工程力學(xué)64 附錄 平面圖形的幾何性質(zhì)

1、 授課教師：授課教師： 韓志型韓志型 土建學(xué)院力學(xué)教研室土建學(xué)院力學(xué)教研室附錄附錄 平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)二、慣性矩、極慣性矩、慣性積二、慣性矩、極慣性矩、慣性積 掌握掌握掌握掌握平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)本章重點(diǎn)本章重點(diǎn)重要概念重要概念本章難點(diǎn)本章難點(diǎn) NFA pTI zIMy 22( )zd wM xwdxEI pTlGI NFllE A 選取合理的截面形狀和尺寸選取合理的截面形狀和尺寸充分地發(fā)揮材料作用充分地發(fā)揮材料作用安全與經(jīng)濟(jì)安全與經(jīng)濟(jì)應(yīng)力應(yīng)力變形變形幾幾何何量量橫截面面積橫截面面積A極慣性矩極慣性矩IP慣性矩慣性矩Iz影響影響承載能力承載能力AySzddAz

2、SyddddzzAASSy AzydAyz 平面圖形的靜矩是對(duì)一定的坐標(biāo)而言的，同一平面圖形平面圖形的靜矩是對(duì)一定的坐標(biāo)而言的，同一平面圖形對(duì)不同的坐標(biāo)軸，其靜矩顯然不同。靜矩的數(shù)值可能為正，對(duì)不同的坐標(biāo)軸，其靜矩顯然不同。靜矩的數(shù)值可能為正，可能為負(fù)，也可能等于零。它常用單位是可能為負(fù)，也可能等于零。它常用單位是mm3 3或或mmmm3 3。 ddyyAASSz Al 定義：形心即是圖形幾何形狀的中心。定義：形心即是圖形幾何形狀的中心。 對(duì)于等厚均質(zhì)的薄板，重心的位置即是形心的位置。對(duì)于等厚均質(zhì)的薄板，重心的位置即是形心的位置。 形心的位置只與平面圖形的幾何形狀、尺寸有關(guān)。形心的位置只與平面

3、圖形的幾何形狀、尺寸有關(guān)。(1)圖形具有一根對(duì)稱軸，則形心在此對(duì)稱軸上；圖形具有一根對(duì)稱軸，則形心在此對(duì)稱軸上；(2)圖形有兩根對(duì)稱軸，則形心在兩對(duì)稱軸的交點(diǎn)；圖形有兩根對(duì)稱軸，則形心在兩對(duì)稱軸的交點(diǎn)；(3)三角形平面圖形，其形心在三角形的三根中線的交點(diǎn)上，三角形平面圖形，其形心在三角形的三根中線的交點(diǎn)上，距各邊相應(yīng)高度的距各邊相應(yīng)高度的13處。處。dAzyyziiCiiCAzzAAyyA CzCyc當(dāng)微面積當(dāng)微面積A A00時(shí)，則用時(shí)，則用積分法求形心坐標(biāo)：積分法求形心坐標(biāo)：ACACzdAzAydAyA yCzCSzASyA zCyCSA ySA z 利用合力矩定理：利用合力矩定理：zCyC

4、SA ySA z 0000zCyCSySz zy 由若干個(gè)簡(jiǎn)單圖形（矩形、三角形、圓等）組成的平面由若干個(gè)簡(jiǎn)單圖形（矩形、三角形、圓等）組成的平面圖形即組合圖形。圖形即組合圖形。 組合圖形對(duì)組合圖形對(duì)z z 軸（或軸（或 y y 軸）的靜矩等于各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸）的靜矩等于各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸靜矩的代數(shù)和，即軸靜矩的代數(shù)和，即 nzCCnCniCiinyCCnCniCiiSA yA yA yA ySA zA zA zA z 1122111221.nzCCnCniCiinyCCnCniCiiSA yA yA yA ySA zA zA zA z 1122111221.111111nniCiiCiii

