必修一值域求法

1、待定系數(shù)法：在已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時，可用待定系數(shù)法。例1設(shè)f(x)是一次函數(shù)，且ff(x) 4x 3,求f(x)ff(x) af(x) ba(ax b) ba2x ab b解：設(shè) f (x) ax b (a °),則配湊法：已知復(fù)合函數(shù)fg(x) 的表達式，求f(x)的解析式,fg(x)的表達式容易配成g(x)的運算形式時,常用配湊法。但要注意所求函數(shù)f(x)的定義域不是原復(fù)合函數(shù)的定義域，而是g(x) 的值域。已知f(x1) x(x0)求f (x)的解析式解:1 f(x -)x(x1)2 2 x三、換元法：已知復(fù)合函數(shù)注意所換元的定義域的變化2,2f(x) x2 2 (x 2)f

2、g(x)的表達式時，還可以用換元法求f(x)的解析式。與配湊法一樣，要2Vx，求 f (x 1)1 x (t 1)2f(Vx四、代入法：求已知函數(shù)關(guān)于某點或者某條直線的對稱函數(shù)時,一般用代入法。例4已知：函數(shù)y xx與yg(x)的圖象關(guān)于點(2,3)對稱，求g(x)的解析式解：設(shè)M(x, y)為y g(x)上任一點,(x , y )為M (x，y)關(guān)于點(2,3)的對稱點6 y代入得:f (x)滿足 f (x)1 2f x1f(x) 2f xx 顯然占M八、(x,y )在 yg(x)上 y4)24)整理得y7x 6x,求 f(x)X °，將X換成1f (_) 得 x2f(x)解聯(lián)立的

3、方程組，得f(x)x 23 3xf (x)設(shè)f (x)為偶函數(shù)，g (x)為奇函數(shù)，又g(x)、x 1試求f(x)和g(x)的解析式f (x)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù)， f( x)f (x) g (x)f (x), g( x) g(x)又 ' '9' 'x)即f(x)g(x)解聯(lián)立的方程組，得.1f(x)x 1,g(x)六、賦值法：當(dāng)題中所給變量較多，且含有“任意”等條件時，往往可以對具有“任意性”的變量進行賦值，使問題具體化、簡單化，從而求得解析式。例7 已知:f1,對于任意實數(shù)x、y,等式 f(x y) f(x) y(2x y 1)恒成立，求 f(x)解：

4、對于任意實數(shù)x、v,等式 f(x y)f(x) y(2x y 1)恒成立，不妨令x 0,則有f( y) f(0)y( y 1) 1 y(y 1)y 1再令 y x得函數(shù)解析式為:f (x) x2 x七、遞推法：若題中所給條件含有某種遞進關(guān)系, 迭代等運算求得函數(shù)解析式。則可以遞推得出系列關(guān)系式，然后通過迭加、迭乘或者例8設(shè)f(x)是定義在N上的函數(shù)，滿足f(1)1,對任意的自然數(shù)a,b都有f(a)f (b)f(a b) ab,求 f(x)f(a)f (b) f(a b)ab, a,b N不妨令a x,b 1 ,得:f(x)f(1)f(x 1) x又 f (1)1,故 f(x1) f(x)分別令

5、式中的x1,2l|nf (2)f (3) llllll得：f(n)f (1)f(2)f (nf(n) f(1) 23 n,f(n) 12,3,1)n，將上述各式相加得:n(n 1) n 2UM t1 一 x, x N22.4.求下列函數(shù)的解析式(1)已知 f(x+1)=x2-3x+2,求 f(x). (2) 已知 f(x)+2f( x )=3x,求 f(x)的解析式8.已知 f (x)是一次函數(shù)，且2f(x)+f(-x)=3x+1函數(shù)值域求法十一種1.直接觀察法對x£ R恒成立，則f (x)=對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。例1.一，y 求函數(shù)x的值域。解：: x顯然函

