等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(一)

1、2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式及其獲取思路.2.經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體會(huì)數(shù)形 結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思3熟練掌握等差數(shù)列的五個(gè)量ai, d, n, an, Sn的關(guān)系，能夠由其中三個(gè)求另外兩個(gè).=知識梳理自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)一數(shù)列前n項(xiàng)和的概念把 ai +a2+ + an 叫數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，記做 Sn. ai + a2+ a3 + an-1 = S二i(n> 2).思考 由Sn與Sn-1的表達(dá)式可以得出Sn-Sn 1n>2an =.S1 n= 1知識點(diǎn)二等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式、推導(dǎo)和認(rèn)識, _ _ ,一

2、,一, n a+ an1 .公式：若an是等差數(shù)列，則 Sn可以用首項(xiàng)a1和末項(xiàng)an表本為Sn=-2一.2 .若首項(xiàng)為a1,公差為d,1則&可以表本為 Sn= na1 +2n(n 1)d.3 .推導(dǎo)：(方法：倒序相加法)過程：Sn= a1 + a2+ an,Sn= an+ an-1 + + a1,a + an= a2+an-1 =二 an+a1, 2Sn= n(a1+ an),.c n a+ an Sn =2.4 .從函數(shù)角度認(rèn)識等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(1)公式的變形 n n1 d d 9 d Sn=na1+2=2“ + (a12)n.(2)從函數(shù)角度認(rèn)識公式當(dāng)dw0時(shí)，Sn是項(xiàng)數(shù)n的

3、二次函數(shù)，且不含常數(shù)項(xiàng)；當(dāng)d=0時(shí)，Sn=na1，不是項(xiàng)數(shù)n的二次函數(shù).(3)結(jié)論及其應(yīng)用已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn = An2+Bn+C,若C=0,則數(shù)列an為等差數(shù)列；若CW0,則數(shù)列an不是等差數(shù)列.思考 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且S3=6, ai = 4,則公差d等于()1A . 2B. 23C. 1D. 3答案 A解析 Ss= ai + a2+ a3= 3a2= 6,a2 = 2,又 ai = 4,d= 一 2.知識點(diǎn)三等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1,若數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列Sn也是等差數(shù)列，且公差為：.2 .若Sm, S2m, S3m分別為an的前 m項(xiàng)，前2m項(xiàng)，前

4、3m項(xiàng)的和，則 Sm, S2m-Sm, S3mS2m也成等差數(shù)列，公差為m2d.3 .設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列an, bn的前n項(xiàng)和分別為Sn, Tn,則詈=!2n二. bn I 2n 14 .若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n,則S2n= n(an + an+1),S禺 an+1S偶一 $奇=門,=.S奇an5 .若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n+1,則S2n+1=(2n+1)an+1,S nS偶一S奇一一an+1, . .S奇 n+ 1思考 等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前3m項(xiàng)和是.答案 210解析 設(shè)an的前3m項(xiàng)和是S,Sm, S2m-Sm, S3mS2m 分別為 30,70, S- 10

5、0.由性質(zhì)知30,70, S100成等差數(shù)列.-2X 70=30+(S-100),.S= 210.題型探究重點(diǎn)雋破題型一與等差數(shù)列Sn有關(guān)的基本量的計(jì)算例1在等差數(shù)列an中.ai = ，, an= Sn=5,求 n 和 d.62(2)ai = 4, S8= 172,求 a8和 d.5 3 n ai + an (6- 2)解 (1)由題意得，Sn=2=2 = 5,解得 n=15.又 a15 =(15 1)d = - d = u626. . n = 15, d=-6.8 a1 + a88 4 + a8(2)由已知得 S8=2-=-2=172,解得a8=39,又,: a8=4+(8 1)d=39,

6、，d=5.-a8=39, d=5.反思與感悟a1, d, n稱為等差數(shù)列的三個(gè)基本量，an和Sn都可以用這三個(gè)基本量來表示，五個(gè)量a1, d, n, an, Sn中可知三求二，一般通過通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式聯(lián)立方程(組)求解，在求解過程中要注意整體思想的運(yùn)用.跟蹤訓(xùn)練1在等差數(shù)列an中；(1)已知 a6=10, S5=5,求 a8和 So;(2)已知 a3+a15=40,求 S17.-5X4. _Ss= 5a 1 + d d= 5,解(1)2解得 a1=- 5, d = 3.a6 = a1 + 5d = 10,.a8=a6+ 2d= 10+2X 3=16,C “10X9,“，一 L C C C

7、L810= 10a+ 2 d=10X (5)+ 5X 9X 3=85.17X a1 + a1717X a3+a1517x40(2)817=2=2=2=340.題型二等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用例2 (1)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a2=3, a6=11,則87等于()A. 13 B. 35 C. 49 D. 63(2)等差數(shù)列an與bn的前n項(xiàng)和分別是Sn和Tn,已知Sn=n7，則髀A. 7 B.3 C.10 D.21 3134(3)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an=2n+1(n N*),其前n項(xiàng)和為Sn,則數(shù)列Sn的前10項(xiàng)的和為答案(1)C (2)D (3)75解析a5(2)十a(chǎn)1

