高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題輔導(dǎo)資料專題2分類討論

1、【專題二】分類討論思想【考情分析】分類討論是解決問(wèn)題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想對(duì)于簡(jiǎn)化研究對(duì)象，發(fā)展人的思維有著重要幫助，因此，有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要位置。所謂分類討論，就是當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對(duì)每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答.實(shí)質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略.分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它在人的思維發(fā)展中有著重要的作用，因此在近幾年的高考試題中，他都被列為一種重要的思維方法來(lái)考察。分類討論是每年高考必考的內(nèi)容，預(yù)測(cè)2011年高考對(duì)本專

2、題的考察為：將有一道中檔或中檔偏上的題目，其求解思路直接依賴于分類討論，特別關(guān)注以下方面：涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)底的討論，含參數(shù)的一元二次不等式、等比數(shù)列求和，由求等?！局R(shí)交匯】分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)問(wèn)題的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究的對(duì)象進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類分別研究，給出每一類的結(jié)果，最終綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答。1分類討論思想就是依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)問(wèn)題分類、求解，要特別注意分類必須滿足互斥、無(wú)漏、最簡(jiǎn)的原則。有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)問(wèn)題需要運(yùn)用分類討論思想來(lái)解決，引起分類討論的原因大致可歸納為如下幾種：（1）涉及的數(shù)學(xué)概念是分類討論的；如絕對(duì)值|a|的定義分a>0、

3、a0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。再有：直線的斜率、指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)、直線與平面的夾角等定義包含了分類；（2）運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式、或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的；如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，分q1和q1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質(zhì)型。再有，圓錐曲線的統(tǒng)一定義中圖形的分類等；（3）由實(shí)際意義分類。如排列、組合、概率中較常見，但不明顯、有些應(yīng)用問(wèn)題也需分類討論；（4）數(shù)學(xué)問(wèn)題中含有參變量，這些參變量的不同取值導(dǎo)致不同的結(jié)果的；如解不等式ax>2時(shí)分a>0、a0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。（5）較復(fù)雜或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，需要采取分類討論的解題

4、策略來(lái)解決的。在學(xué)習(xí)中也要注意優(yōu)化策略，有時(shí)利用轉(zhuǎn)化策略，如反證法、補(bǔ)集法、變更多元法、數(shù)形結(jié)合法等簡(jiǎn)化甚至避開討論。2分類討論是一種邏輯方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中有極廣泛的應(yīng)用。根據(jù)不同標(biāo)準(zhǔn)可以有不同的分類方法，但分類必須從同一標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，做到不重復(fù)，不遺漏 ，包含各種情況，同時(shí)要有利于問(wèn)題研究；3分類原則：（1）對(duì)所討論的全域分類要“即不重復(fù)，也不遺漏”（2）在同一次討論中只能按所確定的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行（3）對(duì)多級(jí)討論，應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行，不能越級(jí)；4分類方法：（1）概念和性質(zhì)是分類的依據(jù)（2）按區(qū)域（定義域或值域）進(jìn)行分類是基本方法（3）不定因素（條件或結(jié)論不唯一，數(shù)值大小的不確定，圖形位置的不確定）是分類的

5、突破口（4）二分發(fā)是分類討論的利器（4）層次分明是分類討論的基本要求；5討論的基本步驟：(1)明確討論的對(duì)象：即對(duì)哪個(gè)參數(shù)進(jìn)行討論；(2)對(duì)所討論的對(duì)象進(jìn)行合理分類(分類時(shí)要做到不重復(fù)、不遺漏、標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一、分層不越級(jí))；(3)逐類討論：即對(duì)各類問(wèn)題詳細(xì)討論，逐步解決。(4)歸納總結(jié)：將各類情況總結(jié)歸納；6簡(jiǎn)化和避免分類討論的優(yōu)化策略：（1）直接回避。如運(yùn)用反證法、求補(bǔ)法、消參法等方法有時(shí)可以避開煩瑣討論；（2）變更主元。如分離參數(shù)、變參置換，構(gòu)造以討論對(duì)象為變量的函數(shù)得便感形式解題時(shí)可避開討論；（3）合理運(yùn)算。如利用函數(shù)奇偶性、變量的對(duì)稱輪換以及公式的合理選用等有時(shí)可以簡(jiǎn)化甚至避開討論；（4）

