高考數(shù)學(xué)參數(shù)方程和普通方程的互化練習(xí)

1、【參數(shù)方程和普通方程的互化】例1求曲線(xiàn)（為參數(shù)）與曲線(xiàn)（為參數(shù)）的交點(diǎn)解：把代入得：兩式平方相加可得（舍去）于是即所求二曲線(xiàn)的交點(diǎn)是（，）說(shuō)明：在求由參數(shù)方程所確定的兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)時(shí)，最好由參數(shù)方程組求解，如果化為普通方程求交點(diǎn)時(shí)要注意等價(jià)性如該例若化為普通方程求解時(shí)要注意點(diǎn)（，）是增解例2化直線(xiàn)的普通方程為參數(shù)方程（其中傾斜角滿(mǎn)足且）解法一：因，故設(shè)。取為參數(shù)，則得所求參數(shù)方程解法二：如圖，（）為直線(xiàn)上的定點(diǎn)，為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)因動(dòng)點(diǎn)M與的數(shù)量一一對(duì)應(yīng)（當(dāng)M在的向上方向或正右方時(shí)，；當(dāng)M在的下方或正左方時(shí)，；當(dāng)M與重合時(shí)，），故取為參數(shù)過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)，兩直線(xiàn)相交于點(diǎn)Q（如圖

2、）則有即為所求的參數(shù)方程。說(shuō)明：在解法二中，不必限定，即不必限定，由此可知，無(wú)論中任意值時(shí)，所得方程都是經(jīng)過(guò)（），傾斜角為的直線(xiàn)的參數(shù)方程可稱(chēng)它是直線(xiàn)參數(shù)方程的“點(diǎn)角式”或“標(biāo)準(zhǔn)式”要充分理解解法二所示的參數(shù)的幾何意義，這對(duì)解決某些問(wèn)題較為方便如果取為參數(shù)，則得直線(xiàn)參數(shù)方程一般地，直線(xiàn)的參數(shù)方程的一般形式是（，為參數(shù)）但只有當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，這個(gè)一般式才是標(biāo)準(zhǔn)式，參數(shù)才具有上述的幾何意義例3求橢圓的參數(shù)方程分析一：把與對(duì)比，不難發(fā)現(xiàn)，可設(shè)，也可設(shè)解法一：設(shè)（為參數(shù)），則故因此，所得參數(shù)方程是（）或（）由于曲線(xiàn)（）上的點(diǎn)（，），就是曲線(xiàn)（）上的點(diǎn)（，），所以曲線(xiàn)（）上的點(diǎn)都是曲線(xiàn)（）上的點(diǎn)顯然橢圓

3、的參數(shù)方程是分析二：借助于橢圓的輔助圓，可明確橢圓參數(shù)方程中的幾何意義解法二：以原點(diǎn)O為圓心，為半徑作圓，如圖設(shè)以軸正半軸為始邊，以動(dòng)半徑OA為終邊的變角為，過(guò)點(diǎn)A作軸于N，交橢圓于M，取為參數(shù)，則點(diǎn)M（）的橫坐標(biāo)（以下同解法一）由解法二知，參數(shù)是點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的圓半徑OA的轉(zhuǎn)角，而不是OM的轉(zhuǎn)角，因而稱(chēng)為橢圓的離角（如果以O(shè)為圓心，為半徑作圓，過(guò)M作，交圓于B，由可知也是半徑OB的轉(zhuǎn)角） 例4用圓上任一點(diǎn)的半徑與x軸正方向的夾角為參數(shù)，把圓化為參數(shù)方程。分析：由圓的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義可把圓上任意一點(diǎn)化為的參數(shù)形式。解：如圖所示，圓方程化為，設(shè)圓與x軸正半軸交于A，為圓上任一點(diǎn)，過(guò)P作軸于B，O

4、P與x軸正半軸所成角為，則：又中，此圓的參數(shù)方程為例5設(shè)（為參數(shù)）把普通方程化為以為參數(shù)的參數(shù)方程。解：把代入原方程，得，解得參數(shù)方程為（為參數(shù)）與表示的是同一曲線(xiàn)，所以它們是等價(jià)的，可以省略一個(gè)。所求參數(shù)方程例6化雙曲線(xiàn)為參數(shù)方程。解：設(shè)，代入為，得的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）這是同學(xué)中較為常見(jiàn)的解法，這種解法是錯(cuò)誤的，那么錯(cuò)在哪里呢？請(qǐng)你找出來(lái)。錯(cuò)誤在于，雙曲線(xiàn)上x(chóng)的取值范圍是不等于零的一切實(shí)數(shù)，錯(cuò)解中得到的參數(shù)方程中x的取值范圍僅僅，故錯(cuò)解中得到的參數(shù)方程只表示雙曲線(xiàn)上一部分，不符合普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性要求，普通方程化為參數(shù)方程時(shí)關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，注意使所得參數(shù)方程與原普通方程中變

5、量x、y的允許值范圍要保持一致。下面給出正確解法：設(shè)，代入得。的參數(shù)方程為：（為參數(shù)，）例7化參數(shù)方程（為參數(shù)）為普通方程。分析一：用代入消元法，從已知方程中解出參數(shù)，代入后消去參數(shù)。解法一：即將它代入（1），并化簡(jiǎn)得（）分析二：用整體消參法。注意表達(dá)式的分母相同，而分子的平方和恰為原來(lái)相同的分母。解法二：得又于是得所求普通方程為即分析三：因?yàn)椋?。從表達(dá)式可聯(lián)想萬(wàn)能公式。于是可用三角變換，然后利用三角公式再消參。解法三：，可令（，）又于是得得即，（）（）即，普通方程是（）說(shuō)明：解法一是用代入法消參，解法二是整體消參法，解法三是運(yùn)用萬(wàn)能公式，三角變換消參，三種解法中都應(yīng)注意的限制條件，使參數(shù)

