圓錐曲線的綜合問題-教案

1、第三講圓錐曲線的綜合問題1 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程 若>0，則直線與橢圓相交；若 0，則直線與橢圓相切；若<0，則直線與橢圓相離(2)直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法：將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個一元方程ax2bx c 0(或ay2 by c 0)若 a 0，當(dāng)>0 時(shí)，直線與雙曲線相交；當(dāng) 0 時(shí)，直線與雙曲線相切；當(dāng)<0時(shí)，直線與雙曲線相離若a 0 時(shí)，直線與漸近線平行，與雙曲線有一個交點(diǎn)(3)直線與拋物線的位置關(guān)系的判定方法：將直線方程與拋

2、物線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個一元方程ax2bx c 0(或ay2 by c 0)當(dāng)a 0 時(shí)，用 判定，方法同上當(dāng)a 0 時(shí)，直線與拋物線的對稱軸平行，只有一個交點(diǎn)2 有關(guān)弦的問題(1)有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系，“設(shè)而不求”；有關(guān)焦點(diǎn)弦長問題，要重視圓錐曲線定義的運(yùn)用，以簡化運(yùn)算斜率為k 的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)P1(x1， y1)， P2(x2， y2)， 則所得弦長|P1P2|1 k2|x2x1|或|P1P2|1k12|y2y1|，其中求|x2x1|與|y2y1|時(shí)通常使用根與系數(shù)的關(guān)系，即作如下變形：|x2x1|x1x224x1x2，|y2y1|y1y2

3、4y1y2.當(dāng)斜率k 不存在時(shí)，可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，直接運(yùn)算(利用兩點(diǎn)間距離公式)(2)弦的中點(diǎn)問題有關(guān)弦的中點(diǎn)問題，應(yīng)靈活運(yùn)用“點(diǎn)差法”，“設(shè)而不求法”來簡化運(yùn)算3 圓錐曲線中的最值(1)橢圓中的最值22F1、 F2 為橢圓x2 y2 1(a> b> 0)的左、右焦點(diǎn)，P 為橢圓的任意一點(diǎn)，B 為短軸的一ab個端點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有 |OP| b， a |PF1 | a c， a c |PF1| |·PF2| b2， a2 F1PF2F1BF2.(2)雙曲線中的最值22F1、 F2為雙曲線xa2 yb2 1(a> 0， b> 0)的左、右焦點(diǎn)，P 為雙曲線上

4、的任一點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有 |OP| a. |PF1| c a.(3)拋物線中的最值點(diǎn) P 為拋物線y2 2px(p> 0)上的任一點(diǎn)，F(xiàn) 為焦點(diǎn)，則有： |PF| 2p.于 A、 B 兩點(diǎn)若AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為22 xyA 1A.45 3622 xyC.27 18 * 1()2 a12 所以 2x22 a2yb12 12 運(yùn)用點(diǎn)差法，yb22 1 A(m， n)為一定點(diǎn)，則|PA| |PF|有最小值2所以直線AB 的斜率為k b2，ab2設(shè)直線方程為y2(x 3)，a聯(lián)立直線與橢圓的方程得(a2 b2)x2 6b2x 9b2 a4 0，所以x1 x2 a26 b2b2 2；又因?yàn)閍2

5、 b2 9，解得b2 9， a2 18.2 (2013 ·江西 )過點(diǎn) ( 2， 0)引直線l 與曲線y1 x2相交于A、 B 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng) AOB 的面積取最大值時(shí)，直線l 的斜率等于()A. 333B3C ± 33D3答案解析1S AOB 2|OA|OB|sin AOB12sin AOB 2. AOBS AOB 面積最大此時(shí) O 到 AB 的距離d 22.設(shè)AB 方程為 yk（x2）（k<0），即kxy2k0.| 2k|d2k 1（也可ktan OPH 23 （2013 ·大綱全國）橢圓C： x433.3）3 ）y 1 的左、右頂點(diǎn)分別為A