6、數(shù)的值域是：(,0) (°,)例2.求函數(shù)y 3 Jx的值域。解：.vx、- X0,3 x3故函數(shù)的值域是：,32.配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。2例3.求函數(shù)y x2X 5,x 1,2的值域。解：將函數(shù)配方得：y(x 1)2 4 . x1,2由二次函數(shù)的性質(zhì)可知:x=1 時，ymin1時，y max 8故函數(shù)的值域是：4 ,83.判別式法例4.求函數(shù)2 x-2-x的值域。解:原函數(shù)化為關(guān)于x的一元二次方程(y 1)x2 (y1)x(1)當(dāng)V 1時,2(1)4(y 1)(y1) 0解得:(2)當(dāng) y=1 時，x0,故函數(shù)的值域為例5.求函數(shù)y.x(2 x)的值域。解：

7、兩邊平方整理得:2x2 2(y21)x y0 ( 1) x4(y 1)2 8y0解得：11 4,但此時的函數(shù)的定義域由x(2 x) 0,得0 x-Ov 2由 0 ,僅保證關(guān)于x的方程：2x 2（y0 , 2上，即不能確保方程（1）有實根，由21）x y 0在實數(shù)集R有實根，而不能確保其實根在區(qū)間0求出的范圍可能比 y的實際范圍大，故不能確定此函數(shù)可以采取如下方法進一步確定原函數(shù)的值域Ox 2 y x x(2 x) o ymin0，y 1五代入方程（1）解得:x12，2 24、20,2即當(dāng)x122 2 24 ,2時，原函數(shù)的值域為:0,1 、 2注：由判別式法來判斷函數(shù)的值域時，若原函數(shù)的定義域

8、不是實數(shù)集時，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴大的 部分剔除。4.反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。3x 4例6.求函數(shù)5x6值域。35故所求函數(shù)的值域4 為:5.函數(shù)有界性法 直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，反客為主來確定函數(shù)的值域。y46yyT二解：由原函數(shù)式可得:例7.y求函數(shù)xexe1的值域。解：由原函數(shù)式可得:x1.1 ey10.-. y10解得： 1 y 1故所求函數(shù)的值域為 （1,1)例8.一，y 求函數(shù)cosxsin x 3的值域。sinx(x解：由原函數(shù)式可得:y sin x cosx3y ,可化為: y1 sin x(

9、x) 3y即)3y ,y2 1.x R.-. sinx(x1)11即3y 1y2 1解得:22二 y44故函數(shù)的值域為5y 3則其反函數(shù)為：5x3 ,其定義域為:6 .函數(shù)單調(diào)性法x 5例9.求函數(shù)y 210g 3 Vx 1 (2 x 10)的值域。x 5解：令 V12 ，y210g3dx 1則y1,y2在2 , 10上都是增函數(shù)所以V y1y2在2, 10上是增函數(shù)當(dāng)x=2時,y minlog 3.212 58 當(dāng) x=10 時，ymax 21og3 . 933故所求函數(shù)的值域為:18,33例10.求函數(shù)y以 1 VX 1的值域。2y 解：原函數(shù)可化為：x 1 x 1令y1x 1，y2增函數(shù)

10、所以y y1, y2在1，上也為無上界的增函數(shù)ox 1,顯然y1，y2在1，上為無上界的所以當(dāng)x=1時，y y1y2有最小值、歷，原函數(shù)有最大值2顯然y °,故原函數(shù)的值域為(0, 27 .換元法通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元 法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。例11.求函數(shù)y x& 1的值域。解：令X1 t,(t 0)則 x t2 121 2y t t 1 (t 2)又t 0 ,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)t 0時，ymin 1當(dāng)t 0時，y故函數(shù)的值域為1，)例12.求函數(shù)y x 2V1

11、 (X 1V的值域。22解：因1 (X 1)0即(* 1)1故可令x 1 COSy cos 1 , 1 cos2sin cos 12sin( ) 104,0故所求函數(shù)的值域為0，1'2例14.求函數(shù)yx3 x 2x21的值域。解：原函數(shù)可變形為:2x1 x2 x2 yx可令xtg，則有2x2 xsin 2 ,311 x22 cos1y -sin 2 cos221-sin 448時,y max8時,y min而此時tan有意義。故所求函數(shù)的值域為12 2的值域。例 14.求函數(shù) y (sinx 1)(cosx 1)解：y (sin x 1)(cosx 1) sin x cosxsin x

