南京信息工程大學(xué)概率論

1、一一、離散型隨機(jī)變量的分布律離散型隨機(jī)變量的分布律二二、常見離散型隨機(jī)變量的概率分布常見離散型隨機(jī)變量的概率分布三三、小結(jié)小結(jié)第二節(jié)第二節(jié) 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 及其分布律及其分布律說明說明 ;, 2 , 1, 0)1( kpk. 1)2(1 kkp., 2, 1,), 2 , 1(的的分分布布律律稱稱此此為為離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量為為的的概概率率即即事事件件取取各各個(gè)個(gè)可可能能值值的的概概率率所所有有可可能能取取的的值值為為設(shè)設(shè)離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量XkpxXPxXXkxXkkkk 一、離散型隨機(jī)變量的分布律一、離散型隨機(jī)變量的分布律定義定義離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示

2、為離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示為 nnpppxxxX2121Xkpnxxx21nppp21.),(,.21,的分布律求相互獨(dú)立的設(shè)各組信號(hào)燈的工作是號(hào)燈的組數(shù)它已通過的信表示汽車首次停下時(shí)以車通過的概率允許汽每組信號(hào)燈以組信號(hào)燈的道路上需經(jīng)過四設(shè)一汽車在開往目的地XX解解,通過的概率通過的概率為每組信號(hào)燈禁止汽車為每組信號(hào)燈禁止汽車設(shè)設(shè) p則有則有kpX43210ppp)1( pp2)1 ( pp3)1 ( 4)1(p 例例1代代入入得得將將21 pXkp432105 . 025. 0 125. 0 0625. 0 0625. 0二、常見離散型隨機(jī)變量的概率分布二、常見離散型隨機(jī)變量的概率分

3、布 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 只可能取只可能取0與與1兩個(gè)值兩個(gè)值 , 它的分它的分布律為布律為Xkp0p 11p則稱則稱 X 服從服從 (01) 分布分布或或兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布.1.兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布 實(shí)例實(shí)例1 “拋硬幣拋硬幣”試驗(yàn)試驗(yàn),觀察正、反兩面情觀察正、反兩面情況況. 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 服從服從 (01) 分布分布., 1)(eXX , 0,正正面面當(dāng)當(dāng) e.反面反面當(dāng)當(dāng) eXkp012121其分布律為其分布律為實(shí)例實(shí)例2 200件產(chǎn)品中件產(chǎn)品中,有有190件合格品件合格品,10件不合格件不合格品品,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件,那末那末,若規(guī)定若規(guī)定 , 0, 1X取得不

4、合格品取得不合格品,取得合格品取得合格品.則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量 X 服從服從(0 1)分布分布.Xkp0120019020010 兩點(diǎn)分布是最簡(jiǎn)單的一種分布兩點(diǎn)分布是最簡(jiǎn)單的一種分布,任何一個(gè)只有任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象, 比如新生嬰兒是男還是比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等, 都屬于兩點(diǎn)都屬于兩點(diǎn)分布分布.說明說明兩點(diǎn)分布隨機(jī)數(shù)兩點(diǎn)分布隨機(jī)數(shù)演示演示將試驗(yàn)將試驗(yàn) E 重復(fù)進(jìn)行重復(fù)進(jìn)行 n 次次, 若各次試驗(yàn)的結(jié)果互若各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響不影響 , 即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率

5、都不依賴于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果它各次試驗(yàn)的結(jié)果, 則稱這則稱這 n 次試驗(yàn)是次試驗(yàn)是相互獨(dú)立相互獨(dú)立的的, 或稱為或稱為 n 次次重復(fù)獨(dú)立重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)試驗(yàn).(1) 重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)2.二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布(2) n 重重伯努利試驗(yàn)伯努利試驗(yàn).1)(),10()( .,:pAPppAPEAAE 此此時(shí)時(shí)設(shè)設(shè)為為伯伯努努利利試試驗(yàn)驗(yàn)則則稱稱及及只只有有兩兩個(gè)個(gè)可可能能結(jié)結(jié)果果設(shè)設(shè)試試驗(yàn)驗(yàn)伯努利資料伯努利資料. , 重重伯伯努努利利試試驗(yàn)驗(yàn) nnE復(fù)復(fù)的的獨(dú)獨(dú)立立試試驗(yàn)驗(yàn)為為則則稱稱這這一一串串重重次次獨(dú)獨(dú)立立地地重重復(fù)復(fù)地地進(jìn)進(jìn)行行將將實(shí)例實(shí)例1 拋一枚硬幣觀察得到正面或反面拋一枚硬幣觀察得到正

