高數(shù) 課件第五章不定積分

1、上頁下頁鈴結束返回首頁第五章第五章 不定積分不定積分5. 1 不定積分的概念與性質不定積分的概念與性質5. 2 換元積分法換元積分法5. 3 分部積分法分部積分法上頁下頁鈴結束返回首頁一、原函數(shù)一、原函數(shù)二、不定積分二、不定積分三、不定積分的幾何意義三、不定積分的幾何意義5.15.1不定積分的概念與性質不定積分的概念與性質上頁下頁鈴結束返回首頁上頁下頁鈴結束返回首頁 例如，在區(qū)間 (-, +)內，因為 (sin x)cos x，所以 sin x是 cos x的一個原函數(shù)。 提問：提問： cos x還有其它的原函數(shù)嗎？提示：提示： cos x的原函數(shù)還有sin x+C。一、原函數(shù)一、原函數(shù)原函數(shù)

2、：原函數(shù)： 定義5.1 如果在區(qū)間 I 上，可導函數(shù) F(x) 的導數(shù)為 f(x)，即對任一 xI ，都有F (x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx，則稱函數(shù) F(x) 是函數(shù) f(x) 在區(qū)間 I 上的原函數(shù)。 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁兩點說明：兩點說明： 2、f(x) 的任意兩個原函數(shù)之間只差一個常數(shù)，即如果 (x) 和 F(x) 都是 f(x) 的原函數(shù)，則(x)-F(x)C (C為某個常數(shù))。 1、如果F(x)是 f(x)的原函數(shù) ，那么F(x)+C 都是 f(x) 的原函數(shù)，其中 C 是任意常數(shù)。首頁一、原函數(shù)一、原函數(shù)原函數(shù)：原函數(shù)： 定義5.1 如果在區(qū)間 I 上，可導函數(shù)

3、 F(x) 的導數(shù)為 f(x)，即對任一 xI ，都有F (x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx，則稱函數(shù) F(x) 是函數(shù) f(x) 在區(qū)間 I 上的原函數(shù)。 上頁下頁鈴結束返回首頁證證 設G(x)是f(x)的一個原函數(shù),即 , ( )( )( )( )G xF x G xF x-( )( )G xf x則( )( )0f xf x-導數(shù)等于零的函數(shù)是常數(shù),從而( )( )G xF xC+即( )( )G xF xC-定理定理5.1 若若F(x)是是f(x)在區(qū)間在區(qū)間I內的一個原函數(shù)內的一個原函數(shù),則則F(x)+C是是f(x)的全體原函數(shù)的全體原函數(shù),其中其中C為任意實數(shù)為任意實數(shù).上

4、頁下頁鈴結束返回首頁定理5.2(原函數(shù)存在定理) 若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),則在I上存在可導函數(shù)F(x),使對任意xI,有( )( )F xf x簡單地說,連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).故初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都有原函數(shù).上頁下頁鈴結束返回首頁二、不定積分二、不定積分不定積分的相關名稱：不定積分的相關名稱： 叫做積分號， f(x) 叫做被積函數(shù)， f(x)dx 叫做被積表達式， x 叫做積分變量。 定義定義5.2 函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)稱為f(x)的不定積分，記作 dxxf)(。 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 根據(jù)定義，如果 F(x) 是 f(x) 的一個原函數(shù)，則dxxf)(F(x)+C， 其中

5、 C 是任意常數(shù)，稱為積分常數(shù)。下頁二、不定積分二、不定積分 定義定義5.2 函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)稱為f(x)的不定積分，記作 dxxf)(。 上頁下頁鈴結束返回首頁 如果 F(x)是 f(x)的一個原函數(shù)，則dxxf)(F(x)+C。 當 x0 時，(ln x)x1，x1，Cxdxx+ln 1(x0)； x0 時，ln(-x)x0 時，ln(-x)xx1) 1(1-xx1) 1(1-，xx1) 1(1-，Cxdxx+-)ln( 1(x0 時，(ln x) 解：解：首頁上頁下頁鈴結束返回首頁例例5.1 求函數(shù) 的不定積分.21( )sin , ( ) 1f xx g xx+解解 因為 (

6、cos )sin , x x-所以sin dcosx xxC -+21darctan1xxCx+21(arctan ) 1x x+因為所以上頁下頁鈴結束返回首頁11d1xxxc+當=1,x0時,由于 ,所以1(ln|)x x1dln|xxCx+例例5.2 求不定積分d .xx解解 當1時,由于 ,所以11() 1+xx+11, 1d1ln|, 1,0 xCxxxCx+ -+ -上頁下頁鈴結束返回首頁-1O 1x y y=x2 函數(shù)f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線。Cxxdx+22C1y=x2+C1C2y=x2+C2C3y=x2+C3 函數(shù)f(x)的積分曲線也有無限多條。函數(shù)f(x)