6、1、 A2，點(diǎn)P 在 C 上且直線PA23斜率的取值范圍是 2，1 ，那么直線PA1 斜率的取值范圍是（）13A 2， 41C 2，133B 8， 4D 34， 1答案 B解析 利用直線PA2斜率的取值范圍確定點(diǎn)P 變化范圍的邊界點(diǎn)，再利用斜率公式計(jì)算直線PA1 斜率的邊界值A(chǔ)1（ 2,0）， A2（2,0），PA2 的斜率為2 時(shí)，直線PA2 的方程式為代入橢圓方程，消去解得x 2 或x 2169.y2（x 2），y 化簡得19x2 64x 52 0，P 在橢圓上得點(diǎn)2149 ，此時(shí)直線PA1 的斜率k 83.當(dāng)直線PA2的斜率為1 時(shí)，直線PA2方程為y（x 2），代入橢圓方程，消去 y

7、化簡得7x2 16x 4 0，解得x 2 或 x27.P 在橢圓上得點(diǎn)此時(shí)直線PA1 的斜率2， 127，7 ，34.數(shù)形結(jié)合可知，直線PA1 斜率的取值范圍是224 (2012 四川· )橢圓x4y31 的左焦點(diǎn)為F，直線xm與橢圓相交于點(diǎn)A、B，當(dāng)FAB 的周長最大時(shí)，F(xiàn)AB 的面積是答案 3解析 直線x m 過右焦點(diǎn)(1,0)時(shí)， FAB 的周長最大，由橢圓定義知，其周長為4ab題型一圓錐曲線中的范圍、最值問題例 1 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C 的右焦點(diǎn)為(2,0)，實(shí)半軸長為3.(1)求雙曲線C 的方程；(2)若直線l： y kx2與雙曲線C 的左支交于A， B 兩點(diǎn)，求k 的

8、取值范圍；(3)在 (2)的條件下，線段AB 的垂直平分線l0與 y軸交于M(0， b)，求b 的取值范圍審題破題(2)直接利用判別式和根與系數(shù)的關(guān)系確定k的范圍； (3)尋找 b和 k 的關(guān)系，利用(2)中k的范圍求解解(1)設(shè)雙曲線方程為x2 y2 1 (a>0， b>0)，ab由已知，得a3， c 2， b2 c2 a2 1，故雙曲線方程為x y2 1.3 (2)設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，將ykx2代入x y21， 得 (1 3k2)x2 6 2kx 9 0. 2× 318，此時(shí)，|AB| 2× 3， S FAB× 2× 3

9、 3.a225 (2012 ·北京 )在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l 過拋物線y2 4x的焦點(diǎn) F，且與該拋物線相交于 A， B 兩點(diǎn) 其中點(diǎn) A在 x軸上方， 若直線 l 的傾斜角為60°， 則 OAF 的面積為答案 3解析 y2 4x 的焦點(diǎn)F(1,0)，又直線 l 過焦點(diǎn) F 且傾斜角為60°，故直線 l 的方程為y3(x 1)，將其代入y24x 得 3x26x34x0，即3x210x3 0. x或x3.3又點(diǎn) A 在 x軸上方， xA 3. yA 2 3.1 S OAF 2 1 × 2 33.1 3k 0，2解得 3<k<1.3 36

10、1 k >0，6 2kxA xB2<0，1 3k9xAxB 1 3k2>0，所以當(dāng)x1x1x1<k<1 時(shí)，直線l 與雙曲線的左支有兩個交點(diǎn)36 2k(3)由 (2)，得xA xB2，1 3k所以yA yB(kxA2)(kxB2) k(xA xB) 2 2 1 2 32k2，所以AB中點(diǎn)P 的坐標(biāo)為13 23kk2， 1 23k2.設(shè) l0的方程為y1x b，將P 點(diǎn)的坐標(biāo)代入l0的方程，得byy12 (xx1)，即y2x2 y1，即x1x2y2y10.同理可得切線PB 的方程為x2x 2y 2y2 0，又點(diǎn)P(x0， y0)在切線PA和 PB 上， 22，k1