6、數(shù)形結(jié)合。利用函數(shù)圖象、幾何圖形的直觀性和對(duì)稱特點(diǎn)有時(shí)可以簡(jiǎn)化甚至避開討論。【思想方法】題型1：集合中分類討論問(wèn)題例1已知集合M=a2, a+1,3, N=a3,2a1, a2+1, 若MN=3, 則a的值（ ）A1 B0 C1 D2解析：A；MN=-3， N=a-3，2a-1，a2+1，若a3=-3, 則a=0,此時(shí)M=0,1,3，N=3，1，1，則 MN=-3，1，故不適合。若2a1=3，則a=1，此時(shí)M=1, 0,3, N=4,3, 2，若a2+1=3，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解。點(diǎn)評(píng)：該題結(jié)合集合的運(yùn)算考查了分類討論思想，分類的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合集合的性質(zhì)：無(wú)序性、互異性、確定性。例2（2010湖北理數(shù)）記

7、實(shí)數(shù)，中的最大數(shù)為max，最小數(shù)為min。已知ABC的三邊長(zhǎng)位a,b,c（），定義它的親傾斜度為則“=1”是“ABC為等邊三角形”的（ ）A必要而不充分的條件 B充分而不必要的條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案：A；解析：若ABC為等邊三角形時(shí)，即a=b=c，則則l=1；若ABC為等腰三角形，如a=2,b=2,c=3時(shí)，則，此時(shí)l=1仍成立但ABC不為等邊三角形,所以A正確。點(diǎn)評(píng)：把握含參數(shù)問(wèn)題參數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)最為關(guān)鍵，像三角形的分類帶來(lái)的參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)的分類是解題的關(guān)鍵。題型2：函數(shù)、方程中分類討論問(wèn)題例3（2011天津文16）設(shè)函數(shù)對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；【解析】解法1顯然，由

8、于函數(shù)對(duì)是增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，不恒成立，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)在 是減函數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，取得最大值，于是恒成立等價(jià)于的最大值，即，解得于是實(shí)數(shù)的取值范圍是解法2然，由于函數(shù)對(duì)是增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，不成立，因此，因?yàn)椋瑒t，設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，于是時(shí)，取得最小值解得于是實(shí)數(shù)的取值范圍是解法3因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，所以對(duì)，不等式也成立，于是，即，解得于是實(shí)數(shù)的取值范圍是點(diǎn)評(píng)：含有參數(shù)的二次函數(shù)的最值問(wèn)題歷來(lái)就是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵一點(diǎn)就是緊扣對(duì)稱軸，依此來(lái)展開有條理性的分類討論。例4（2011四川理22）（四川理22）已知函數(shù)，（）設(shè)函數(shù)F(x)f(x)h(x)，求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

9、（）設(shè)，解關(guān)于x的方程；（）試比較與的大小本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的證明、解方程等基本知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類與整合、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想方法及推理運(yùn)算、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力解：（）由（）知，令，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；時(shí)，是增函數(shù)函數(shù)在處有得極小值（）方法一：原方程可化為，即為，且當(dāng)時(shí)，則，即，此時(shí)，此時(shí)方程僅有一解當(dāng)時(shí)，由，得，若，則，方程有兩解；若時(shí)，則，方程有一解；若或，原方程無(wú)解方法二：原方程可化為，即，當(dāng)時(shí)，原方程有一解；當(dāng)時(shí)，原方程有二解；當(dāng)時(shí)，原方程有一解；當(dāng)或時(shí)，原方程無(wú)解（）由已知得設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（）從而，當(dāng)時(shí)，又即對(duì)任意時(shí)，有

10、，又因?yàn)?，所以故點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、方程等基本知識(shí)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。題型3：解析幾何中的分類討論問(wèn)題例5（2011山東理22）（山東理22） 已知?jiǎng)又本€與橢圓C: 交于P、Q兩不同點(diǎn)，且OPQ的面積=,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).（）證明和均為定值;（）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求的最大值；（）橢圓C上是否存在點(diǎn)D,E,G，使得?若存在，判斷DEG的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（I）解：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，所以因?yàn)樵跈E圓上，因此又因?yàn)樗杂?、得此時(shí)（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為由題意知m，將其代入，得，其中