7、的不定積分表示f(x)的一簇積分曲線，而f(x)正是積分曲線的斜率。三、不定積分的幾何意義三、不定積分的幾何意義下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 例例4求過點(1, 3)，且其切線斜率為2x的曲線方程。 解：解：設所求的曲線方程為 yf(x)，則 y f (x) 2x，即f(x)是2x 的一個原函數(shù)。 因為所求曲線通過點(1, 3)，故 31+C，C2。于是所求曲線方程為yx2+2。-2 -1O 12x-2-112 yyx2+2yx2(1, 3) 因為Cxxdx+22， 所以y=f(x)x2+C。結束上頁下頁鈴結束返回首頁四四. 不定積分的性質不定積分的性質上頁下頁結束返回首頁)()(xfdxxf，

8、或)()(xfdxxf，或dxxfdxxfd)()(dxxfdxxfd)()(。 dxxF)( F(x)+C ，或F(x)+C ，或)(xdF)(xdFF(x)+C。 dxxgxf)()(dxxgdxxf)()(。 dxxfkdxxkf)()( k 是常數(shù)，k0 )。 性質 1 )()(xfdxxf 性質性質1性質 2 dxxF)( 性質性質2性質 3 dxxgxf)()(dxxgdxxf)()( 性質性質3性質 4 dxxfkdxxkf)()( 性質性質4 f(x)dxF(x)+C。 設F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則有F (x)f(x)，且 因此不定積分有如下性質：鈴上頁下頁鈴結束返回首

9、頁五五 基本積分公式基本積分公式 (1) 0dx C (C 是常數(shù))， (2) xdx (3) x1dx ln|x|+C， (4) axdx (5) exdx ex+C， (6) cosxdx sinx+C， (7) sinxdx -cosx+C， (10) 211x-dx arcsinx+C， (11) 211x+dx arctgx+C。 (8) x2cos1dx tgx+C， (9) x2sin1dx -ctgx+C， 0dx C (C 是常數(shù))， xdx 11+x+1+C， x1dx ln|x|+C， axdx aaxln+C， exdx ex+C， cosxdx sinx+C， sin

10、xdx -cosx+C， dx tgx+C， dx -ctgx+C， dx arcsinx+C， dx arctgx+C。 上頁下頁鈴結束返回首頁上頁下頁鈴結束返回首頁 2772x+C72x3x+C。 (2) xdx 11+x+1+C， dx x -3dx131+-x -3+1+C x -3+1+C 221x-+C。 dx 25xdxdx1251251+x+C 34 -xdx134134+-+-x+C134134+-+-x33x-+ C。 例 1 31xdx 例例1例 2 x2xdx 例例2例 3 3xxdx例例3下頁上頁下頁鈴結束返回首頁dxxgxf)()(dxxgdxxf)()(，dxxf

11、kdxxkf)()(。 dxxdxx-21255dxxdxx-21255 Cxx+-232732572Cxxxx+-310723dxxx)5(2-dxxx)5(2125- dxxdxx-21255dxxdxx-21255 Cxx+-232732572Cxxxx+-310723。 例 4 dxxx)5(2-dxxx)5(2125-例例4下頁上頁下頁鈴結束返回首頁dxxgxf)()(dxxgdxxf)()(，dxxfkdxxkf)()(。 dxxxx)133(2-+- dxxdxxdxxdx-+-21133 221x-3x+3ln|x|x1+C。 dxxx-23) 1(-+-dxxxxx22313

12、3 5 dxxx-23) 1(-+-dxxxxx223133例例5下頁上頁下頁鈴結束返回首頁(4) axdx aaxln+C， (6) cosxdx sinx+C， dx2sectgx+C， (ex-3cosx)dx ex-3sinx+C。 2x exdx (2e)x dx(2e)x dx)2ln()2(eex+C2ln12+xxe)2ln()2(eex+C2ln12+xxe+C。 tg2xdx (sec2x-1)dx tgx-x+C。 (sec2x-1)dx tgx-x+C。 2xdxx)cos1 (21-Cxx+-)sin(21dxx)cos1 (21-Cxx+-)sin(21。 dxxx

13、2cos2sin122dxx2sin14 -4ctg x+C。 6 (ex-3cosx)dx ex-3sinx+C。 例例67 2x exdx 例例78 tg2xdx 例例89 sin 22xdx例例910 dxxx2cos2sin122dxx2sin14例例10下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 (3) x1dx ln|x|+C， (11) 211x+dx arctgx+C。 +dxxdxx1112 +-dxxx)111(2231+dxxdxx1112arctgx+ln|x|+C。 +dxxx241+-dxxx24111+-+dxxxx22211) 1)(1(+dxxx241+-dxxx24111+

