高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)詳細(xì)資料精品——向量

1、2010高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)詳細(xì)資料(精品)向量知識(shí)清單一、向量的有關(guān)概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用來表示向量的有向線段的長(zhǎng)度).2.向量的表示方法:字母表示法:如等.幾何表示法:用一條有向線段表示向量.如,等.坐標(biāo)表示法:在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)向量的起點(diǎn)O為在坐標(biāo)原點(diǎn),終點(diǎn)A坐標(biāo)為,則稱為的坐標(biāo),記為=.注:向量既有代數(shù)特征,又有幾何特征,它是數(shù)形兼?zhèn)涞暮霉ぞ?3.相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.兩向量與相等,記為.注:向量不能比較大小,因?yàn)榉较驔]有大小.4.零向量:長(zhǎng)度為零的向量叫零向量.零向量只有一個(gè),其方向是

2、任意的.5.單位向量:長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.單位向量有無數(shù)個(gè),每一個(gè)方向都有一個(gè)單位向量.6.共線向量:方向相同或相反的非零向量,叫共線向量.任一組共線向量都可以移到同一直線上.規(guī)定:與任一向量共線.注:共線向量又稱為平行向量.7.相反向量: 長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.二、向量的運(yùn)算(一)運(yùn)算定義向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積,這些運(yùn)算的定義都是 “自然的”，它們都有明顯的物理學(xué)的意義及幾何意義. 其中向量的加減法運(yùn)算結(jié)果仍是向量，兩個(gè)向量數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量。研究這些運(yùn)算,發(fā)現(xiàn)它們有很好地運(yùn)算性質(zhì),這些運(yùn)算性質(zhì)為我們用向量研究問題奠定了基礎(chǔ),向量確實(shí)是一個(gè)好工具.特別是向

3、量可以用坐標(biāo)表示,且可以用坐標(biāo)來運(yùn)算,向量運(yùn)算問題可以完全坐標(biāo)化. 刻劃每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號(hào)、坐標(biāo)語言。主要內(nèi)容列表如下：運(yùn) 算圖形語言符號(hào)語言坐標(biāo)語言加法與減法+=記=(x1,y1),=(x1,y2)則=(x1+x2,y1+y2)=（x2-x1,y2-y1）+=實(shí)數(shù)與向量的乘積=R記=(x,y)則=(x,y)兩個(gè)向量的數(shù)量積記則·=x1x2+y1y2(二)運(yùn)算律加法：(交換律); (結(jié)合律)實(shí)數(shù)與向量的乘積：; ;兩個(gè)向量的數(shù)量積:·=· ()·=·()=(·);(+)·=·+·注

4、：根據(jù)向量運(yùn)算律可知，兩個(gè)向量之間的線性運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘積的運(yùn)算法則，正確遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡(jiǎn)化向量的運(yùn)算，例如(±)2=(三)運(yùn)算性質(zhì)及重要結(jié)論平面向量基本定理:如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù),使，稱為的線性組合。其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底;平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線向量的方向分解為兩個(gè)向量的和,并且這種分解是唯一的.這說明如果且,那么.當(dāng)基底是兩個(gè)互相垂直的單位向量時(shí),就建立了平面直角坐標(biāo)系,因此平面向量基本定理實(shí)際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)

5、，即若A(x，y)，則=（x,y）；當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即若A（x1,y1），B（x2,y2），則=(x2-x1,y2-y1)兩個(gè)向量平行的充要條件符號(hào)語言：坐標(biāo)語言為：設(shè)非零向量,則(x1,y1)=(x2,y2)，即,或x1y2-x2y1=0, 在這里,實(shí)數(shù)是唯一存在的,當(dāng)與同向時(shí),>0；當(dāng)與異向時(shí),<0。|=,的大小由及的大小確定。因此,當(dāng),確定時(shí)，的符號(hào)與大小就確定了.這就是實(shí)數(shù)乘向量中的幾何意義。兩個(gè)向量垂直的充要條件符號(hào)語言：坐標(biāo)語言：設(shè)非零向量，則兩個(gè)向量數(shù)量積的重要性質(zhì)： 即 (求線段的長(zhǎng)度);(垂直的判斷); (求角度)。以上結(jié)論可

6、以(從向量角度)有效地分析有關(guān)垂直、長(zhǎng)度、角度等問題,由此可以看到向量知識(shí)的重要價(jià)值.注:兩向量,的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)(其中),這個(gè)數(shù)的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角的余弦有關(guān).叫做向量在方向上的投影（如圖）.數(shù)量積的幾何意義是數(shù)量積等于的模與在方向上的投影的積.如果,則=,這就是平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式.課前預(yù)習(xí)1在中，（ ）2.平面內(nèi)三點(diǎn),若，則x的值為()(A)-5(B)-1 (C)1 (D)53. 設(shè)， 是任意的非零平面向量，且相互不共線，則：(·)(·)=0|-|<|(·)(·)不與垂直(3+2)·(32)=9|2-4|2中，真