6、方程化為普通方程時(shí)保持等價(jià)性。例8將下列參數(shù)方程（其中，為參數(shù)）化為普通方程。（1）（2）（3）解：（1）（）為所求。（2）由，得（）將它代入，并化簡(jiǎn)得（）另解：并整理得（）（3）且所求普通方程為說(shuō)明：（1）小題是用三角公式變形后用代入法消參，（2）是用代入（消元）法消參變形后整體消參，（3）小題是通過(guò)代數(shù)變換法消參。但都應(yīng)特別注意等價(jià)性。例9對(duì)于方程（a，b為常數(shù)）（1）當(dāng)t為常數(shù)，為參數(shù)時(shí)，方程表示何種曲線(xiàn)；（2）當(dāng)t為參數(shù)，為常數(shù)時(shí)，方程表示何種曲線(xiàn)解：（1）當(dāng)t為常數(shù)，原方程可變形為兩式平方相加得即這是以（a，b）為圓心，為半徑的圓。（2）當(dāng)為常數(shù)時(shí)，由第一式得代入第二式得即這是過(guò)點(diǎn)（

7、a，b），斜率為的一條直線(xiàn)小結(jié)：同一參數(shù)方程，由于參數(shù)不同，所表示的曲線(xiàn)也不同，消去參數(shù)化為普通方程后，曲線(xiàn)的類(lèi)型也就顯現(xiàn)出來(lái)。例10已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P（2，0），斜率為。直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M。求：（1）線(xiàn)段PM的長(zhǎng)；（2）M點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）線(xiàn)段AB的長(zhǎng)解：如圖。（1）由直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P（2，0），斜率為。設(shè)其傾斜角為，則有可得直線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為：（其中為參數(shù)）設(shè)直線(xiàn)上兩點(diǎn)A、B分別對(duì)應(yīng)參數(shù)、，由方程組：消去可得：有，由M為AB的中點(diǎn)，（2）設(shè)M點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為，則有 M點(diǎn)坐標(biāo)為：M點(diǎn)坐標(biāo)為（，）（3）由分別代入，可得點(diǎn)撥：利用直線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何含義，在解決諸如直線(xiàn)

8、上的兩點(diǎn)距離、某兩點(diǎn)的中點(diǎn)以及與此相關(guān)的一些問(wèn)題時(shí)，顯得很方便和簡(jiǎn)捷。例11已知橢圓上的一個(gè)點(diǎn)P（），求的最值。解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為：（為參數(shù)，），（其中）即的最大值是，最小值是。點(diǎn)撥：這個(gè)題雖然很簡(jiǎn)單，但它說(shuō)明了一個(gè)道理：曲線(xiàn)的參數(shù)方程不僅表示了曲線(xiàn)，同時(shí)也表示了曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)當(dāng)曲線(xiàn)的參數(shù)方程表示曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，實(shí)際上起到了消元的作用，即用一個(gè)參數(shù)表示了、，因此，在求某些幾何量的最值時(shí)，參數(shù)方程可以起到一元化即消元的作用例12過(guò)點(diǎn)M（2，1）作曲線(xiàn)（為參數(shù)）的弦AB，若M為AB的三等分點(diǎn)，求AB直線(xiàn)方程。解：設(shè)AB的方程為（t為參數(shù)），將x，y代入曲線(xiàn)（為參數(shù)）即，整理、化簡(jiǎn)得，點(diǎn)M

9、在AB的內(nèi)部。將、代入上式有。解得，則AB的方程為小結(jié)：本題是首先設(shè)出過(guò)定點(diǎn)的參數(shù)方程，然后和橢圓方程聯(lián)立，再利用韋達(dá)定理及直線(xiàn)參數(shù)方程中t的意義，求得斜率，用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程。例13圓O內(nèi)一定點(diǎn)A，過(guò)A任作兩互相垂直的弦，求證這兩弦長(zhǎng)的平方和為定值。證明：以圓心O為原點(diǎn)，OA所在的直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓的方程，過(guò)定點(diǎn)互相垂直的兩弦PQ、RS的方程分別為即分別代入圓方程，得，其二根為、，其二根為、，故有兩弦平方和為定值小結(jié)：涉及圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題，可利用直線(xiàn)參數(shù)方程來(lái)解。例14已知是拋物線(xiàn)的一動(dòng)弦，O為原點(diǎn)。當(dāng)恒為直角時(shí)，如圖求弦的中點(diǎn)P的軌跡方程。分析點(diǎn)P是的中點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)與，的坐標(biāo)，、相關(guān)，如果選取，、作為參數(shù)，則要列出，、有關(guān)的五個(gè)方程，最后消去參數(shù)，、就可以得到P點(diǎn)的軌跡方程。解設(shè)P（），（，），（，）P是的中點(diǎn)，在拋物上又恒為直角，即由：由：把、式代入得： P點(diǎn)的軌跡方程是說(shuō)明此題的解法是利用參數(shù)求點(diǎn)的軌跡方程，