14、-+dxxxx22211) 1)(1( +-dxxx)111(2231x3-x+arctgx+C。 +dxxxxx)1 (122+dxxxxx)1 ()1 (22+dxxx)111(2+dxxxxx)1 (122+dxxxxx)1 ()1 (22+dxxx)111(2 11 +dxxxxx)1 (122+dxxxxx)1 ()1 (22+dxxx)111(2例例1112 +dxxx241+-dxxx24111+-+dxxxx22211) 1)(1(例例12下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 y)257(x+dxxx507 +C 。 解：解：因為總成本是總成本變化率y的原函數(shù)，所以 已知當 x0 時，y

15、1000， 例例13某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日生產(chǎn)的產(chǎn)品的總成本 y 的變化率是日產(chǎn)量 x 的函數(shù) yx257 +，已知固定成本為1000元，求總成本與日產(chǎn)量的函數(shù)關系。因此有 C =1000，于是總成本 y 與日產(chǎn)量 x 的函數(shù)為 yxx507 +1000。 結束上頁下頁鈴結束返回首頁例例5.4 求下列不定積分:222(1)3(1)d ; (2)d1xxxxxxx-+-+221(3)d ; (4) 2 (e1)d(1)xxxxxx-+解解22(1)21(1)ddxxxxxxx-+311222(2)dxxxx-+311222d2ddxxxxxx-+上頁下頁鈴結束返回首頁231522222253xx

16、xC- +53122224253xxxC-+22223(1)3(2)dd11xxx xxxxx+-+-+23()d1xxx-+2d=d31xx xx-+213arctan2xxC-+上頁下頁鈴結束返回首頁1=arctan xCx-+222222d1(3) d(1)(1)xxxxxxxx+ -+2211()d1xxx-+2211dd1xxxx-+上頁下頁鈴結束返回首頁(4) 2 (e1)d(2e)2 dxxxxxx-(2e) d2 dxxxx-11=(2e)2ln2eln2xxC-+11(2e)21ln2ln2xxC-+上頁下頁鈴結束返回首頁例例5.5 求下列不定積分:2222sin2cos(1

17、)d ; (2)d ;cos1 sin1(3)d ; (4) tand .sincosxxxxxxxx xxx+解解sin22sin cos(1) ddcoscosxxxxxxx2 sin dx x2cosxC -+上頁下頁鈴結束返回首頁22cos1 sin(2) dd1 sin1 sinxxxxxx-+(1 sin )(1 sin )d 1 sinxxxx+-+(1 sin )dxx-=cosxxC+1dsin dxx x-上頁下頁鈴結束返回首頁22222211sincos(3)dd2sincos2sincosxxxxxxxx+22111()d 2cossinxxx+221111=dd2co

18、s2sinxxxx+11tancot22xxC-+=cot2xC-+上頁下頁鈴結束返回首頁21(1)dcosxx-222sin(4) tanddcosxx xxx221 cosdcosxxx-tan xxC-+上頁下頁鈴結束返回首頁一、第一類換元積分法一、第一類換元積分法二、第二類換元積分法二、第二類換元積分法5. 2 換元積分法換元積分法上頁下頁結束返回首頁鈴上頁下頁鈴結束返回首頁一、第一類換元積分法一、第一類換元積分法這種積分方法稱為第一類換積分元法第一類換積分元法。 設 yf (u) 及 uj(x) 都可導，則有 微分過程： 湊微分過程： 積分過程：f j(x)j(x)dx， df j(

19、x)df (u)f (u)duf j(x)dj(x)df j(x)， f j(x)j(x)dxf j(x)dj(x)f (u)dudf(u)duufxdxfdxxxf)()()()()(jjjjduufxdxfdxxxf)()()()()(jjjjduufxdxfdxxxf)()()()()(jjjjduufxdxfdxxxf)()()()()(jjjjf (u)+C f j(x)+C。 f (u)+C f j(x)+C。 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁duufxdxfdxxxf)()()()()(jjjjf (u)+C f j(x)+C。 cos 2x d(2x ) 2cos 2x dx cos

20、 2x2dxcos 2x2dxcos 2x (2x )dx cos 2x d(2x ) cos u du sin u +C sin 2x +C。 cos u du sin u +C sin 2x +C。 cos u du sin u +C sin 2x +C。 ) 12(12121+xdxduu121Cu +|ln21 Cx+| 12|ln21。 12 +xdxdxxx) 12(12121+ ) 12(12121+xdxduu121Cu +|ln21) 12(12121+xdxduu121Cu +|ln21 1 2cos 2x dx 例例12 12 +xdxdxxx) 12(12121+例例2

21、下頁上頁下頁鈴結束返回首頁duufxdxfdxxxf)()()()()(jjjjf (u)+C f j(x)+C。 ) 3(32122-xdxduu2121Cu+233221 Cx+-232) 3(31Cxx+-3) 3(3122dxxx32-dxxx) 3(32122- ) 3(32122-xdxduu2121Cu+233221) 3(32122-xdxduu2121Cu+233221 Cx+-232) 3(31Cxx+-3) 3(3122。 當運算熟練以后，可以不必把u寫出來。3 dxxx32-dxxx) 3(32122-例例3下頁上頁下頁鈴結束返回首頁duufxdxfdxxxf)()()

