高考數(shù)學(xué)立體幾何中幾類典型問(wèn)題

1、立體幾何中幾類典型問(wèn)題的向量解法空間向量的引入為求立體幾何的空間角和距離問(wèn)題、證線面平行與垂直以及解決立體幾何的探索性試題提供了簡(jiǎn)便、快速的解法。它的實(shí)用性是其它方法無(wú)法比擬的，因此應(yīng)加強(qiáng)運(yùn)用向量方法解決幾何問(wèn)題的意識(shí)，提高使用向量的熟練程度和自覺(jué)性，注意培養(yǎng)向量的代數(shù)運(yùn)算推理能力，掌握向量的基本知識(shí)和技能，充分利用向量知識(shí)解決圖形中的角和距離、平行與垂直問(wèn)題。一、 利用向量知識(shí)求點(diǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)到線，點(diǎn)到面，線到線，線到面，面到面的距離 （1）求點(diǎn)到平面的距離除了根據(jù)定義和等積變換外還可運(yùn)用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，再求出已知點(diǎn)與平面內(nèi)任一點(diǎn)構(gòu)成的向量的坐標(biāo)，那么到平面

2、的距離 （2）求兩點(diǎn)之間距離，可轉(zhuǎn)化求向量的模。 （3）求點(diǎn)到直線的距離，可在上取一點(diǎn)，令或的最小值求得參數(shù)，以確定的位置，則為點(diǎn)到直線的距離。還可以在上任取一點(diǎn)先求，再轉(zhuǎn)化為，則為點(diǎn)到直線的距離。(4)求兩條異面直線之間距離，可設(shè)與公垂線段平行的向量，分別是上的任意兩點(diǎn)，則之間距離例1：設(shè)，求點(diǎn)到平面的距離例2：如圖，正方形、的邊長(zhǎng)都是1，而且平面、互相垂直。點(diǎn)在上移動(dòng)，點(diǎn)在上移動(dòng)，若。A(O)BDCxEFNMyz（）求的長(zhǎng)；（）當(dāng)為何值時(shí)，的長(zhǎng)最小；（）當(dāng)長(zhǎng)最小時(shí)，求面與面所成的二面角的大小zABCDMNxyzzzz例3：正方體的棱長(zhǎng)為1，求異面直線與間的距離ABCDxyz例4：如圖，在長(zhǎng)

3、方體中，求平面與平面的距離。點(diǎn)評(píng)：若是平面的法向量，是平面的一條斜線段，且，則點(diǎn)到平面的距離，平行平面之間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，變?yōu)樾本€在法向量上的射影。二、利用向量知識(shí)求線線角，線面角，二面角的大小。（1）設(shè)是兩條異面直線，是上的任意兩點(diǎn)，是直線上的任意兩點(diǎn)，則所成的角為 （2）設(shè)是平面的斜線，且是斜線在平面內(nèi)的射影，則斜線與平面所成的角為。設(shè)是平面的法向量，是平面的一條斜線，則與平面所成的角為。（3）設(shè)是二面角的面的法向量，則就是二面角的平面角或補(bǔ)角的大小。例5：在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別是的中點(diǎn)，ABCDEFGxyz（1）求直線所成角；（2）求直線與平面所成的角，（3）求平面與平面所

4、成的角例6：如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，AD=PD，E，F(xiàn)分別CD、PB的中點(diǎn). ABCDEFxyzP（）求證：EF平面PAB；（）設(shè)AB=BC，求AC與平面AEF所成角的大小. ABCPDExyz例7：如圖，求二面角的大小。點(diǎn)評(píng)：如果分別是二面角兩個(gè)面內(nèi)的兩條直線，且，則二面角的大小為SBACDzxy例8：如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，ABC = 90°，SA面ABCD，SA = AB = BC = 1，求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值點(diǎn)評(píng)：用向量知識(shí)求二面角的大小時(shí)，是將二面角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角問(wèn)題，（1）當(dāng)法向量的方向

5、分別指向二面角內(nèi)側(cè)與外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于法向量的夾角的大小。（2）當(dāng)法向量的方向同時(shí)指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于法向量的夾角的補(bǔ)角。三、利用向量知識(shí)解決平行與垂直問(wèn)題。例9：如圖, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)， （I）求證：ACBC1； （II）求證：A1C/平面CDB1；點(diǎn)評(píng)：轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化平行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：面面平行線面平行線線平行；例10如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AD上移動(dòng). （1）證明：D1EA1D； （2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD1的距離； （3）AE等于何值時(shí)

