勾股定理的十種證法

1、勾股定理的十種證法證法1a、b，斜邊長(zhǎng)為c.把它們 C作AC的延長(zhǎng)線交DF于作四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使D、E、F在一條直線上。過點(diǎn)點(diǎn)P./ D、E、F 在一條直線上，且 Rt GEF 也 Rt EBD, / EGF = / BED ,/ / EGF + / GEF = 90 / BED + / GEF = 90 / BEG =180 90 = 90 又 AB = BE = EG = GA = c , ABEG是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形。 / ABC + / CBE = 90/ Rt ABC 也 Rt EBD, / ABC = / EBD. / E

2、BD + / CBE = 90即 / CBD= 90又 / BDE = 90，/ BCP = 90 ,BC = BD = a. BDPC是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形。 同理，HPFG是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形.設(shè)多邊形GHCBE的面積為S,則A2+B2=C2證法2a、b(ba),斜邊長(zhǎng)為c.再 E、A、C三點(diǎn)在一條直線上.作兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形。把它們拼成如圖所示的多邊形，使過點(diǎn)Q作QP / BC ,交AC于點(diǎn)P.過點(diǎn)B作BM丄PQ,垂足為M ;再過點(diǎn)F作FN丄PQ,垂足為N./ / BCA = 90 , QP / BC , / MPC = 90 ,/

3、BM 丄 PQ,gt - aC. Ut It / BMP = 90 , BCPM 是一個(gè)矩形，即/ MBC = 90 。: / QBM +/ MBA =/ QBA = 90,/ ABC + / MBA = / MBC = 90 , / QBM =/ ABC ,又 / BMP = 90 ,Z BCA = 90 , BQ = BA = c , Rt BMQ 也 Rt BCA.同理可證 Rt QNF 也 Rt AEF即 A2+B2=C2證法 3作兩個(gè)全等的直角三角形， 設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（ ba） ，斜邊長(zhǎng)為 c. 再作一個(gè)邊長(zhǎng)為 c 的正方形。把它們拼成如圖所示的多邊形.分別以 CF

4、， AE 為邊長(zhǎng)做正方形 FCJI 和 AEIG ，/ EF=DF-DE=b-a , EI=b , FI=a， G,I,J 在同一直線上，-CJ=CF=a, CB=CD=c ,/ CJB = / CFD = 90 , Rt CJB 也 Rt CFD , 同理，Rt ABG 也 Rt ADE , Rt CJB 也 Rt CFD 也 Rt ABG 也 Rt ADE / ABG = / BCJ, / BCJ + / CBJ= 90 , / ABG + / CBJ= 90 ,/ ABC= 90 , G,B,I,J 在同一直線上A2+B2=C2 。證法 4作三個(gè)邊長(zhǎng)分別為 a、b、c 的三角形 把它們拼

5、成如圖所示形狀 使H、C、B 三點(diǎn)在一條直線上 連結(jié)BF、CD.過 C 作 CL 丄 DE, 交 AB 于點(diǎn) M 交 DE 于點(diǎn) L. / AF = AC , AB = AD , / FAB = / GAD, FAB 也 GAD, FAB的面積等于， GAD的面積等于矩形 ADLM 的面積的一半 矩形 ADLM 的面積 =.同理可證 矩形 MLEB 的面積 =.正方形ADEB的面積= 矩形 ADLM 的面積 + 矩形 MLEB 的面積 即 A2+B2=C2on ionrsdtietur;ti證法5 (歐幾里得的證法)幾何原本中的證明在歐幾里得的幾何原本一書中提出勾股定理由以下證明后可成立。設(shè)A

6、BC為一直角三角形，其中 A為直角。從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊上的正方形。此線 把對(duì)邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等。在正式的證明中，我們需要四個(gè)輔助定理如下：如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。(SAS定理)三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。任意一個(gè)正方形的面積等于其 二邊長(zhǎng)的乘積。任意一個(gè)四方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積(據(jù)輔助定理3)。證明的概念為：把上方的兩個(gè)正方形轉(zhuǎn)換成兩個(gè)同等面積的平行四邊形，再旋轉(zhuǎn)并轉(zhuǎn)換成下方的兩個(gè)同等面積的長(zhǎng)方形。其證明如下：設(shè)厶ABC為一直角三角形，其直角為 CAB。其邊為BC、AB、和C

7、A，依序繪成四方 形CBDE、BAGF和ACIH。畫出過點(diǎn) A之BD、CE的平行線。此線將分別與 BC和DE直 角相交于K、L。分別連接CF、AD，形成兩個(gè)三角形 BCF、BDA。/ CAB和/ BAG都是 直角，因此 C、A和G都是線性對(duì)應(yīng)的，同理可證B、A和H。/ CBD和/ FBA皆為直角，所以/ ABD等于/ FBC。因?yàn)锳B和BD分別等于 FB和BC,所以 ABD必須相 等于 FBC。因?yàn)?A與K和L是線性對(duì)應(yīng)的，所以四方形BDLK 必須二倍面積于厶ABD。因?yàn)镃、A和G有共同線性，所以正方形 BAGF必須二倍面積于厶FBC。因此四邊 形BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB

8、² ;。同理可證，四邊形 CKLE必須有相同 的面積 ACIH = AC2 ;。把這兩個(gè)結(jié)果相加， AB2;+ AC2; = BD X BK + KLX KC。由于 BD=KL , BDXBK + KL XKC = BD(BK + KC) = BD XC 由于 CBDE 是個(gè)正方形，因此 AB2;+ AC2;= BC2 ;。此證明是于歐幾里得幾何原本一書第1.47節(jié)所提出的證法6 (歐幾里德(Euclid )射影定理證法)如圖1, Rt ABC中，/ ABC=90 , BD是斜邊 AC上的高通過證明三角形相似則有射影定理如下：(1) ( BD) 2;=AD - DC ,(2) ( AB

9、 ) 2;=ADAC ,(3) ( BC) 2;=CD-AC。由公式(2) + ( 3)得：(AB ) 2;+ ( BC) 2;=AD - AC+CD AC = (AD+CD ) AC= (AC ) 2；,圖1即(AB ) 2;+ ( BC) 2;= ( AC) 2，這就是勾股定理的結(jié)論。.4p*圖1證法七(趙爽弦圖)在這幅 勾股圓方圖”中，以弦為邊長(zhǎng)得到正方形 ABDE是由4個(gè)相等的直角三角形再 加上中間的那個(gè)小正方形組成的。 每個(gè)直角三角形的面積為 ab/2;中間懂得小正方形邊長(zhǎng)為 b-a,則面積為（b-a）2。于是便可得如下的式子：4X（ ab/2） + （b-a） 2 =c2 ;化簡(jiǎn)后

10、便可得：a2 +b2 =c2;亦即：c=（a2 +b2 ）1/2勾股定理的別名 勾股定理，是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱為 幾何學(xué)的基石”,而且在高等數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中也有著極為廣泛的應(yīng)用。正因?yàn)檫@樣，世界上幾個(gè)文明古國(guó)都已發(fā)現(xiàn)并且進(jìn)行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。中國(guó)是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國(guó)家之一。中國(guó)古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據(jù)記載，商高（約公元前1120年）答周公曰 故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長(zhǎng)二十有五， 是謂積

11、矩。”因此，勾股定理在中國(guó)又稱商高定理”。在公元前7至6世紀(jì)一中國(guó)學(xué)者陳子，曾經(jīng)給出過任意直角三角形的三邊關(guān)系即以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。在法國(guó)和比利時(shí)，勾股定理又叫驢橋定理”。還有的國(guó)家稱勾股定理為平方定理”。在陳子后一二百年，希臘的著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理，因此世界上許多國(guó)家都稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯”定理。為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派殺了一百 頭牛酬謝供奉神靈，因此這個(gè)定理又有人叫做百牛定理”.前任美國(guó)第二十屆總統(tǒng)伽菲爾德證明了勾股定理（1876年4月1日）。1周髀算經(jīng)，文物出版社，1980年3月，據(jù)宋代嘉定六年本影印，1-5頁。2. 陳良佐：

12、周髀算經(jīng)勾股定理的證明與出入相補(bǔ)原理的關(guān)系?？稘h學(xué)研究，1989年第7卷第1期，255-281頁。3. 李國(guó)偉： 論周髀算經(jīng)商高曰數(shù)之法出于圓方”章?？兜诙每茖W(xué)史研討會(huì)匯刊，臺(tái)灣，1991年7月，227-234頁。4. 李繼閔：商高定理辨證。刊於自然科學(xué)史研究，1993年第12卷第1期，29-41頁。5. 曲安京： 商高、趙爽與劉徽關(guān)於勾股定理的證明?？稊?shù)學(xué)傳播20卷，臺(tái)灣，1996年9月第3期，20-27頁證法8 （達(dá)芬奇的證法）達(dá)芬奇的證法三張紙片其實(shí)是同一張紙，把它撕開重新拼湊之后，中間那個(gè) 洞”的面積前后仍然是一樣的，但是面積的表達(dá)式卻不再相同，讓這兩個(gè)形式不同的表達(dá)式相等，就

13、能得出一個(gè)新的關(guān)系式一一勾股定理，所有勾股定理的證明方法都有這么個(gè)共同點(diǎn)。觀察紙片一，因?yàn)橐C的事勾股定理，那么容易知道EB丄CF,又因?yàn)榧埰膬蛇吺菍?duì)稱的，所以能夠知道四邊形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A和角D都是直角，原因嘛，可以看紙片一，連結(jié)AD ,因?yàn)閷?duì)稱的緣故， 所以/ BAD= / FAD= / CDA= / EDA=45 ,那么很明顯， 圖三中角A和角D都是直角。證明：第一張中多邊形 ABCDEF的面積S仁S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S BCO=OF2+OE2+OF OE第三張中多邊形 ABCDEF的面積 S2=S 正方形 BCEF+2 CDE=EF

14、2+CD DE因?yàn)镾仁S2所以 OF2+OE2+OF OE=EF2+CD DE又因?yàn)?CD=CD=OE,DE=AF=OF所以 OF2+OE2=EF2因?yàn)?EF=EF所以 OF2+OE2=EF2勾股定理得證。證法9從這張圖可以得到一個(gè)矩形和三個(gè)三角形，推導(dǎo)公式如下：b （ a + b ）= 1/2c2 + ab + 1/2（b + a）（b - a）矩形面積=（中間三角形）+ （下方）2個(gè)直角三角形+ （上方）1個(gè)直 角三角形。（簡(jiǎn)化）2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab2b2 - b2 + a2 = c2;a2 + b2 = c2;注：根據(jù)加菲爾德圖進(jìn)一步得到的圖形。證法10在Rt三角