22、()()(jjjjf (u)+C f j(x)+C。 21ln |1+2ln x|+C。 dxxex22221dxexCex+221dxxex22221dxexCex+221。 dxxex3xdex32xdex3323Cex+332dxxex3xdex32xdex3323Cex+332dxxex3xdex32xdex3323Cex+332。 xdxtgdxxxcossinxdxcoscos1-xdxtgdxxxcossinxdxcoscos1-xdxtgdxxxcossinxdxcoscos1-ln|cosx|+C。 +)ln21 (xxdx+xxdln21ln+xxdln21)ln21 (2

23、1+)ln21 (xxdx+xxdln21ln+xxdln21)ln21 (21 4 dxxex22221dxexCex+221例例45 dxxex3xdex32xdex3323Cex+332例例56 xdxtgdxxxcossinxdxcoscos1-例例67 +)ln21 (xxdx+xxdln21ln+xxdln21)ln21 (21例例7下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 dxxaadxxaa-+121121 )(121)(121xadxaaxadxaa-+ Cxaaxaa+-+|ln21|ln21 Cxaxaa+-+|ln21。 )(121)(121xadxaaxadxaa-+ Cxaaxa

24、a+-+|ln21|ln21 duufxdxfdxxxf)()()()()(jjjjf (u)+C f j(x)+C。 22xadx-dxxaxaa)11(21-+ 8 22xadx-dxxaxaa)11(21-+例例8下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 -xdxcoscos112Cxx+-+-|cos1cos1|ln21 Cxx+-|sincos1|ln22xadx-Cxaxaa+-+|ln21 xdxsec+)2()2csc(xdx Cxx+-+| )2(ctg)2csc(|ln-xdxcoscos112Cxx+-+-|cos1cos1|ln21 Cxx+-|sincos1|lnln|cscx-c

25、tgx|+C。 xdxsec+)2()2csc(xdx Cxx+-+| )2(ctg)2csc(|lnln|secx+tgx|+C。 xdxcscdxxsin1dxxx2sinsinxdxcscdxxsin1dxxx2sinsin 9 xdxcscdxxsin1dxxx2sinsin例例9下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 Caxa+arctan1。 例例11 當a0時， dxxa-221dxaxa-2111axdax-211 Cax+arcsin。 dxxa+221dxaxa+22111axdaxa+2111dxxa+221dxaxa+22111axdaxa+2111 dxxa-221dxaxa-2

26、111axdax-211dxxa-221dxaxa-2111axdax-211 10 dxxa+221dxaxa+22111axdaxa+2111例例10下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 sin 2x (1-sin 2x ) 2 d sin x 31sin 3 x52-sin 5 x71+sin 7 x +C。 sin 3 x dx sin 2xsin x dx -sin 2xsin x dx -(1-cos 2x)d cos x -d cos x +cos 2xd cos x -cos xcos 2xd cos x -cos x31+cos 3 x+C。 sin 2x cos 5 x dx sin

27、 2x cos 4 x d sin x sin 2x (1-sin 2x ) 2 d sin x (sin 2x-2sin 4x +sin 6x ) d sin x cos 2x dx21(1+cos 2x) dx(1+cos 2x) dxCx +2sin4121。 12 sin 3 x dx 例例1213 sin 2x cos 5 x dx 例例1314 cos 2x dx例例14下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 41(23x+sin 2x81+sin 4x )+C sin 4x )+C 83x41+sin 2x321+sin 4x +C。 41(1+2cos 2x +cos 22x )dx 41

28、(23+2cos 2x21+cos 4x )dx cos 4x dx(cos 2x) 2 dx 21sin x101+sin 5x + C。 cos 3x cos 2x dx21(cos x + cos 5x )dx 15 cos 4x dx例例1516 cos 3x cos 2x dx21例例16首頁上頁下頁鈴結束返回首頁1(1)()d()d();f axbxf axbaxba+11(2)()d()d;xf xxf xx-(3)(e)e d(e)de;xxxxfxf- - 在用第一換元積分法時常用的湊微分法,即湊中間變量法有1(4)(ln )d(ln )dln ;fxxfxxx(5)(sin

29、 )cos d(sin )dsin ;fxx xfxx上頁下頁鈴結束返回首頁21(8)(arctan )d(arctan )darctan ;1fxxfxxx+(6)(cos )sin d(cos )dcos ;fxx xfxx -21(7)(arcsin )d(arcsin )darcsin ;1fxxxxx-2(9)(tan )secd(tan )dtan ;fxx xfxx2(10)(cot )cscd(cot )dcot .fxx xfxx -上頁下頁鈴結束返回首頁例例5.7 求下列不定積分:5022(1) (23 ) d ;d(3);(5) tan d ;xxxaxx x-2222d