11、3k3<k<1 ， 2<1 3k2<0， b< 2 2.3 b 的取值范圍是( ，2 2)反思?xì)w納求最值或求范圍問題常見的解法有兩種：(1)幾何法若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法(2)代數(shù)法若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，這就是代數(shù)法變式訓(xùn)練1 (2013 ·廣東)已知拋物線C 的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F(0， c)(c>0)到直線l： x y32 2 0 的距離為2 .設(shè)P 為直線 l 上的點(diǎn)，過點(diǎn) P 作拋物線C 的兩條切線PA， PB， 其A，

12、 B 為切點(diǎn)(1)求拋物線C 的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0， y0)為直線l 上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB 的方程；(3)當(dāng)點(diǎn)P 在直線 l 上移動時(shí)，求|AF| ·|BF |的最小值解 (1)依題意知|c 2| 3 2， c>0，解得c 1.22所以拋物線C 的方程為x2 4y.(2)由 y14x2得 y 12x，11設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，則切線PA， PB 的斜率分別為2x1，2x2，所以切線PA 的方程為所以x1x0 2y0 2y1 0， x2x0 2y0 2y2 0，所以(x1， y1)， (x2， y2)為方程x0x 2y0 2y 0 的兩組解，所以直線AB

13、 的方程為x0x 2y 2y0 0.(3)由拋物線定義知|AF| y1 1， |BF| y2 1，所以 |AF|·|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1，聯(lián)立方程x0x 2y 2y0 0， 2x 4y，消去 x 整理得 y2(2y0x20)y y02 0， y1 y2 x0 2y0， y1y2 y0，|AF| ·|BF|y1y2(y1y2) 1 y02 x022y01 y20 (y0 2)2 2y0 1 2y02 2y0 5 2 y0 21 2 29， 當(dāng)y021 時(shí)，|AF| ·|BF|取得最小值，且最小值為29.題型二圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題例

14、2(2012·福建 )如圖，等邊三角形OAB 的邊長為8 3，且其三個頂點(diǎn)均在拋物線E： x2 2py(p>0)上(1)求拋物線E 的方程；(2)設(shè)動直線l 與拋物線E 相切于點(diǎn)P， 與直線y1 相交于點(diǎn)Q，證明以 PQ 為直徑的圓恒過y 軸上某定點(diǎn)審題破題(1)先求出B 點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程，可得p 的值； (2)假設(shè)在 y軸上存在定點(diǎn) M，使得以線段PQ 為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)M，轉(zhuǎn)化為MP ·MQ 0，從而判斷點(diǎn)M 是否存在(1)解依題意，|OB| 8 3， BOy 30°.設(shè) B(x， y)，則x |OB|sin 30 ° 4 3， y |OB

15、|cos 30 ° 12.B(4 3， 12)在x2 2py上，所以 (4 3)2 2p× 12，解得p 2.故拋物線E 的方程為x2 4y.121(2)證明 方法一由 (1)知y 4x ， y 2x.設(shè)P(x0， y0)，則x0 0， y0 4x20，且l 的方程為1112y y0 2x0(x x0)，即y 2x0x 4x0 .1y 2x0x2y1124x0，2x x0 4，得x2x0y1.所以 Q 為x20 4， 2x0 ，1. 12設(shè) M(0， y1)，令MP· MQ 0 對滿足y0 4x20(x0 0)的x0， y0恒成立由于MP(x0，y0y1)，MQ0

16、2x，1y1，2 x0 42由MP · MQ0，得 2 y0 y0y1y1y10，即(y12y12)(1 y1)y0 0.(*)1由于 (*) 式對滿足y0 4x0(x0 0)的y0恒成立，1 y1 0，所以 21解得 y1 1.y21 y1 2 0，1故以 PQ 為直徑的圓恒過y 軸上的定點(diǎn)M(0,1)方法二由 (1)知 y 41x2， y 21x.12設(shè)P(x0， y0)，則x0 0， y0 4x0，1且 l 的方程為y y0 2x0(x x0)，即 y 2x0x 4x20.211 2x0 4yx0xx0，x，由 y 2x0x 4x0得x2x0y1y1.所以 Q 為x0 4，1