8、+ a92S9 7X9 21b1 + b9 T9 9+ 34-2-7,、 7,、 7_S7= 2(ai+ a7) =2但2 + a6) = 2(3 + 11)= 49.n 3+ 2n+ 1(3) Sn=2= n(n + 2).S"= n+2,數(shù)列Sn是以首項(xiàng)為3,公差為1的等差數(shù)列,Sn ， 一 一10X 9 . _，、的刖 10 項(xiàng)和為 10X3+ 2X 1 = 75.反思與感悟等差數(shù)列前n項(xiàng)和運(yùn)算的幾種思維方法n a+ an(1)整體思路：利用公式 Sn=2，設(shè)法求出整體 a1+an,再代入求解.(2)待定系數(shù)法：利用 Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，設(shè) 3=An2+Bn(Aw0),列出

9、方程組求出 A,Sn SnB即可，或利用是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè) =an+b(aw0)進(jìn)行計(jì)算.(3)利用Sn,跟蹤訓(xùn)練2S2n S, S3nS2n成等差數(shù)列進(jìn)行求解.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9等于()45 C. 36 D.27答案 B解析 由an是等差數(shù)列，得S3, S6-S3, S9S6 為等差數(shù)列，即2(S6-S3)= S3+(S9-S5),得到 S9-S6=2S6-3S3 = 45,即 a7+a8+a9=45.(2)已知兩個(gè)等差數(shù)列an與bn的前n(n>1)項(xiàng)和分別是 &和Tn,且Sn ： Tn=(2n+1) ： (3n-,、

10、a9 入2),求廣的值./b9ai + ai7,-X 17解方法a9 2a9 ai+a"2S17b9 2b9 bi+bi7 bi + bi7T17x i722XI7+I 35 5=-=二3XI72 49 7方法二.數(shù)列an, bn均為等差數(shù)列，.Sn= Ain2+Bin, Tn=A2n2+B2n.Sn 2n + i又干=,1n 3n-2，令 Sn=tn(2n+ i),Tn = tn(3n-2), tw 0,且 tC R. an = Sn Sn i= tn(2n + i)-t(n- i)(2n 2+ i)= tn(2n + i)-t(n- i)(2n i)= t(4n-i)(n>

11、2), bn=Tn Tn i= tn(3n-2)-t(n- i)(3n 5)= t(6n-5)(n>2).an t 4n一 i 4n 一 i :.bn t 6n 5 6n5a9_4X9i 35 56X9 5 =49 = 7.題型三等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式在實(shí)際中的應(yīng)用例3在我國古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì).例如，北京天壇圓丘的地面由扇環(huán)形的石板鋪成(如圖)，最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有 9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈.請問：(1)第9圈共有多少塊石板？(2)前9圈一共有多少塊石板？解(1)設(shè)從第1圈到第

12、9圈石板數(shù)所成數(shù)列為an,由題意可知an是等差數(shù)列，其中 ai = 9, d=9, n= 9.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得第9圈有石板a9=ai + (9 1加=9+(91)*9=81(塊).(2)由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得前9圈一共有石板9919x8S9= 9a 1 + 2d= 9X9 + 2-x 9= 405(塊).答 第9圈有81塊石板，前9圈一共有405塊石板.反思與感悟 建立等差數(shù)列的模型時(shí)，要根據(jù)題意找準(zhǔn)首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)或者首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù).跟蹤訓(xùn)練3植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植樹一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一棵樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自

13、樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，此最小值為 米.答案 2 000解析 假設(shè)20位同學(xué)是1號到20號依次排列，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，則樹苗需放在第10或第11號樹坑旁，此時(shí)兩側(cè)的同學(xué)所走的路程都組成以20為首項(xiàng)，20為公差的等差數(shù)列，故所有同學(xué)往返的總路程為9X810X9S= 9X20 + -2-X 20+ 10X 20+2 X 20=2 000 米.自夸自糾-當(dāng)堂檢測1.在等差數(shù)列an中，S10= 120,那么a1+a10的值是（）A. 12 B. 24 C. 36 D. 48答案 B10 ai + aio解析Sio=2= 5(ai + aio

14、) = 120, ai + aio = 24.2.已知數(shù)列an中，a3+a2+2a3a8=9,且 an<0,則 Sio等于()A. iB. iiC. - I3D. I5答案 D解析易知(a3+ a8)2= 9., an<0,a3+ a8= 3.I0 ai + aio I0 a3+ a8 Sio =2=2= i5.3.等差數(shù)列an的前四項(xiàng)之和為I24,后四項(xiàng)之和為I56,各項(xiàng)和為2io,則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()A. 5 B. 6 C. 7 D. 8答案 B解析由題意知 ai + a2+a3 + a4 = i24,an+ an1 + an2+ an3 = I56,-4(ai + an) = 28o,ai + an= 7o.n ai + an n又$= -2=2X7o = 2io, ."=6.4.已知an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.若ai+a2=3, S5=io,則a9的值是答案 2。解析 設(shè)等差數(shù)列an公差為d,由題意可得：ai+ ( ai+d) 2=- 3,_ 4a 5X4解得/ c5ai+ 2 d= io，d = 3,則 a9=ai + 8d=-4+8X3= 2o.答案 30 603解析:2100= 203,101X100S= 203 X 101 + 2X 2= 30 603.課堂小結(jié)11 .求等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法稱為倒序相加法，在某些