12、cosx 1 令 sin xcosxt，則1)1 z.2sinx cosx (t 2y 2(t21)2(t1)2sin xcosx、2 sin(xx/4)且,12 2可得:t *2 時,y maxt 32時,2故所求函數(shù)的值域為15.求函數(shù)y xx 一 5 cos ,0,y5 cos.10sin(一) 44故所求函數(shù)的值域為:45,4/ 4 時，y max4師當(dāng)時，y mind08.數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數(shù)形結(jié) 合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目例16.求函數(shù)y U(x 2) V(x 8)的值域。解：原函數(shù)可化簡得

13、:y |x 2| |x 8|上式可以看成數(shù)軸上點P (x)到定點A(2) , B( 8)間的距離之和。由上圖可知，當(dāng)點P在線段AB上時，y |x 2| |x 811AB | 10當(dāng)點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，y |x 2| |x 811AB | 10故所求函數(shù)的值域為：10， 例億求函數(shù)y xX 6x 13 xX4x 5的值域。解：原函數(shù)可變形為：上式可看成x軸上的點P(x,0)到兩定點A(3,2),B( 2, 1) 的距離之和，22由圖可知當(dāng)點P為線段與x軸的交點時，ymin |AB | V(3 2)(2 1)J43 ,故所求函數(shù)的值域為 43,例18.求函數(shù)y xX 6x 13

14、 xX4x 5的值域。22-22解：將函數(shù)變形為：y (x 3)(0 2). (x 2)(0 1)上式可看成定點 A (3, 2)到點P (x, 0)的距離與定點 B( 2,1)到點P(x,0) 的距離之差。即：y 1Api lBp|由圖可知：(1)當(dāng)點P在x軸上且不是直線 AB與x軸的交點時，如點 P',則構(gòu)成 ABP',根據(jù)三角形兩 邊之差小于第三邊，有11Ap'| |BP'111AB .(3 2)2 (2 1)2、26即： 26 y 26當(dāng)點P恰好為直線AB與x軸的交點時，有11Api |BP| 1ABi、領(lǐng)綜上所述，可知函數(shù)的值域為：(26,、-26注：

15、由例17, 18可知，求兩距離之和時，要將函數(shù)式變形，使A、B兩點在x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時，則要使 A, B兩點在x軸的同側(cè)。如：例17的A, B兩點坐標(biāo)分別為：(3, 2), ( 2, 1),在x軸的同側(cè)；例18的A, B兩點坐標(biāo)分別為(3,2) , (2, 1) ,在x軸的同側(cè)。9.不等式法3利用基本不等式a b 2vab,a b c 3Yabc(a,b,c R)，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式 時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。例20.求函數(shù)y(sin xsin x2/) (cosx)2 4cosx的值域。解：原函數(shù)變形為:

16、當(dāng)且僅當(dāng)x ktanx cotx 即當(dāng)4時(kz),等號成立故原函數(shù)的值域為:5,)例20.求函數(shù)y 2sinxsin2x的值域。解：y4 sinxsinx 8sx4sin2xcosx當(dāng)且僅當(dāng)sin2sin2sin x,即當(dāng)3時，等號成立。6427可得:8.399故原函數(shù)的值域為:10.映射法原理:axy 一因為 cxb /(c d0)-4在TE義域上x與y是一一對應(yīng)的。故兩個變量中，若知道一個變量范圍，就可以求另一個變量范圍1 3x例21.求函數(shù)2x1的值域。|x解：.定義域為1 3x x2xU x2y 3故1 y2y 31 y2y 3y 3或y解得 22故函數(shù)的值域為11.多種方法綜合運用y例22.求函數(shù)x 2x 3的值域。解：令t x 2(t0),則t2t t2(1)當(dāng)t 0時,(2)當(dāng) t=0 時，y=0。綜上所述，函數(shù)的值域為:即x 1時取等號，所以y例23.求函數(shù)注：先換元，后用不等