上海浦東高中數(shù)學(xué)暑假班 指數(shù)方程與對數(shù)方程

1、 東南數(shù)理化 高中數(shù)學(xué)教研組指數(shù)、對數(shù)方程練習(xí)與解析【知識(shí)點(diǎn)】1指數(shù)方程與對數(shù)方程的定義：在指數(shù)上含有未知數(shù)的方程，叫做指數(shù)方程；在對數(shù)符號(hào)后面含有未知數(shù)的方程，叫做對數(shù)方程。2解指數(shù)、對數(shù)方程的基本思想：化同底或換元。3.指數(shù)方程的基本類型：（1）其解為；（2），轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求解；（3），轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求解；（4），用換元法先求方程的解，再解指數(shù)方程。4. 對數(shù)方程的基本類型：（1）,其解為；（2），轉(zhuǎn)化為求解；（3），用換元法先求方程的解，再解對數(shù)方程。典型例題【例1】 解下列方程： (1)9x+6x=22x+1；(2)log4(3-x)+log(3+x)=log4(1-x)+log(2

2、x+1)；(3)log2(9x-1-5)-log2(3x-1-2)=2.【解前點(diǎn)津】 (1)可化為關(guān)于（）x的一元二次方程；(2)直接化為一元二次方程求解；(3)轉(zhuǎn)化為關(guān)于3x-1的一元二次方程.【規(guī)范解答】 (1)由原方程得：32x+3x·2x=2·22x，兩邊同除以22x得：()2x+（）x-2=0.因式分解得：（）x-1·()x+2=0.()x+2>0， ()x-1=0，x=0.(2)由原方程得：log4(3-x)-log4(3+x)=log4(1-x)-log4(2x+1)(3-x)·(2x+1)=(1-x)·(3+x)解之:x=

3、0或7，經(jīng)檢驗(yàn)知：x=0為原方程解.(3)log2(9x-1-5)=log24·(3x-1-2) 9x-1-5=4·(3x-1)-8因式分解得：(3x-1-1)(3x-1-3)=03x-1=1或3x-1=3x=1或2.經(jīng)檢驗(yàn)x=2是原方程解.【解后歸納】 指數(shù)方程與對數(shù)方程的求解思路是轉(zhuǎn)化.將超越方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，因轉(zhuǎn)化過程中有時(shí)“不等價(jià)”，故須驗(yàn)根，“增根須舍去，失根要找回”是解方程的基本原則.【例2】 解關(guān)于x的方程：lg(x2-2ax)-lg(6a-3)=0.【解前點(diǎn)津】 利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，去掉對數(shù)符號(hào)，并保留“等價(jià)性”.【規(guī)范解答】 化原方程為： a>，

4、a2+6a-3>+6×-3>0，故由(x-a2)=a2+6a-3得：x-a=±即x=a± (a>).【解后歸納】 含參方程的求解，常依具體條件，確定參數(shù)的取值范圍.【例3】 解關(guān)于x的方程：a2·4x+(2a-1)·2x+1=0.【解前點(diǎn)津】 令t=2x，則關(guān)于t的一元方程至少有一個(gè)正根，a是否為0，決定了方程的“次數(shù)”.【規(guī)范解答】 當(dāng)a=0時(shí)，2x=1，x=0； 當(dāng)a0時(shí)，=(2a-1)2-4a2=1-4a；若0則a (a0).且關(guān)于t的一元二次方程a2·t2+(2a-1)t+1=0至少有一個(gè)正根，而兩根之積為&

5、gt;0，故兩根之和為正數(shù)，即>0a<，故a (a0)時(shí)，2x=，故a (a0)時(shí)，x=log2為原方程之根.【解后歸納】 方程經(jīng)“換元”之后，如何保持“等價(jià)性”是關(guān)鍵所在，應(yīng)確定“新元”和“舊元”的對應(yīng)關(guān)系以及“新元”的取值范圍.【例4】 當(dāng)a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程4x-(2a+1)·2x+a2+2=0的根一個(gè)比另一個(gè)大1.【解前點(diǎn)津】 令y=2x，則問題轉(zhuǎn)化為：關(guān)于y的方程y2-(2a+1)y+(a2+2)=0中的根一個(gè)是另一個(gè)的兩倍.【規(guī)范解答】 令y=2x，x1=x2+1，故2=2·2，即y2=2y1，故關(guān)于y的方程y2-(2a+1)y+(a2+2)=0