6、面或反面. 若將硬若將硬幣拋幣拋 n 次次,就是就是n重伯努利試驗(yàn)重伯努利試驗(yàn).實(shí)例實(shí)例2 拋一顆骰子拋一顆骰子n次次,觀察是否觀察是否 “出現(xiàn)出現(xiàn) 1 點(diǎn)點(diǎn)”, 就就是是 n重伯努利試驗(yàn)重伯努利試驗(yàn).(3) 二項(xiàng)概率公式二項(xiàng)概率公式,發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)重伯努利試驗(yàn)中事件重伯努利試驗(yàn)中事件表示表示若若AnX所有可能取的值為所有可能取的值為則則 X., 2, 1, 0n,)0(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nkkX .次次次試驗(yàn)中發(fā)生了次試驗(yàn)中發(fā)生了在在即即knA 次次kAAA, 次次knAAA 次次1 kAAAA A 次次1 knAAA次次的的方方式式共共有有次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中發(fā)發(fā)生生在在得得knA,種種 kn且兩

7、兩互不相容且兩兩互不相容.nknknnkpqpknpqnqpnkX 1110稱這樣的分布為稱這樣的分布為二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布.記為記為).,(pnbX次次的的概概率率為為次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中發(fā)發(fā)生生在在因因此此knAknkppkn )1(pq 1記記knkqpkn 的分布律為的分布律為得得 X二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布1 n兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布例如例如 在相同條件下相互獨(dú)立地進(jìn)行在相同條件下相互獨(dú)立地進(jìn)行 5 次射擊次射擊,每每次射擊時(shí)擊中目標(biāo)的概率為次射擊時(shí)擊中目標(biāo)的概率為 0.6 ,則擊中目標(biāo)的次則擊中目標(biāo)的次數(shù)數(shù) X 服從服從 b (5,0.6) 的二項(xiàng)分布的二項(xiàng)分布.5) 4 . 0(44 . 06 . 0

8、15 324 . 06 . 025 234 . 06 . 035 4 . 06 . 0454 56 . 0Xkp012345二項(xiàng)分布隨機(jī)數(shù)二項(xiàng)分布隨機(jī)數(shù)演示演示.,400,02. 0,率率試試求求至至少少擊擊中中兩兩次次的的概概次次獨(dú)獨(dú)立立射射擊擊設(shè)設(shè)每每次次射射擊擊的的命命中中率率為為某某人人進(jìn)進(jìn)行行射射擊擊解解,X設(shè)擊中的次數(shù)為設(shè)擊中的次數(shù)為).02. 0 ,400( bX則則的分布律為的分布律為X,)98. 0()02. 0(400400 kkkkXP .400, 1 , 0 k因此因此1012 XPXPXP399400)98. 0)(02. 0(400)98. 0(1 .9972. 0

9、 ),0001. 0 , 1000( bX例例2 有一繁忙的汽車站有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過每天有大量汽車通過,設(shè)設(shè)每輛汽車在一天的某段時(shí)間內(nèi)每輛汽車在一天的某段時(shí)間內(nèi),出事故的概率為出事故的概率為0.0001,在每天的該段時(shí)間內(nèi)有在每天的該段時(shí)間內(nèi)有1000 輛汽車通過輛汽車通過, 問問出事故的次數(shù)不小于出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少的概率是多少?99910009999.00001.0110009999.01 設(shè)設(shè) 1000 輛車通過輛車通過,出事故的次數(shù)為出事故的次數(shù)為 X , 則則解解 1 0 1 2 X PX PX P例例3故所求概率為故所求概率為)( nnp 二項(xiàng)分布二項(xiàng)