30、(2);d(4);1(6)d .lnxaxxaxxxx+-解解50501(1)(23 ) d(23 ) d(23 )3xxxx- -50501(23 ) d(23 ) d(23 )3xxxx- -501d3uu -上頁下頁鈴結束返回首頁51113 51uC -+511(23 )153xC -+22221d(2)d( ) xxxaxa aa+21d1( ) xxaaa+作變量變換 xua上頁下頁鈴結束返回首頁222111dd1( )xxxaxaaa+211d1xuua au+1arctanxCaa+1arctanuCa+上頁下頁鈴結束返回首頁22211(3) dd1 ( )xxxaxaa-21d

31、1uu-21d( )1 ( )xaxa-arcsinxCa+arcsinuC+上頁下頁鈴結束返回首頁22d111()d2xxaxaaxax+-+-111dd 2xxaaxax+-111d()d()2axaxaaxax+-+-1ln|2axCaax+-1(ln|ln|)2axaxCa+-+2211114()2axa axax+-+-（ ）上頁下頁鈴結束返回首頁sin(5) tan ddcosxx xxx1cos d uxuu-ln|cos |xC -+ln| uC -+1dcos cosxx -上頁下頁鈴結束返回首頁d1d(6) lnlnxxxxx xln|uC+1ln duxuu1dlnlnx

32、xln|ln |xC+上頁下頁鈴結束返回首頁例例5.8 求下列不定積分:23222(1) sind ; (2) (sincos ) d ;(3) csc d ; (3) sincosd ;11(5)d ; (6)d .sin3cossincosx xxxxx xmxnx xxxxxxx+21 cos2(1) sindd2xx xx-解解11dcos2 d22xx x-11 1cos2 d222 2xxx-11sin224xxC-+上頁下頁鈴結束返回首頁33322(2) (sincos ) d (sincos3sincos3sin cos)dxxxxxxxxxx+2222(1 cos)sin d

33、(1 sin)cos d 3 sindsin3 cosdcosxx xxx xxxxx-+-+-2233(1 cos)dcos(1 sin)dsin11 3sin3cos33xxxxxx -+-+ - 333311coscossinsinsin33 cosxxxxxxC -+-+-+上頁下頁鈴結束返回首頁3322sincossincos33xxxxC-+-+d(3) csc dsinxx xx2dcos1 cosxx -2sindsinxxx2d1uu -11csc dln|21ux xCu+ -+-ln|csccot|xxC-+11 cosln|21 cosxCx-+上頁下頁鈴結束返回首頁1

34、sincosdsin()sin() d2mxnx xmn xmn xx+-當m=n時,1sin2d2mxx1cos24mxCm -+(4)原式11sin2d(2)2 2mxmxm上頁下頁鈴結束返回首頁但mn時11sin() d()2mn xmn xmn+原式1cos()2()mn xmn -+11 sin() d()2mn xmn xmn+-1cos()2()mn xCmn-+-上頁下頁鈴結束返回首頁(5)將被積函數(shù)變形2222111sin3coscos3tanxxxx+而 正好是tan x的導數(shù),所以有21cos x2222d11dsin3cos3tancosxxxxxx+1tanarcta

35、n33xxC+原式21dtan3tanxx+上頁下頁鈴結束返回首頁11dcossinxxx-2222dsincos(6)dsincossincosxxxxxxxx+21cosddcossinxxxxx+21dsindcossinxxxx+對積分 可以采用(3)題的方法,也可用半角公式計算,如dcosxx上頁下頁鈴結束返回首頁221d1tancos22xxx-22ddcoscossin22xxxxx-212dtan21tan2xx-1tan2ln|1tan2xCx+-ln|sectan|xxC+1 sinln|cosxCx+上頁下頁鈴結束返回首頁或由 ,代入(3)的結果中,化簡后有同樣結論.所以

36、seccsc()2xx+cscln|sectan |xxxC -+原式上頁下頁鈴結束返回首頁例例5.9 求下列不定積分:23lnarcsin(1)d ; (2)d ;1ln1cos2(2)d ; (3)d .e(sincos )xxxxxxxxxxxxxxxx+-+-解解lnln(1)ddln1ln1lnxxxxxx+1ln1d(1ln )1lnxxx+-+1( 1ln)d(1ln )1lnxxx+-+上頁下頁鈴結束返回首頁31222(1ln )2(1ln )3xxC+-+2arcsin2d1 ()xxx-2 arcsindarcsinxx2(arcsin)xC+2arcsinarcsin(2

37、)dd1xxxxxxxx-上頁下頁鈴結束返回首頁1e(1)dexxxx+-+1ee1(3)ddeexxxxxxxxxx-+-+1d(e )exxxxx-+ln|e |xxxC-+上頁下頁鈴結束返回首頁2233cos2cossin(4)dd(sincos )(sincos )xxxxxxxxx-2(cossin )(sincos )d(sincos )(sincos )xxxxxxxxx-+-2sincosd(sincos )xxxxx+ -2d(cossin )(sincos )xxxx-1cossinCxx -+-1sincosCxx+-上頁下頁鈴結束返回首頁例例5.10 求下列不定積分：3