17、.2x0取x0 2，此時(shí)P(2,1)， Q(0，1)，以 PQ 為直徑的圓為(x 1)2 y2 2，交 y 軸于點(diǎn)M 1(0,1)、 M2(0，1)；取x0 1 ，此時(shí) P 1， 41 ， Q 23，1 ，以 PQ 為直徑的圓為x 14 2y 38 2 16245，交 y 軸于點(diǎn)M 3(0,1)、 M4 0，47 .故若滿足條件的點(diǎn)M 存在，只能是M(0,1) 以下證明點(diǎn)M(0,1)就是所要求的點(diǎn)因?yàn)镸P (x0， y0 1)， MQx0 4，2 ，2x0x2 4所以MP·MQ02 2y022y022y020.故以 PQ 為直徑的圓恒過y 軸上的定點(diǎn)M(0,1)反思?xì)w納定點(diǎn)、 定值問

18、題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個點(diǎn)、一個值，就是要求的定點(diǎn)、定值化解這類問題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量變式訓(xùn)練2 已知直線l： yx6，圓O：x2y25，橢圓E：ay2xb21(a>b>0)的離心率e3，直線l 被圓 O 截得的弦長與橢圓的短軸長相等3(1)求橢圓 E 的方程；(2)過圓 O 上任意一點(diǎn)P 作橢圓 E 的兩條切線，若切線都存在斜率，求證：兩切線的斜率之積為定值(1)解設(shè)橢

19、圓的半焦距為c，O 到直線 l 的距離3，b532.c3a3a2 b2 c2， a2 3， b2 2.b2橢圓 E 的方程為y2 x2 1.32(2)證明設(shè)點(diǎn)P(x0， y0)，過點(diǎn)P 的橢圓 E 的切線 l0的方程為y y0 k(x x0)，y k x x0 y0聯(lián)立直線l0與橢圓 E 的方程得y2 x23 2 1消去 y得 (3 2k2)x2 4k(y0 kx0)x 2(kx0 y0) 2 6 0， 4 k( y 0 kx 0) 2 4(3 2k2)2( kx 0 y 0) 2 6 0，整理得，(2 x20)k2 2kx0y0 (y02 3) 0，設(shè)滿足題意的橢圓y0 3則k1·

20、 k22，2 x0E 的兩條切線的斜率分別為k1 ，k2，點(diǎn) P 在圓 O 上， x20 y20 5，5 x20 3k1 · k22 1.2 x0兩條切線的斜率之積為常數(shù)1.題型三圓錐曲線中的存在性問題例 3 如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)動點(diǎn)P 滿足OP OM 2ON， 其中 M、 N 是橢圓上的點(diǎn)，直線 OM 與 ON 的斜率之1積為12.問：是否存在兩個定點(diǎn)F1， F2，使得|PF1| |PF 2|為定值？若存在，求F1， F2的坐標(biāo)；若不存在，說明理由1審題破題(1)列方程組求出a、 c即可；(2)由 kOM·kON12先確定點(diǎn)M、 N 坐

21、標(biāo)滿足條件，再根據(jù)OP OM 2ON尋找點(diǎn)P 滿足條件：點(diǎn)P 在 F1、 F2為焦點(diǎn)的橢圓上解(1)由 e c， a 2 2，a2 c解得a 2， c2， b2 a2 c2 2，22故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x4 y2 1.(2)設(shè)P(x， y)， M(x1， y1)， N(x2， y2)，則由OP OM 2ON，得(x，y)(x1，y1) 2(x2， y2)(x12x2，y1 2y2)，即xx1 2x2，y y1 2y2.因?yàn)辄c(diǎn) M、 N 在橢圓x2 2y2 4 上，所以x12 2y21 4， x22 2y22 4，故 x 2y (x1 4x2 4x1x2) 2(y1 4y2 4y1y2) (x21