10、分布 泊松分布泊松分布).(,.0,2,1,0,!e,2,1,0 XXkkkXPk記記為為布布的的泊泊松松分分服服從從參參數(shù)數(shù)為為則則稱稱是是常常數(shù)數(shù)其其中中值值的的概概率率為為而而取取各各個(gè)個(gè)的的值值為為設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量所所有有可可能能取取 3. 泊松分布泊松分布 泊松資料泊松資料泊松分布的背景及應(yīng)用泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí)與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí), ,他他們做了們做了2608次觀察次觀察( (每次時(shí)間為每次時(shí)間為7.5秒秒) )發(fā)現(xiàn)放射發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)

11、間內(nèi)性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi), , 其放射的粒子數(shù)其放射的粒子數(shù)X 服從泊松分布服從泊松分布. . 在生物學(xué)在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中 , 泊松分布是常見的泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)等話呼喚次數(shù)等, 都服從泊松分布都服從泊松分布.電話呼喚次數(shù)電話呼喚次數(shù) 1 0 1 2 X PX PX P交通事故次數(shù)交通事故次數(shù)商場(chǎng)接待的顧客數(shù)商場(chǎng)接待的顧客數(shù)地震地震火山爆發(fā)火山爆發(fā)特大洪水特大洪水上面我們提到上面我們提到單擊圖形播放單擊圖形播放/ /

12、暫停暫停ESCESC鍵退出鍵退出, 1 . 00001. 01000 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 泊松分布泊松分布).(,.0,2,1,0,!e,2,1,0 XXkkkXPk記記為為布布的的泊泊松松分分服服從從參參數(shù)數(shù)為為則則稱稱是是常常數(shù)數(shù)其其中中值值的的概概率率為為而而取取各各個(gè)個(gè)的的值值為為設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量所所有有可可能能取取 設(shè)設(shè)1000 輛車通過輛車通過,出事故的次數(shù)為出事故的次數(shù)為 X , 則則可利用泊松定理計(jì)算可利用泊松定理計(jì)算99910009999.00001.0110009999.01 所求概率為所求概率為.0047.0!1e1.0!0e11.01.0 2 XP解解 1 01 2

13、XPXPXP),0001.0,1000(bX 1 0 1 2 X PX PX P例例4 有一繁忙的汽車站有一繁忙的汽車站, 每天有大量汽車通過每天有大量汽車通過,設(shè)每輛汽車設(shè)每輛汽車,在一天的某段時(shí)間內(nèi)出事故的概率在一天的某段時(shí)間內(nèi)出事故的概率為為0.0001,在每天的該段時(shí)間內(nèi)有在每天的該段時(shí)間內(nèi)有1000 輛汽車通輛汽車通過過,問出事故的次數(shù)不小于問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少的概率是多少?離散型隨機(jī)變量的分布離散型隨機(jī)變量的分布10 10 . p, n 兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布泊松分布泊松分布二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布泊松分布泊松分布1 n兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布).,(,)10(), 2 ,

14、 1(, 0, 1,)10(21pnXXXXniiiXpnni參參數(shù)數(shù)為為服服從從二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布那那末末分分布布并并且且相相互互獨(dú)獨(dú)立立它它們們都都服服從從次次試試驗(yàn)驗(yàn)失失敗敗若若第第次次試試驗(yàn)驗(yàn)成成功功若若第第設(shè)設(shè)每每次次試試驗(yàn)驗(yàn)成成功功的的概概率率為為立立重重復(fù)復(fù)伯伯努努里里試試驗(yàn)驗(yàn)次次獨(dú)獨(dú)對(duì)對(duì)于于分分布布的的推推廣廣二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布是是 三、小結(jié)三、小結(jié).) 1 0 (. 2關(guān)關(guān)系系分分布布、泊泊松松分分布布之之間間的的二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布與與 ).,2,1,0(,e!)()1(,)(,nkknpppknkXPnnppnnpkknk 即即為為參參數(shù)數(shù)的的泊泊松松分分布布于于以以時(shí)時(shí)趨趨當(dāng)當(dāng)為為參參數(shù)數(shù)的的二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布以以