guān)的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)。 1974 年他又提出了分形滲流模型。 1988 年，柴葉斯( j.T.Chayes )給出了詳細(xì)的數(shù)學(xué)分析。 1984 年，扎樂( U.Zahle )通過隨機(jī)刪 除而得到十分有趣的分形構(gòu)造，隨機(jī)分形能更真實(shí)地描述和模擬自然現(xiàn)象。動(dòng)力系統(tǒng)中的分形集是近年分形幾何中最活躍和引人入勝的一個(gè)研究領(lǐng)域。動(dòng)力系統(tǒng)的 奇異吸引子通常都是分形集，它們產(chǎn)生于非線性函數(shù)的迭代和非線性微分方程中。 1963 年，氣 象學(xué)家洛倫茲 ( E.N.Lorenz )在研究流體的對(duì)流運(yùn)動(dòng)時(shí)， 發(fā)現(xiàn)了以他的名字命名

8、的第一個(gè)奇異吸 引子，它是一個(gè)典型的分形集。1976年，法國天文學(xué)家伊儂( M.Henon)考慮標(biāo)準(zhǔn)二次映射迭代系統(tǒng)時(shí)獲得伊儂吸引子。它具有某種自相似性和分形性質(zhì)。1986年勞威爾( H.A.Lauwerier )將斯梅爾的馬蹄映射變形成勞威爾映射， 其迭代下不穩(wěn)定流形的極限集成為典型的奇異吸引子，它與水平線的截面為康托集。 1985 年，格雷波基( C.Grebogi )等構(gòu)造了一個(gè)二維迭代函數(shù)系統(tǒng)， 其吸附界是維爾斯特拉斯函數(shù)，并得到盒維數(shù)。1985 年，邁克多納( S.M.MacDonald )和格雷波基等得到分形吸附界的三種類型：(！)局部不連通的分形集；(2)局部連通的分形擬圓周；(

9、 3 )既不局部連能又不是擬圓周。前兩者具有擬自相似性。動(dòng)力系統(tǒng)中另一類分形集來源于復(fù)平面上解析映射的迭代。朱利亞(G.Julia )和法圖( P.Fatou )于 1918-1919 年間開創(chuàng)這一研究。他們發(fā)現(xiàn)，解析映射的迭代把復(fù)平面劃分成兩部 分，一部分為法圖集，另一部分為朱利亞集( J 集)。他們?cè)谔幚磉@一問題時(shí)還沒有計(jì)算機(jī)，完 全依賴于他們自身固有的想象力，因此他們的智力成就受到局限。隨后50 年間，這方面的研究沒有得到什么進(jìn)展。隨著可用機(jī)算機(jī)來做實(shí)驗(yàn)，這一研究課題才又獲得生機(jī)。1980 年，曼德爾布羅特用計(jì)算機(jī)繪岀用他名字命名的曼德爾布羅特集(M集)的第一張圖來。1982道迪(A.D

10、ouady)構(gòu)造了含參二次復(fù)映射fc ，其朱利亞集J (fc )隨參數(shù)C的變化呈現(xiàn)各種各樣的分形圖象，著名的有道迪免子，圣馬科吸引子等。同年，茹厄勒( D.Ruelle )得到 J 集與映射系數(shù)的關(guān)系，解 新局面了解析映射擊集豪斯道夫維數(shù)的計(jì)算問題。茄勒特(L.Garnett )得到J (fc )集豪斯道夫維數(shù)的數(shù)值解法。1983年，韋當(dāng)(M.Widom)進(jìn)一步推廣了部分結(jié)果。法圖1926年就就開始整函數(shù)迭代的研究。 1981 年密休威茨( M.Misiuterwicz )證明指數(shù)映射的 J 集為復(fù)平面，解決 了法圖提岀的問題， 引起研究者極大興趣。 發(fā)現(xiàn)超越整函數(shù)的 J 集與有理映射 J 的

11、性質(zhì)差異， 1984 年德萬尼(R丄.Devanney )證明指數(shù)映射 E入的J ( E入)集是康托束或復(fù)平面而J (fc )是康托塵或連通集。復(fù)平面上使J (fc)成為連通集的點(diǎn) C組成M集即曼德爾布羅特集，尤更斯(H.Jurge ns )和培特根(H-O.Peitgen )認(rèn)為，M集的性質(zhì)過去一直是并且將來繼續(xù)是數(shù)學(xué)研究的一個(gè)巨大難 題。通過將數(shù)學(xué)理論與計(jì)算機(jī)圖形學(xué)實(shí)驗(yàn)加以融合，及道迪、扈巴德(H.Hubbard )等人在這方面進(jìn)行的基礎(chǔ)性研究工作，在解決這一難題方面已取得重大進(jìn)展，使人們加深了對(duì)M集的了解。道迪和扈巴德1982年證明M集是連通的和單連通的，人們猜測M集是局部連通的，目前每

12、一張計(jì)算機(jī)圖形都證實(shí)了這一猜測，但至今還沒有人能給予證明。M是否為弧連通，目前尚不清楚。M集邊界的維數(shù)也是值得研究的問題之一。M集除了將J集分成連通與非連通的兩類之外，還起著無窮個(gè)J集的圖解目錄表作用，即把M集C點(diǎn)周圍的圖形放大就是與C點(diǎn)有關(guān)的J集的組成部分。但這一發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)密性至今仍未確定，譚磊(Tan Lei ) 1985年證明了在每一個(gè)密休威茨點(diǎn)鄰近M集與相關(guān)的J集之間存在著目前包括尤金斯等在相似性。尤金斯等在 M集的靜電位研究中獲得與自然形貌相似的分形圖象。內(nèi)的很多研究人員都致力于借助計(jì)算機(jī)活動(dòng)錄象探索M集。其它一些分形集的研究工作正在取得進(jìn)展。1990年德萬尼通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)觀察到M集的