7、命題是( )(A)(B)(C)(D)4.OAB中,=,=,=,若=，tR，則點(diǎn)P在( )(A)AOB平分線所在直線上 (B)線段AB中垂線上(C)AB邊所在直線上 (D)AB邊的中線上5. 正方形對(duì)角線交點(diǎn)為M，坐標(biāo)原點(diǎn)O不在正方形內(nèi)部，且=（0，3），=（4，0），則=( )(A)（）(B)（） (C)（7，4） (D)（）6.已知,則實(shí)數(shù)x=_.7.已知?jiǎng)t_,_,與的夾角的余弦值是_.8在中,若,則=.； 9. 已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為求的大小.10. 已知ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC邊上的高為AD，求點(diǎn)D和向量坐標(biāo)。11.在OAB的邊OA、OB上分別取點(diǎn)M、

8、N，使|=13，|=14，設(shè)線段AN與BM交于點(diǎn)P，記= ，=，用 ，表示向量.典型例題一、平面向量的實(shí)際背景與基本概念 B AC O F D E圖1EG1.如圖1，設(shè)O是正六邊形的中心，分別寫出圖中與、相等的向量。變式1：如圖1，設(shè)O是正六邊形的中心，分別寫出圖中與、共線的向量。 B AC O F D E 圖2解：變式2：如圖2，設(shè)O是正六邊形的中心，分別寫出圖中與的模相等的向量以及方向相同的向量。解：二、平面向量的線性運(yùn)算EG2. D CA B如圖，在平行四邊形ABCD中，a，b ，你能用a，b表示向量，嗎？變式1：如圖，在五邊形ABCDE中，a，b ，c ，d ， D E C A B試用

9、a，b ， c ， d表示向量和. D C OA B變式2：如圖，在平行四邊形ABCD中，若，a，b則下列各表述是正確的為（ ）ABCa + b D(a +b)變式3：已知=a，=b, =c,=d, 且四邊形ABCD為平行四邊形，則（）A. a+b+c+d=0B. ab+cd=0C. a+bcd=0 D. abc+d=0變式4：在四邊形ABCD中，若，則此四邊形是()A平行四邊形B菱形C梯形 D矩形變式5：已知a、b是非零向量，則|a|=|b|是(a+b)與(ab)垂直的（ ）A充分但不必要條件 B必要但不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件變式6：在四邊形ABCD中，=a+2b，=4ab

10、，=5a3b，其中a、b不共線，則四邊形ABCD為（ ）A.平行四邊形B.矩形C.梯形D.菱形變式7：已知菱形ABCD，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上（不包括端點(diǎn)A、C），則等（ ）A.(+),(0,1) B.(+),(0,)C.(),(0,1)D.(),(0,)變式8：已知D、E、F分別是ABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，且=，=，=,則下列各式：= += +=其中正確的等式的個(gè)數(shù)為（ ）A.1 B.2 C.3 D.4EG3 ba如圖，已知任意兩個(gè)非零向量a、b ，試作a+ b，a+ 2b，a+ 3b，你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？變式1：已知a+ 2b，2a+ 4b，3a+ 6b (

11、其中a、b是兩個(gè)任意非零向量)，證明：A、B、C三點(diǎn)共線證明：a+ 2b，2a+ 4b， 所以，A、B、C三點(diǎn)共線變式2：已知點(diǎn)A、B、C在同一直線上，并且a+ b，a+ 2b，a+ 3b (其中a、b是兩個(gè)任意非零向量)，試求m、n之間的關(guān)系EG4.已知四邊形ABCD，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，求證：變式1：已知任意四邊形ABCD的邊AD和BC的中點(diǎn)分別為E、F， D C E FA B求證：.三、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示EG4.已知a= (4，2)，b = (6，y)，且a / b ，求y變式1：與向量a= (12，5) 平行的單位向量為（ ）A BC 或 D

12、或變式2：已知a，b，當(dāng)a+2b與2ab共線時(shí)，值為（ ）A1 B2 C D變式3：已知A(0,3) 、B(2,0) 、C(1,3) 與方向相反的單位向量是( )A(0,1) B(0,1) C (1,1) D(1,1) 變式4：已知a = (1，0)，b = (2，1)試問：當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)，kab與a+3b平行, 平行時(shí)它們是同向還是反向？EG5.設(shè)點(diǎn)P是線段上的一點(diǎn)，、的坐標(biāo)分別為，(1) 當(dāng)點(diǎn)P是線段上的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2) 當(dāng)點(diǎn)P是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求P的坐標(biāo)變式1：已知兩點(diǎn)，則P點(diǎn)坐標(biāo)是 （ ）OAPQBabA B C D變式2：如圖，設(shè)點(diǎn)P、Q是線段AB的三等分點(diǎn)，若a，