22、 2y12) 4(x22 2y22) 4(x1x2 2y1y2) 20 4(x1x2 2y1y2)設(shè) kOM， kON 分別為直線OM， ON 的斜率，由題設(shè)條件知kOM· kON y1y21，x1x22因此x1x22y1y20，所以 x22y220.所以P 點(diǎn)是橢圓x2 y2 1上的點(diǎn)，設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)為F1、 F 2，則由橢2 510圓的定義|PF1| |PF2|為定值，又因c2 5 210 210，因此兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F1(10， 0)， F2( 10， 0)反思?xì)w納探究是否存在的問題，一般均是先假設(shè)存在，然后尋找理由去確定結(jié)論，如果真的存在，則能得出相應(yīng)結(jié)論，如果不存在，則

23、會由條件得出相互矛盾的結(jié)論變式訓(xùn)練3 已知點(diǎn) P 是圓 O： x2 y2 9 上的任意一點(diǎn)，過 P 作 PD 垂直 x軸于 D， 動點(diǎn) Q滿足DQ 2DP.3(1)求動點(diǎn)Q 的軌跡方程；1(2)已知點(diǎn)E(1,1)，在動點(diǎn)Q 的軌跡上是否存在兩個不重合的兩點(diǎn)M、 N，使 OE 2(OM O N)(O 是坐標(biāo)原點(diǎn))，若存在，求出直線MN 的方程，若不存在，請說明理由解(1)設(shè)P(x0， y0)， Q(x， y)，依題意，點(diǎn)D 的坐標(biāo)為D(x0， 0)，所以DQ (x x0， y)， DP (0， y0)，2x0 x，即3y0 2y，又 DQ 3DP，x x0 0，故2y 3y0，因?yàn)?P 在圓 O

24、 上，故有x20 y02 9，22所以x2 32y 2 9，即x9 y4 1，所以點(diǎn) Q 的軌跡方程為x2 y2 1.9422(2)假設(shè)橢圓x9 y4 1 上存在不重合的兩點(diǎn)M(x1， y1)，1N(x2， y2)滿足OE 2(OM ON)，則 E(1,1)是線段 MN 的中點(diǎn)，x1 x2且有2y1 y2 21，1，x1 x22，y1 y22.又 M（x1， y1）， N（x2，x21 y12 1，9 4 1，所以 22x2 y29 4 1，y2）在橢圓x9 y4 1 上，94兩式相減，得x1x2x1x2 y1y2y1y20，94y1 y24所以kMN，MN x1 x29故直線 MN 的方程為

25、4x 9y 13 0.所以橢圓上存在點(diǎn)M， N 滿足OE 2典例 (12 分 )拋物線的頂點(diǎn)O 在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，過點(diǎn)M(0，2)作直線 與拋物線相交于A， B 兩點(diǎn)，且滿足OA OB ( 4，12)(1)求直線 l 和拋物線的方程；(2)當(dāng)拋物線上一動點(diǎn)P 從點(diǎn) A運(yùn)動到點(diǎn)B 時(shí)，求ABP 面積的最大值規(guī)范解答解(1)根據(jù)題意可設(shè)直線l 的方程為y kx 2，拋物線的方程為x22py(p>0)y kx 2，由 2得 x2 2pkx 4p 0.2 分 (OM ON)，此時(shí)直線MN 的方程為4x 9y 13 0.設(shè)點(diǎn) A（x1， y1）， B（x2， y2），則x1x22pk