13、復(fù)雜圖形由許多不同周期的周期軌道的穩(wěn)定區(qū)域共同構(gòu)成。1991年黃永念運(yùn)用他提岀的代數(shù)分析法證明了這一事實(shí)，研究了M集及其廣義情況周期軌道整體解析特性。巴斯萊( B.M.Barnsley )和德門科( S.Demko)1985 年引入迭代函數(shù)系統(tǒng)，J 集及其其它很多分形集都是某些迭代函數(shù)的吸引集， 用其它方法產(chǎn)生的分形集也可用迭代函數(shù)系逼近。1988年，勞威爾通過數(shù)值研究發(fā)現(xiàn)畢達(dá)哥拉斯樹花是一迭代函數(shù)系的J集。1985年巴斯萊等研究含參數(shù)的函數(shù)系迭代動(dòng)力系統(tǒng)，得到M集D并D與M在連通性上的差異。在一線性映射系迭代下，可以產(chǎn)生著名的分形曲線雙生龍曲線。 1986 年水谷( M.Mitzutani

14、)等對(duì)其動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行了 研究。一般動(dòng)力系統(tǒng)中的分形集，其豪斯道夫維數(shù) dH難以通過理論方法或計(jì)算方法求得。對(duì)于有迭式構(gòu)造的分形集，貝德浮德( T.Bedford )等在 1986 年已給岀卓有成效的算法， 但對(duì)一般非 線性映射迭代動(dòng)力系統(tǒng)產(chǎn)生的分形集，這些結(jié)果都難以應(yīng)用，其豪斯道夫維數(shù)dH的結(jié)論與算法實(shí)際上沒有?？ㄆ仗m( j.L.Kaplan )和約克( J.A.York ) 1979 年引入李雅普洛夫維數(shù)dL 并猜測dL=dHo 1981年勒拉皮爾證明 dHK 41。楊(L.S.Young ) 1982年證明二維情況下dH=dL。艾茄瓦(A.K.Agarwal )等 1986 年給岀例子說明

15、高維情形卡普蘭 -約克猜測不成立。這一猜測力圖從動(dòng) 力學(xué)特征推斷幾何結(jié)構(gòu)， 其反問題是由吸引子維數(shù)推斷混沌力學(xué)， 這是值得研究的問題。 但目前 工作甚少且主要限于計(jì)算機(jī)研究。 此外， 含參動(dòng)力系統(tǒng)在混沌臨界態(tài)或突變處的分形集維數(shù)也有 待進(jìn)一步研究。多重分形 ( multifractals )是與動(dòng)力系統(tǒng)奇異吸引子有關(guān)的另一類重要分形集，其概念首先由曼德布羅特和倫依( A.Renyi )引入。法默( J.D.Farmer )等在 1983 年定義了多重分形廣 義維數(shù)。 1988 年博爾( T.Bohr )等人將拓?fù)潇匾攵嘀胤中蔚膭?dòng)力學(xué)描述與熱力學(xué)類比。1988年，阿內(nèi)多( A.Arneodo

16、)等人將子波變換用于多重分形研究。費(fèi)德( J.Feder )、特爾( T.Tel ) 等人進(jìn)行了多重分形子集及標(biāo)度指數(shù)的研究。 阿姆特里卡等研究了多重分形的逆問題， 提岀廣義 配分函數(shù)，給岀廣義超越維數(shù)，對(duì)過去的維數(shù)進(jìn)行了修正。李(J.Lee )等發(fā)現(xiàn)了多重分形熱力學(xué)形式上的相變。 1990年，伯克( C.Beck )得到廣義維數(shù)的上下界和極限并研究了多重分形的 均勻性量度。曼德布羅特研究了隨機(jī)多重分形及負(fù)分維。1991 年科維克( Z.Kov.acs )等引入雙變量迭代系統(tǒng)，最大特征值和吉布斯勢導(dǎo)岀維數(shù)、 熵、李雅普洛夫指數(shù)， 提供了對(duì)多重分形相變 分類的一般方案。 對(duì)于多重分形相變分類的一般方案。 對(duì)于多重分形目前雖已提岀不少處理方法， 但從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)上看，還不夠嚴(yán)格，部分問題的數(shù)學(xué)處理難度也較大。四分形理論真正發(fā)展起來才十余年，并且方興未艾，很多方面的理論還有待進(jìn)一步研究。 值得注意的是， 近年分形理論的應(yīng)用發(fā)展遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了理論的發(fā)展，并且給分形的數(shù)學(xué)理論提岀了更新更高的要求。各種分形維數(shù)計(jì)算方法和實(shí)驗(yàn)方法的建立、改進(jìn)和完善，使之理論簡便，可操作性強(qiáng)，是喁喁分形的科學(xué)家們普遍關(guān)注的問題。而在理論研究上，維數(shù)的理論計(jì)算、估計(jì)、分 形重構(gòu)(即求一動(dòng)力系統(tǒng)