38、2231(1)d ; (2)d ;1(1)xxxxxxx x-+2221(3)d ; (4)d .1(1)xxxxxxxx x-+3223225(1)dd11xxxxxxxxx-+-+解解5(2)d1xxxx-+2555d1xxxx+-+255ln|1|xxxC-+上頁下頁鈴結束返回首頁(2)222111(1)(1)(1)xxxxxx-+21121(1)xxx -+221111(1)1(1)xxxx-+2211dddd2(1)1(1)xxxxxx xxxx-+12ln|1xCxx+-+2ln|ln|1|1xxCx -+-+上頁下頁鈴結束返回首頁2222121(3)dd 11xxxxxxxxxx

39、x-+ -+221(1)d1xxxx+-+2ln(1)xxxC-+221d(1)1xxxxx-+上頁下頁鈴結束返回首頁222111(4)dd(1)1(1)xxxx xxxx+21arctan()d1xxxxx+-+2|arctanln1xxCx+21arctanln|ln(1)2xxxC+-+上頁下頁鈴結束返回首頁二、第二類換元積分法二、第二類換元積分法 設xj(t)單調可導，且j(t)0。如果 f(x)的原函數(shù)不易計算，而復合函數(shù) fj(t)j(t) 的原函數(shù)F(t)易于求得，則有積分法： 這是因為，由復合函數(shù)和反函數(shù)求導法則， Fj-1(x)fj(t)f(x)。+-CxFCtFdtttfd

40、xxf)()()()()(1jjj。+-CxFCtFdtttfdxxf)()()()()(1jjj。+-CxFCtFdtttfdxxf)()()()()(1jjj。+-CxFCtFdtttfdxxf)()()()()(1jjj。+-CxFCtFdtttfdxxf)()()()()(1jjj。+-CxFCtFdtttfdxxf)()()()()(1jjj。+-CxFCtFdtttfdxxf)()()()()(1jjj。+-CxFCtFdtttfdxxf)()()()()(1jjj。Fj-1(x)dxdttF)( dtdxttf1)()(jjdxdttF)( dtdxttf1)()(jj下頁上頁下

41、頁鈴結束返回首頁1.三角函數(shù)代換法三角函數(shù)代換法222222: sin (| |)2: tan (| |)2: sec (0 | |)2axxattaxxattxaxaxt-+-令令令上頁下頁鈴結束返回首頁注意 axtarcsin，sin2t2sint cost，sin2t2sint cost，sin2t2sint costaxaax222- Cxaxaxa+-+)21arcsin2222。 dxxf)()(txjfj(t)j(t)dt F(t)+C Fj-1(x)+C。 dx acostdt，于是 dxxa-22tdtatacoscos dtta)2cos1 (22+Ctta+)2sin21

42、(2222xa -taa222sin-taa222sin-acost。 dxxa-22tdtatacoscos dtta)2cos1 (22+Ctta+)2sin21(22 acostdt，22xa -tx22xa -a例 1 求dxxa-22 (a0)。 例例17解：設 xasint (2 2-t)，那么 dx acostdt， 解：解：下頁上頁下頁鈴結束返回首頁注意 sectaax22+，tg taax22+，tg tax。 其中C 1C-lna。22ax +taa222tg+ta2tg1+于是 +22axdxdttatasecsec2 tdtsec)，那么 dxasec2tdt， 22a

43、x +taa222tg+ta2tg1+22ax +taa222tg+ta2tg1+22ax +taa222tg+ta2tg1+asect， +22axdxdttatasecsec2 tdtsecln|sect+tg t|+C Caaxax+)ln(22122)ln(Caxx+， tx22xa+a例 2 求+22axdx (a0)。 例例18解：設 xatg t (2 2-t)，那么 dxasec2tdt， 解：解： Caaxax+)ln(22122)ln(Caxx+下頁上頁下頁鈴結束返回首頁注意tg taax22-，sect，sectax。 其中C C1-lna。 解：解： 設xasect，

44、那么dxasecttgtdt， 22ax -222secata-1sec2-ta22ax -222secata-1sec2-ta22ax -222secata-1sec2-ta22ax -222secata-1sec2-taatgt， 于是 -22axdxdttattatgtgsec sectdt ln|sect+tg t|+C1 -22axdxdttattatgtgsec sectdt ln|sect+tg t|+C1 ln|ax+aax22-|+C1 ln(x+|+C1 ln(x+22ax -)+C， txa例 3 求-22axdx (a0)。 例例19下頁上頁下頁鈴結束返回首頁例例5.1