6、，二面角D1ECD的大小為.ADBCDDD四、利用向量知識(shí)解決立體幾何中的探索性問(wèn)題。例11如圖，在直三棱柱中，（1）求證（2）在上是否存在點(diǎn)使得（3）在上是否存在點(diǎn)使得五、專題突破：ACBD1、如圖：已知二面角的大小為，點(diǎn)于點(diǎn)，且，求 （1）直線所成角的大小，（2）直線的距離。2、如圖，在四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn).（）求證：EFCD；（）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF平面PCB，并證明你的結(jié)論；（）求DB與平面DEF所成角的大小.ABCA1B1C1M3、如圖, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90°

7、，CB=1,CA=, AA1=,M為側(cè)棱CC1上一點(diǎn), （1）求證: AM平面；（2）求二面角BAMC的大?。唬?）求點(diǎn)C到平面ABM的距離4、如圖，是正四棱柱，側(cè)棱長(zhǎng)為3，底面邊長(zhǎng)為2，E是棱的中點(diǎn)。（）求證：/平面；（）求二面角的大?。ǎ┰趥?cè)棱上是否存在點(diǎn),使得平面？證明你的結(jié)論。5、如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90°，AC=BC=CC1=2. （I）證明：AB1BC1； （II）求點(diǎn)B到平面AB1C1的距離. （III）求二面角C1AB1A1的大小6、( 2006年湖南卷）如圖4,已知兩個(gè)正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2,AB=4.()證明P

8、Q平面ABCD; ()求異面直線AQ與PB所成的角;()求點(diǎn)P到平面QAD的距離.QPADCB圖47、（2006年全國(guó)卷II）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，D、E分別為BB1、AC1的中點(diǎn)（）證明：ED為異面直線BB1與AC1的公垂線；（）設(shè)AA1ACAB，求二面角A1ADC1的大小ABCDEA1B1C1參考答案：例1：解：設(shè)平面的法向量，所以，所以設(shè)到平面的距離為，例2：解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系(2)由得（3）又所以可求得平面與平面的法向量分別為，所以，所以zABCDMNxyzzzz例3：解：如圖建立坐標(biāo)系，則，設(shè)是直線與的公垂線，且則，例4：解：，同理又，建立直角坐

9、標(biāo)系，ABCDxyz,設(shè)為平面的法向量，則由，不妨設(shè)二、利用向量知識(shí)求線線角，線面角，二面角的大小。例5：解：（1）如圖建立坐標(biāo)系，則，故所成的角為（2）所以在平面內(nèi)的射影在的平分線上，又為菱形，為的平分線，故直線與平面所成的角為，建立如圖所示坐標(biāo)系，則，故與平面所成角為由所以平面的法向量為下面求平面的法向量，設(shè)，由，所以平面與平面所成的角點(diǎn)評(píng)：（1）設(shè)是兩條異面直線，是上的任意兩點(diǎn)，是直線上的任意兩點(diǎn)，則所成的角為 （2）設(shè)是平面的斜線，且是斜線在平面內(nèi)的射影，則斜線與平面所成的角為。（3）設(shè)是二面角的面的法向量，則就是二面角的平面角或補(bǔ)角的大小。例6： （）證明：建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）

10、，設(shè)AD=PD=1，AB=（），則E(a,0,0), C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,0), P(0,0,1),.得，. 由，得，即， 同理，又， 所以，EF平面PAB. （）解：由，得，即. ABCDEFxyzP得，. 有，. 設(shè)平面AEF的法向量為，由，解得. 于是. 設(shè)AC與面AEF所成的角為，與的夾角為. 則. 得. 所以，AC與平面AEF所成角的大小為. 點(diǎn)評(píng)：設(shè)是平面的法向量，是平面的一條斜線，則與平面所成的角為。例7：ABCPDExyz解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，取的中點(diǎn)，連可證，作于，則向量的夾角的大小為二面角的大小。，為的中點(diǎn)，在中，二面角的大小為

11、例8：解：如圖建立直角坐標(biāo)系，則SBACDzxy，所以是平面的一個(gè)法向量。設(shè)平面的一個(gè)法向量由，令，平面與平面所成的二面角的正切值為點(diǎn)評(píng)：用向量知識(shí)求二面角的大小時(shí)，是將二面角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角問(wèn)題，（1）當(dāng)法向量的方向分別指向二面角內(nèi)側(cè)與外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于法向量的夾角的大小。（2）當(dāng)法向量的方向同時(shí)指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于法向量的夾角的補(bǔ)角。三、利用向量知識(shí)解決平行與垂直問(wèn)題。例9：解：直三棱柱ABCA1B1C1底面三邊長(zhǎng)AC3，BC4，AB5，AC、BC、C1C兩兩垂直，如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA、CB、C1C分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐

12、標(biāo)系，則C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）（1）（3,0，0），（0，4,0），0，ACBC1.（2）設(shè)CB1與C1B的交戰(zhàn)為E，則E（0,2，2）.（，0,2），（3,0，4），DEAC1. DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1/平面CDB1；點(diǎn)評(píng)：轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化平行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：面面平行線面平行線線平行；例10解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD1分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，則A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）（2）因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，則

13、E（1，1，0），從而，設(shè)平面ACD1的法向量為，則也即，得，從而，所以點(diǎn)E到平面AD1C的距離為（3）設(shè)平面D1EC的法向量，由 令b=1, c=2,a=2x，依題意（不合，舍去），.AE=時(shí)，二面角D1ECD的大小為.四、利用向量知識(shí)解決立體幾何中的探索性問(wèn)題。例11CABxDyZ解：直三棱柱，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，（1），（2）假設(shè)在上存在點(diǎn)，使得，則其中，則，于是由于，且所以得，所以在上存在點(diǎn)使得，且這時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合。（3）假設(shè)在上存在點(diǎn)使得，則其中則，又由于，所以存在實(shí)數(shù)成立，所以，所以在上存在點(diǎn)使得，且使的中點(diǎn)?？偨Y(jié)：向量有一套良好的運(yùn)算

14、性質(zhì)，它可以把幾何圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合，在解決立體幾何的距離與夾角、平行與垂直、探索性等問(wèn)題中體現(xiàn)出巨大的優(yōu)越性，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真領(lǐng)會(huì)。五、專題突破：1解：設(shè)，（1），所成的角為（2）設(shè)與都垂直的非零向量由得，令，設(shè)的距離為，2、解：以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)AD=a，則D（0，0，0）、A（a,0,0）、B(a,a,0)、C(0,a,0)、（）（）（）設(shè)平面DEF的法向量為3、證明：（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，易知面ACC1A1面ABC，ACB=90°，BC面ACC1A1，面ACC1A1，BCAM，且，

15、AM平面解：（2）如圖以C為原點(diǎn),CA，CB， CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，即，故，所以設(shè)向量為平面AMB的法向量，則，則 即 ，令x=1，的平面AMB的一個(gè)法向量為，顯然向量是平面AMC的一個(gè)法向量， 易知，與所夾的角等于二面角BAMC的大小，故所求二面角的大小為45°（3）向量在法向量上的投影的長(zhǎng)即為所求距離，點(diǎn)C到平面ABM的距離為4、（）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則又,連接,與相交于，連接易知（0，1，1.5）又平面，平面平面（）解：過(guò)點(diǎn)做于，連接，在正四棱柱中，平面，是二面角的平面角根據(jù)平面幾何知識(shí)，易得二面角的大小為（）解：在側(cè)棱上不

16、存在點(diǎn)，使得平面證明如下：假設(shè)平面，則必有設(shè)，其中，則，這顯然與矛盾假設(shè)平面不成立，即在側(cè)棱 上不存在點(diǎn)，使得平面5、（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，其中C為坐標(biāo)原點(diǎn).依題意A（2，0，0），B（0，2，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），因?yàn)?，所以AB1BC1. （2）設(shè)是平面AB1C1的法向量，由得所以令，則，因?yàn)?，所以，B到平面AB1C1的距離為.（3）設(shè)是平面A1AB1的法向量.由 令=1，則因?yàn)樗?，二面角C1AB1A1的大小為60°6、（）連結(jié)AC、BD，設(shè).由PABCD與QABCD都是正四棱錐，所以PO平面ABCD，QO平面ABCD.從而P、O、Q三點(diǎn)在一條直線上，

17、所以PQ平面ABCD.（）由題設(shè)知，ABCD是正方形，所以ACBD. 由（），QO平面ABCD. 故可分別以直線CA、DB、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由題條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是P（0，0，1），A（，0，0），Q（0，0，2），B（0，0）.QBCPADzyxO所以于是.從而異面直線AQ與PB所成的角是.()由（），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，0），設(shè)是平面QAD的一個(gè)法向量，由得.取x=1，得.所以點(diǎn)P到平面QAD的距離.ABCDEA1B1C1Ozxy7、（）如圖，建立直角坐標(biāo)系Oxyz，其中原點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)設(shè)A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)則C(a，0，0)，C1(a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c) （0，b，0），(0，0，2c)·0，EDBB1又(2a，0，2c)，·0