6、中的根一個(gè)是另一個(gè)的兩倍，不妨設(shè)為m，2m.由 .【解后歸納】 在不等式與方程式的混合不等式組中，常從解方程入手，將方程之根代入不等式檢驗(yàn)便知真?zhèn)? 例5（1）方程的解集為；（2）方程的解集為。解：（1） 設(shè)，則。（2）。注意：在對數(shù)方程求解過程中，有些變形會(huì)改變未知數(shù)的范圍，方程可能產(chǎn)生增根或失根，故對數(shù)方程求解后必須檢驗(yàn)。例6關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求的取值范圍。解法指導(dǎo)：有關(guān)方程的有解與無解的問題以及方程的解的個(gè)數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)類的問題。本題可利用分離參數(shù)，數(shù)形結(jié)合求解。解：由，得，因?yàn)榉匠淘谏嫌薪?，所以在函?shù)的值內(nèi)取值即可，不難求得其值域?yàn)?，所以。?解關(guān)于的方程。解：原方程可化為

7、，設(shè)則（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，。練習(xí)：一、填空題1方程的解是。2方程的解集為。3方程的解集為。4方程的解集為。5方程的解是_。二、選擇題6方程的根的情況是 ( )(A)僅有一個(gè)正根 (B)有兩個(gè)正根 (C)有兩個(gè)負(fù)根 (D)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根7方程的解為 ( )(A) (B) (C) (D)8方程的解是 ( )(A) (B) (C)9或-11 (D)-99三、解答題9若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。10若，求的值。11. 解方程:12.已知lny-ax=lnc,求證:y=c對數(shù)指數(shù)方程測試一選擇題: 1下面四個(gè)方程： (1) (2) (3) (4) ,其中是指數(shù)方程或

8、對數(shù)方程的有（ ）。 （A） 1個(gè) （B） 2個(gè) （C） 3個(gè) （D） 4個(gè) 2當(dāng)a>0且a1時(shí)，兩組方程 （1）和， （2）和中（ ）。 （A） （1）組同解，（2）組不同解。 （B） 兩組都同解。 （C） （1）組不同解，（2）組同解。 （D）兩組都不同解。 3下列方程中。與方程同解的是（ ）。 . 4方程的解為（ ）。 (A) (B) (C) (D) 5滿足方程的不同的x的值有（ ）。 （A）1個(gè) （B） 2個(gè) （C） 3個(gè) （D）4個(gè) 6方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（ ）。 （A）0個(gè) （B） 1個(gè) （C） 2個(gè) （D）3個(gè) 7方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（ ）。 （A）0個(gè) （B） 1個(gè) （C）0

9、個(gè)或1個(gè) （D）2個(gè) 8. 下列四個(gè)方程中有實(shí)數(shù)解的是（ ）。 （A）2x=0 （B）()x=1 （C）0.1x=3 （D）3=3 9方程lg(x1)4=log2()2的解集是（ ）。 （A） （B）9 （C）9, 11 （D） 10關(guān)于x的方程lg(ax)=2lg(x1)有解的條件是（ ）。 （A）a4或a0 （B）a<4或a>0 （C）a>0 （D）a<4二填空題： 11求下列指數(shù)方程的解集： (1) 的解集為 。 (2) 的解集為 。 (3) 的解集為 。 12求下列對數(shù)方程的解集： (1) 的解集為 。 (2) =2的解集為 。 (3) 的解集為 。 13已知函數(shù)x，則方程的解集為 。 14關(guān)于x的方程的解集為 。 15方程的解集為 。 三解答題： 16解下列方程： (1) ; (2) (3) (4) = (5) 17已知方程 有兩個(gè)相等的實(shí)根，求N。 18a為何值時(shí)，方程有兩解。答案11. (1) log