45、1 求下列不定積分:2222d(1)d (0); (2) (0);xaxx aaax-+解 (1)令 ,則sin (| |)2xatt22222dsincos d axxaat at t-22cos dat t22422d(3) (0); (4)d (0).xaxax axxa-21cos2d2tat+上頁下頁鈴結束返回首頁2(sin cos )2atttC+21(sin2 )22attC+由于 ,故 ,又sin arcsinxxatta2cos1 sintt-21 ( )xa-221axa-所以222221d(arcsin)2axxaxxaxCaa a-+-+222arcsin22xaxax

46、Ca-+上頁下頁鈴結束返回首頁sec d t t又2sec1tantt+21( )xa+221axa+222222dsecdtanxattaxaat-+2secdsecttt1ln|sectan |ttC+(2)令2tan (| |),dsec d2xat txat t上頁下頁鈴結束返回首頁所以22122dln()xxxaCaaax+其中C=C1ln a.22ln().xxaC+上頁下頁鈴結束返回首頁sec (0), dsectan d2xattxatt t (3)令 則 22tanxaat-22dsectandtanxatttatxa-故22tan, secxataxta-1ln|secta

47、n |ttC+sec d t t上頁下頁鈴結束返回首頁所以22ln|xxaC+-+22122dln|xxxaCaaxa-+-其中C=C1ln a.(2),(3)兩題的結果可以合并為:2222dln|.xxxaCxa+上頁下頁鈴結束返回首頁(4)設 ,則sin (0 |)2xatx22cos , dcos dxaatxat t-22444cosdcos dsinxaatxat txat-2221dcotsinttat322223()3axCa x- -+221cotdcottta -321cot3tCa -+上頁下頁鈴結束返回首頁2.最簡無理函數(shù)代換法 ()nnaxbabaxbcxdcd+我們直

48、接令其為t,再從中解出x為t的有理函數(shù).當n次根式內為一次函數(shù)或一次有理式時,如上頁下頁鈴結束返回首頁例例5.12 求下列不定積分:3312(1)d ; (2)d ;31dd(3) (4).(1)(1)(2)xxxxxxxxxxxx-+-解解 (1)令 ,則1tx-21,d2 d ,xtxt t+21d2 d1xtxt txt-+222d1ttt+212 (1)d1tt-+212arctan1xxC- - +22arctanttC-+上頁下頁鈴結束返回首頁(2)令 ,則323131 (1),dd ,3xtxtxtt+ -3231223dd31txxtttx-+523315(31)(31)156

49、xxC+41(5 )d 3ttt+521 11 53 53 2ttC+上頁下頁鈴結束返回首頁(3)令 ,則656 ,d6 d ,txxtxtt5323d16 d(1)(1)xttttxx+226d1ttt+216 (1)d1tt-+66arctanttC-+6666arctanxxC-+上頁下頁鈴結束返回首頁(4)由于x(1,2)時,2(1)(2)(1)1xxxxx-令222222121,dd ,11(1)ttxxtttt+ + -+212d1tt -+222d12()d1(1)(1)(2)1xtttxxtt-+-+2=1xtx-則上頁下頁鈴結束返回首頁22arctan1xCx- -+-212

50、d2arctan1ttCt - -+此題若用配方法更簡單2dd( -1)(2- )32xxxxxx-21d13()42xx-32arcsin12xC-+arcsin(23)xC-+上頁下頁鈴結束返回首頁例例5.13 求下列不定積分;22d1(1); (2)d .lne1xxxxxxx+-解解 (1)令221ln(1), dd ,21txtxtt+22d1d1e1xxttt t+-2arctan e1xC- +2d1tt+則2e1xt -arctantC+上頁下頁鈴結束返回首頁(2)令t=lnx, 則x=et, dx=etdt,221e1de d lneettttxxtxxxt+e1de2ttt

51、+ln|ln| xxC+ln|e|ttC+上頁下頁鈴結束返回首頁 在本節(jié)例題中,有些不定積分的結果以后會經(jīng)常用到,可作為基本積分公式引用.221110 dln|;2xaxCaxaxa+-221111 darctan;xxCaxaa+22112 darcsin;xxCaxa+-13 tan dln|cos |;x xxC -+14 cotln|sin |;xdxxC+上頁下頁鈴結束返回首頁16 cscln|csccot|;xdxxxC-+15 secln|sectan|;xdxxxC+2222118 dln|.xxxaCxa+2222217 darcsin;22xaxaxxaxCa-+上頁下頁鈴

52、結束返回首頁從而 -dxxx1+12uu-dxxx1+12uu2u du2u duduuu+1222 ，則 xu2+1，dx2u du， ，則 xu2+1，dx2u du， Cxx+-)1arctan1(2。 +-duu)111 (22+-duu)111 (222(u-arctan u )+C 例 4 求-dxxx1。 例例20解 設ux-1，則 xu2+1，dx2u du， 解：解：結束上頁下頁鈴結束返回首頁5. 3 分部積分法分部積分法 如果函數(shù)uu(x)及vv(x)具有連續(xù)導數(shù)，則有 (uv) uv+uv，或 uv (uv)-uv。 對上述等式兩邊求不定積分，得dxvu vdxuuv-這