13、b，則，(用a、b表示)四、平面向量的數(shù)量積EG6.已知|a|6，|b| 4且a與b的夾角為，求 (a+2b)·(ab)變式1：已知那么與夾角為A、 B、C、 D、變式2：已知向量a和b的夾角為60°，| a | 3，| b | 4，則（2a b）·a等于 （A）15 （B）12 （C）6 （D）3變式3：在ABC中，已知|=4，|=1，SABC=，則·等于（ ）A.2B.2C.±2D.±4變式4：設(shè)向量與向量的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.EG7.已知|a|3，|b| 4且a與b不共線，k為何實(shí)數(shù)時(shí)，向量a+kb與ab互相垂直？變

14、式1：已知ab，|a|2，|b| 3，且向量3a+2b與kab互相垂直，則k的值為（ ）A B C D1變式2：已知|a|1，|b| 且（ab）a，則a與b夾角的大小為EG8.已知a = (4，2)，求與向量a垂直的單位向量的坐標(biāo)變式1：若i = (1,0), j =(0,1)，則與2i+3j垂直的向量是 ( )A3i+2j B2i+3jC3i+2jD2i3j變式2：已知向量，若與垂直，則實(shí)數(shù)=（ ）A1B1C0D2 變式3：若非零向量互相垂直，則下列各式中一定成立的是（ ）ABCD變式4：已知向量a（3，4），b（2，x），c（2，y）且ab，ac求|bc|的值EG9.已知A (1，2)，B

15、 (2，3)，C (，5)，試判斷的形狀，并給出證明變式1：是所在的平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則 一定為（ ）A正三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D斜三角形變式2：已知A、B、C三點(diǎn)不共線，O是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若0，則O是ABC的（ ）A重心B 垂心C 內(nèi)心D 外心變式3：已知，則ABC一定是（ ）A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰直角三角形變式4：四邊形中，（1）若，試求與滿足的關(guān)系式；（2）滿足（1）的同時(shí)又有，求的值及四邊形的面積。 五、平面向量應(yīng)用舉例EG10.題目意圖：用平面向量的方法證明平面幾何命題：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于其兩條鄰邊的平方和的兩倍變式1：如圖，

16、矩形ABCD內(nèi)接于半徑為r的圓O，點(diǎn)P是圓周上任意一點(diǎn)，求證：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.變式2：已知ABC中，若，求證：ABC為正三角形.變式3：已知平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC與BD交于E，O是任意一點(diǎn)，求證.變式4：四邊形ABCD的邊AD和BC的中點(diǎn)分別為E、F，求證：實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練1.（08全國(guó)一3）在中，若點(diǎn)滿足，則ABCD2.（08安徽卷3）在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線，若，,則（ ）A（2，4）B（3，5）C（3，5）D（2，4） 3.（08湖北卷1）設(shè),則CA.B. C. D.4.（08湖南卷7）設(shè)D、E、F分別是ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且則

17、與( )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直 5.（08陜西卷15）關(guān)于平面向量有下列三個(gè)命題：若，則若，則非零向量和滿足，則與的夾角為其中真命題的序號(hào)為（寫出所有真命題的序號(hào)）6.（08廣東卷8）在平行四邊形中，與交于點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)若，則（ ）ABCD7.（08浙江卷9）已知，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是 （A）1 （B）2 （C） （D）8.（08遼寧卷5）已知O，A，B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足，則（ ） ABCD9.（08海南卷8）平面向量，共線的充要條件是（ ）A. ，方向相同B. ，兩向量中至少有一

18、個(gè)為零向量C. ，D. 存在不全為零的實(shí)數(shù)，10.（08上海卷5）若向量，滿足且與的夾角為，則 11.（08全國(guó)二13）設(shè)向量，若向量與向量共線，則12.（08北京卷10）已知向量與的夾角為，且，那么的值為 13.（08天津卷14）已知平面向量，若，則_ 14.（08江蘇卷5），的夾角為，則15.（08江西卷13）直角坐標(biāo)平面上三點(diǎn)，若為線段的三等分點(diǎn)，則=16（08海南卷13）已知向量，且，則= _17（08福建卷17）已知向量m=(sinA,cosA),n=，m·n1，且A為銳角.（）求角A的大??；（）求函數(shù)的值域.18.在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為，已知向量且滿足，（）求角A的大??；（）若試判斷的形狀。19.已知向量，若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和（I）求的值；（II）求的