11、即（*）又所以因?yàn)辄c(diǎn)O到直線的距離為所以又整理得且符合（*）式，此時(shí)綜上所述，結(jié)論成立。（II）解法一：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由（I）知因此（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（I）知所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.綜合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值為解法二：因?yàn)樗约串?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。因此 |OM|·|PQ|的最大值為（III）橢圓C上不存在三點(diǎn)D， E，G，使得證明：假設(shè)存在，由（I）得因此D，E，G只能在這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn)，而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過(guò)原點(diǎn)，與矛盾，所以橢圓C上不存在滿足條件的三點(diǎn)D，E，G。點(diǎn)評(píng)：處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，待定直

12、線方程需要考慮斜率不存在這種情況，分類討論。例6已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：x2+y2=1，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與|MQ|的比等于常數(shù)（0）。求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，說(shuō)明它表示什么曲線。 解析：如圖，設(shè)直線MN切圓O于N，則動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是：P=M|MN|=|MQ|(其中>0) ，圓半徑|ON|=1，|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|21，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則，整理得：，經(jīng)檢驗(yàn)，坐標(biāo)適合這個(gè)方程的點(diǎn)都屬于集合P，故這個(gè)方程為所求的軌跡方程。當(dāng)=1時(shí)，方程化為 ，它表示一條直線，該直線與x軸垂直且交x軸于點(diǎn)；當(dāng)1時(shí)，方程化為，它表示圓，該圓圓心的坐標(biāo)為

13、 ，半徑為。點(diǎn)評(píng)：本題在求出軌跡方程之后，在判定為何曲線時(shí)，因參數(shù)引起了分類討論：一些問(wèn)題中的數(shù)學(xué)表達(dá)式中因含有會(huì)導(dǎo)致不同結(jié)論的參數(shù)，從而需對(duì)參數(shù)分情況討論，求得問(wèn)題的結(jié)果。題型4：不等式中分類討論問(wèn)題例7解不等式>0 (a為常數(shù)，a)分析：含參數(shù)的不等式，參數(shù)a決定了2a1的符號(hào)和兩根4a、6a的大小，故對(duì)參數(shù)a分四種情況a>0、a0、<a<0、a<分別加以討論。解析：2a1>0時(shí)，a>； 4a<6a時(shí)，a>0 。所以分以下四種情況討論：當(dāng)a>0時(shí)，(x4a)(x6a)>0，解得：x<4a或x>6a；當(dāng)a0時(shí)，x&

14、gt;0，解得：x0；當(dāng)<a<0時(shí)，(x4a)(x6a)>0，解得: x<6a或x>4a；當(dāng)a>時(shí)，(x4a)(x6a)<0，解得： 6a<x<4a 。綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，x<4a或x>6a；當(dāng)a0時(shí)，x0；當(dāng)<a<0時(shí)，x<6a或x>4a；當(dāng)a>時(shí)，6a<x<4a 。點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是確定對(duì)參數(shù)a分四種情況進(jìn)行討論，做到不重不漏。一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問(wèn)題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對(duì)結(jié)果的影響而進(jìn)行分類討論，此種題型為含參型。例8 解析：，；，； 綜上所述，得原不等式的解集為

15、：；。點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)含參數(shù)a的不等式，一定是二次不等式嗎？不一定，故首先對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)a分類：（1）a0（2）a=0，對(duì)于（2），不等式易解；對(duì)于（1），又需再次分類：a>0或a<0，因?yàn)檫@兩種情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在兩根之外，還是在兩根之間。而確定這一點(diǎn)之后，又會(huì)遇到1與誰(shuí)大誰(shuí)小的問(wèn)題，因而又需作一次分類討論。故而解題時(shí)，需要作三級(jí)分類。題型5：數(shù)列中分類討論問(wèn)題例9（2011天津理20）已知數(shù)列與滿足：，且（）求的值；（）設(shè)，證明：是等比數(shù)列；（III）設(shè)證明：本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問(wèn)題的

16、能力及分類討論的思想方法.滿分14分.（I）解：由可得又（II）證明：對(duì)任意，得將代入，可得，即又因此是等比數(shù)列.（III）證明：由（II）可得，于是，對(duì)任意，有將以上各式相加，得即，此式當(dāng)k=1時(shí)也成立.由式得從而所以，對(duì)任意，對(duì)于n=1，不等式顯然成立.所以，對(duì)任意點(diǎn)評(píng)：數(shù)列證明中的數(shù)學(xué)歸納法是一個(gè)需要牢記的分類遞進(jìn)推理過(guò)程，證明格式相對(duì)嚴(yán)格、規(guī)范。例10（2010四川理數(shù)）已知數(shù)列an滿足a10，a22，且對(duì)任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2（）求a3，a5；（）設(shè)bna2n1a2n1(nN*)，證明：bn是等差數(shù)列；（）設(shè)cn(an+1an)qn1(q0，nN*)