5、CniinniCiiCiiiCniiA yA yyAAA zA zzAA 組合圖形形心坐組合圖形形心坐標(biāo)的計(jì)算公式標(biāo)的計(jì)算公式zCyCSA ySA z yC1C2 解解 將平面圖形看作由矩形將平面圖形看作由矩形和和組成組成110mm5mm2Cz 1120mm60mm2Cy 矩形矩形 27010mm45mm2Cz 210mm5mm2Cy A1=10120mm2=1200mm2 A2=7010mm2=700mm2求得該平面圖形的形心坐標(biāo)為求得該平面圖形的形心坐標(biāo)為11iniCiCniiA zzA 1200 60700 5mm39.74mm1200700 yC1C2 A1=1200mm2 A2=70

6、0mm2160mmCy 15mmCz 245mmCz 25mmCy 1200 5700 45mm19.74mm1200700 11iniCiCniiA yyA C（19.74，39.74）矩形矩形: Cz 140mmCy 160mm矩形矩形: 27010mm45mm2Cz A1=80120=9600mm2 A2= 70110mm2= 7700mm2801201010C1211010mm65mm2Cy ini CiCniiAzzA 119600 40 7700 45mm19.74mm9600 7700iniCiCniiA yyA 119600 60 7700 65mm39.74mm9600 77

7、00二、慣性矩、極慣性矩、慣性積二、慣性矩、極慣性矩、慣性積2dzAIyA dAzyyz2dPzyAIAII 慣性矩是對(duì)坐標(biāo)軸來說的，同一圖形對(duì)不同的慣性矩是對(duì)坐標(biāo)軸來說的，同一圖形對(duì)不同的坐標(biāo)軸其慣性矩不同。坐標(biāo)軸其慣性矩不同。慣性矩的數(shù)值恒為正。慣性矩的數(shù)值恒為正。 極慣性矩是對(duì)點(diǎn)來說的，同一圖形對(duì)不同點(diǎn)的極慣性矩是對(duì)點(diǎn)來說的，同一圖形對(duì)不同點(diǎn)的極慣性矩也各不相同。極慣性矩也各不相同。 常用單位為常用單位為 m m4 4 或或 mmmm4 4 。 2dyAIzA dAzyyzdzyAIzyA dzyAIzyA 0zyAIzydA dAzzyydAz 222,zzyyPPIi AIi AIi

8、 A ,yzPzyPIIIiiiAAA1212.zzzznziyyyynyiIIIIIIIIII 解解 (1) (1) 計(jì)算矩形截面對(duì)計(jì)算矩形截面對(duì)z z 軸和軸和y y軸的慣性矩軸的慣性矩 取平行于取平行于 z z 軸的微面積軸的微面積d dA A， d dA A到到z z軸的距離為軸的距離為 y y，則，則 dA=b dy截面對(duì)截面對(duì)z z 軸的慣性矩為軸的慣性矩為2zAIy dA 截面對(duì)截面對(duì) y y 軸的慣性矩為軸的慣性矩為2yAIz dA 322212hhbhybdy 322212bbhbzhdz z dzz31212zzIbhhiAbh 31212yyIhbbiAbh 0zyAIy

9、zdA z解解 取平行于取平行于 z 軸的微面積軸的微面積dA， dA到到z軸的距離為軸的距離為 y 截面對(duì)截面對(duì)z z 軸的慣性矩為軸的慣性矩為2222dAzdyRy dy根據(jù)對(duì)稱性根據(jù)對(duì)稱性: :2zAIy dA 442222464RRRDyRy dy 464zyDII 424644zzIDDiAD 4zyDii截面對(duì)截面對(duì)C C 的極慣性矩為的極慣性矩為4222()232pzAADIdAyz dAI 432pDI 4444(1)646464zyDdDII dD zDdy44(1)32pDI 式中：式中： a，b圖形形圖形形心在心在yoz坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，或形心軸與其平行軸的