53、個公式稱為分部積分公式。dxvu udvvduuv-vdxuuv- 分部積分的過程：分部積分的過程： dxvu udvvduuv-vdxuuv-dxvu udvvduuv-vdxuuv-dxvu udvvduuv-vdxuuv-。 dxvu vdxuuv-。 上頁下頁鈴結束返回首頁上頁下頁鈴結束返回首頁(2) 此時選 lnx, arcsinx, arctanx為u,當分部積分時,需對其求微分,使之變成有理函數(shù)或二次根式.ln d ,arcsin d ,arctan d ,nnnxx xxx xxx x使用分部積分的常見題型有:(1) 此時選u=xn,通過分部積分,使xn降冪.e d ,sin

54、d ,cos d ,nxnnxxxx xxx x上頁下頁鈴結束返回首頁dxvu udvvduuv-vdxuuv-。xcosxdx xdsinx xsinx-sinxdx xsinx+cosx+C。 xcosxdx xdsinx xsinx-sinxdx xsinx+cosx+C。 xcosxdx xdsinx xsinx-sinxdx xsinx+cosx+C。 xexdx xdex xex-exdx xex-ex+C。 xexdx xdex xex-exdx xex-ex+C。 xexdx xdex xex-exdx xex-ex+C。 x2exdx x2dex x2ex-exdx2 x2e

55、x-2xexdx x2ex-2xdex x2exdx x2dex x2ex-exdx2 x2ex-2xexdx x2ex-2xdex x2exdx x2dex x2ex-exdx2 x2ex-2xexdx x2ex-2xdex x2exdx x2dex x2ex-exdx2 x2ex-2xexdx x2ex-2xdex x2ex-2xex+2exdx x2ex-2xex+2ex+C ex(x2-2x+2)+C。 exdx x2ex-2xex+2ex+C ex(x2-2x+2)+C。 exdx x2ex-2xex+2ex+C ex(x2-2x+2)+C。 xlnxdx2ln21xdx-xdxxx

56、ln21ln2122 xlnxdx2ln21xdx-xdxxxln21ln2122 -xdxxx21ln212Cxxx+-2241ln21-xdxxx21ln212Cxxx+-2241ln21。 1 xcosxdx xdsinx xsinx-sinxdx xsinx+cosx+C。 例例12 2 x xe ex xd dx x x xd de ex x x xe ex x- -e ex xd dx x x xe ex x- -e ex x+ +C C。 例例23 3 x x2 2e ex xd dx x x x2 2d de ex x x x2 2e ex x- -e ex xd dx x2

57、2 x x2 2e ex x- -2 2x xe ex xd dx x x x2 2e ex x- -2 2x xd de ex x 例例34 4 x xl ln nx xd dx x 例例4下頁上頁下頁鈴結束返回首頁lnxdx xlnx-xdlnx xlnx-dx xlnx -x +C。 lnxdx xlnx-xdlnx xlnx-dx xlnx -x +C。 lnxdx xlnx-xdlnx xlnx-dx xlnx -x +C。 arccosxdx xarccosx -xdarccosx -+dxxxxx211arccos -)1 ()1 (21arccos2212xdxxxxarcco

58、s x21x-+C。 xarctgxdx21arctgxdx2 +-dxxxxx2221121arctg21 +-dxxxx)111 (21arctg2122Cxxxx+-)arctg(21arctg212+-dxxxx)111 (21arctg2122Cxxxx+-)arctg(21arctg212。 例 5 lnxdx xlnx-xdlnx xlnx-dx xlnx -x +C。 例例56 6 a ar rc cc co os sx xd dx x x xa ar rc cc co os sx x - -x xd da ar rc cc co os sx x 例例67 7 x xa ar

59、rc ct tg gx xd dx xa ar rc ct tg gx xd dx x2 2 例例7下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 解：解：因為所以 exsinxdxex(sin x-cosx)+C。 exsinxdx sinxdex exsinx-exdsinx exsinxdx sinxdex exsinx-exdsinx exsinxdx sinxdex exsinx-exdsinx exsin x-excosxdx exsinx-cosxdex exsinx-excosx+exdcosx exsinx-excosx-exsinxdx， excosxdx exsinx-cosxdex exd

60、cosx exsinx-excosx-exsinxdx， 練習：練習：.cosxdxex求例例 8 8 求求 e ex xs si in nx xd dx x。 例例8下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 解：解：因為所以 sec3xdx(secxtgx+ln|secx+tgx|)+C。 sec3xdx secxsec2xdx secxdtgx secxtgx-secxtg2xdx secxtgx-secx(sec2x-1)dx secxtgx-sec3xdx+secxdx secxtgx+ln|secx+tgx|-sec3xdx， sec3xdx secxsec2xdx secxdtgx secxtg