17、，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn。解：(1)由題意，零m2,n1,可得a32a2a126，再令m3,n1，可得a52a3a1820。(2)當(dāng)nN*時(shí)，由已知(以n2代替m)可得：a2n3a2n12a2n18。于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8，即 bn1bn8。所以bn是公差為8的等差數(shù)列(3)由(1)(2)解答可知bn是首項(xiàng)為b1a3a16,公差為8的等差數(shù)列則bn8n2，即a2n+=1a2n18n2另由已知(令m1)可得：an-(n1)2.那么an1an2n12n12n于是cn2nqn1.當(dāng)q1時(shí)，Sn2462nn(n1)當(dāng)q1時(shí)，Sn2·q04·q16&

18、#183;q22n·qn1.兩邊同乘以q，可得qSn2·q14·q26·q32n·qn.上述兩式相減得 (1q)Sn2(1qq2qn1)2nqn2·2nqn2·，所以Sn2·綜上所述，Sn。點(diǎn)評(píng)：等比數(shù)列的求和公式只適合于，特別公比中含參數(shù)時(shí)，需要分類討論。題型6：三角函數(shù)與三角形中分類討論問(wèn)題例11解析：，；這與三角形的內(nèi)角和為180°相矛盾。，因此，只要根據(jù)已知條件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA時(shí)，是一解還是兩解？這一點(diǎn)需經(jīng)過(guò)討論才能確定，故解本題時(shí)要分類討論。對(duì)

19、角A進(jìn)行分類。例12若函數(shù)f(x)=a+bcosx+csinx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)和時(shí)，|f(x)|2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：f(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)和f(x)=a+(1-a)cosx+(1-a)sinx=a+(1-a)(sinx+cosx)，。(1)a<1時(shí)，1-a>0，要使-2f(x)2，恒成立，只要，即。；(2)a=1時(shí)，(3)a>1時(shí)，1-a<0，要使-2f(x)2恒成立，只要，解得，綜上所術(shù)，a的取值范圍為。點(diǎn)評(píng)：含參數(shù)的三角函數(shù)問(wèn)題，也需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論。題型7：實(shí)際問(wèn)題中分類討論問(wèn)題例13某城市用水收費(fèi)方法是：水費(fèi)=基本費(fèi)+超額費(fèi)+排污費(fèi)，

20、若每月水量不超過(guò)最低限量am3時(shí)，只付基本費(fèi)8元和每戶每定額排污費(fèi)c元；若用水量超過(guò)am3時(shí)，除了付給同上的基本費(fèi)和排污費(fèi)外，超過(guò)部分每方米付b元的超額費(fèi)已知每戶每月的排污費(fèi)不超過(guò)4元，該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費(fèi)用如下表所示：月份用水量（m3）水費(fèi)（元）1892151931315解析：設(shè)每月用水量為xm3，支付費(fèi)用為y元， 則由題意知0c4，8+c12，故第2、3月份用水量15 am3,13 am3大于最低用水限量am3，將 分別代入 中，得  再分析1月份用水量是否超過(guò)最低限量am3。不妨設(shè)8a，將中，得9=8+2（8a）+c，得2a=c+15 ，顯然、矛盾，1月份用水量不超過(guò)最低限量。 又y=8+c ，9=8+c,c=1，a=10,b=2,c=1。點(diǎn)評(píng)：本題為實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，在解題過(guò)程中，隱含著分類討論：a>8,a=8,a<8，根據(jù)條件，逐一討論，使問(wèn)題得以解決【思維總結(jié)】分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種重要的解題策略，它可以將整體化為局部，將復(fù)雜問(wèn)題化為單一問(wèn)題，以便于“各個(gè)擊破”。但由于分類討論一般過(guò)程較為冗長(zhǎng)，敘述較為煩瑣，且極易在完備上造成失誤，因此它并非一定是解決問(wèn)題的上策或良策，我們提倡在熟悉和掌握分類