10、或形心軸與其平行軸的距離。距離。 A圖形面積。圖形面積。Iyc 、Izc圖形對(duì)形心圖形對(duì)形心軸的慣性矩。軸的慣性矩。 Iyczc圖形對(duì)形心圖形對(duì)形心軸的慣性積。軸的慣性積。22c cyyczzcyzy zIIa AIIb AIIabA 例例4 計(jì)算如圖所示的矩形截面對(duì)計(jì)算如圖所示的矩形截面對(duì)z1軸和軸和y1軸的慣性矩。軸的慣性矩。z1zCy12zzIIa A 解解 z、y軸是矩形截面的形軸是矩形截面的形心軸，它們分別與心軸，它們分別與z1軸和軸和y1軸平軸平行，則由平行移軸公式得，矩行，則由平行移軸公式得，矩形截面對(duì)形截面對(duì)z1軸和軸和y1軸的慣性矩分軸的慣性矩分別為別為 12yyIIb A

11、y12331223bhhbhbh 2331223hbbhbbh 1212.zzzznizyyyyniyIIIIIIIIII 計(jì)算組合圖形對(duì)其形心軸的慣性矩步驟：計(jì)算組合圖形對(duì)其形心軸的慣性矩步驟： 1. 1. 確定組合圖形的形心位置（確定組合圖形的形心位置（z zc c,y,yc c) )； 2. 2. 求得各簡(jiǎn)單圖形對(duì)自身形心軸的慣性矩；求得各簡(jiǎn)單圖形對(duì)自身形心軸的慣性矩； 3. 3. 利用平行移軸公式，計(jì)算各簡(jiǎn)單圖形對(duì)組合圖形的形利用平行移軸公式，計(jì)算各簡(jiǎn)單圖形對(duì)組合圖形的形心軸的慣性矩心軸的慣性矩I Izci zci ，I Iyci yci ； 4. 4. 將各圖形的將各圖形的I Izc

12、i zci ，I Iyciyci分別進(jìn)行求和就可計(jì)算出組合圖分別進(jìn)行求和就可計(jì)算出組合圖形對(duì)其形心軸的慣性矩。形對(duì)其形心軸的慣性矩。 例例5 5 試計(jì)算圖示試計(jì)算圖示T形截面對(duì)形心軸的慣性矩。形截面對(duì)形心軸的慣性矩。解解 （1 1） 求截面形心坐標(biāo)求截面形心坐標(biāo)( zc ,yc )矩形矩形 矩形矩形 11,/2cABhzHh 22,/2cAbHzH 整個(gè)圖形的形心坐標(biāo)：整個(gè)圖形的形心坐標(biāo)：11122121iniciccCniiAzAzA zzAAA HhB byOA1A2zy2C2CyczCy1C1(/2)/2=Bh HhbHHBh bH 取取z z坐標(biāo)為對(duì)稱軸，建立坐標(biāo)系。坐標(biāo)為對(duì)稱軸，建立

13、坐標(biāo)系。 故，故，y yc c=0=0（2 2）zczczcIII 12HhB bCyOA1A2zycy1C1y2C2zCzchBI 3112zcHbI 3212zchBHbI 2331212由：由：HhB bCyOA1A2zyc（3 3）1/2caHzh y1C12/2cazH y2C212ycycycIII zCa1a22111132(/2)12ycycIIA aBhBh Hzh 2222232(/2)12ycycIIA abHbHzH 3322(/2)(/2)1212ycccBhbHIBh HzhbHzH zyzy1.1. 靜矩、慣性矩依賴坐標(biāo)系數(shù)值不同，但是不同坐標(biāo)系靜矩、慣性矩依賴坐標(biāo)系數(shù)值不同，但是不同坐標(biāo)系中的數(shù)值有一定的關(guān)系。中的數(shù)值有一定的關(guān)系。2. I2. Iz z、I Iy y 恒為正，恒為正，S Sz z、S Sy y、I Iyzyz可正可負(fù)，與坐標(biāo)軸位置有可正可負(fù)，與坐標(biāo)軸位置有關(guān)。關(guān)。3. 3. 對(duì)形心軸靜矩為對(duì)形心軸靜矩為0 0，