26、，y1y2k(x1x2)42pk1 由橢圓x2 y2 1 的左焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線l 交橢圓于A， B 兩點(diǎn)，設(shè)O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OA· OB等于（）A 0B 1C1D3 答案 C4.所以O(shè)A OB ( 4，12)，所以 2pk4， 2pk2 412，解得 p 1 ，k 2.故直線 l 的方程為y 2x 2，拋物線的方程為x22y.6 分 （2）設(shè) P（x0， y0），依題意，知當(dāng)拋物線過點(diǎn)P 的切線與l 平行時(shí)， ABP 的面積最大對 y12x2 求導(dǎo)，得y x，所以x0 2，即x02，y021x202，即P（ 2，2）此時(shí)點(diǎn) P 到直線 l 的距離|2 ·

27、; 2 2 2|44 522 1 255.9 分 y 2x 2，22得 x2 4x 4 0，則 x1 x24， x1 x24，|AB|1 k2· x1 x2 2 4x1x21 2 · 4 4· 4 4 10.于是， ABP 面積的最大值為12× 4 10× 解析 直線 l 的方程為：y x 1，5設(shè) A（x1， y1）， B（x2， y2）， 8 2.12 分 評分細(xì)則（1）由OAOB（4，12）得到關(guān)于p，k的方程組得2分；解出p、k的值給 1 分； （2）確定 ABP 面積最大的條件給1 分；（3）得到方程x2 4x 4 0 給 1 分閱卷

28、老師提醒最值問題解法有幾何法和代數(shù)法兩種，本題中的曲線上一點(diǎn)到直線的距離的最值可以轉(zhuǎn)化為兩條平行線的距離；代數(shù)法求最值的基本思路是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值得3x2 4x 0.y x 1，x2x2 y2 141 x1 0 或 x2，則y1 1 ， y2.33OA·OB x1x2 y1y21.32 已知直線l 過拋物線C 的焦點(diǎn)， 且與 C 的對稱軸垂直，l 與 C 交于A， B 兩點(diǎn)，|AB| 12，P 為 C 的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則ABP 的面積為()A 18B 24C 36D 48答案 C解析 不妨設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 2px(p>0)，由于l 垂直于對稱軸且過焦點(diǎn)，故直線 l 的方程

29、為xp2.代入y22px 得，y±p，即|AB|2p，又|AB|12，故p6，所以拋1物線的準(zhǔn)線方程為x3，故S ABP 12× 6× 12 36.3 已知動圓圓心在拋物線y2 4x 上， 且動圓恒與直線x1 相切， 則此動圓必過定點(diǎn)()A (2,0)B (1,0)C (0,1)D (0，1)答案 B解析 因?yàn)閯訄A的圓心在拋物線y2 4x上， 且 x1 是拋物線y2 4x的準(zhǔn)線，所以由拋物線的定義知，動圓一定過拋物線的焦點(diǎn)(1,0)，所以選B.4設(shè)M(x0， y0)為拋物線C： x2 8y上一點(diǎn)，F(xiàn) 為拋物線C 的焦點(diǎn)，以F 為圓心、|FM |為半徑的圓和拋物線C

30、 的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是()A (0,2)B 0,2C (2，)D 2，)答案 C解析 x2 8y， 焦點(diǎn) F 的坐標(biāo)為(0,2)，準(zhǔn)線方程為y2.由拋物線的定義知|FM| y0 2.由于以 F 為圓心、|FM |為半徑的圓與準(zhǔn)線相交，又圓心F 到準(zhǔn)線的距離為4，故4<y0 2， y0 >2.5 已知拋物線C 的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上， 直線y x 與拋物線C 交于A， B 兩點(diǎn)，若 P(2,2) 為 AB 的中點(diǎn)，則拋物線C 的方程為答案y2 4x解析 設(shè)拋物線方程為y2ax.將yx 代入y2ax，得x0 或xa，2a2.a4. 拋物線方程為y2 4x.226已

31、知F1( c,0)， F2(c,0)為橢圓x2 y2 1 的兩個焦點(diǎn)，P 為橢圓上一點(diǎn)且PF1·PF2 c2，則ab此橢圓離心率的取值范圍是1 已知拋物線2已知雙曲線答案33，22解析 設(shè)P(x，y)，則PF 1·PF2(cx，y) ·(cx，y)x2c2y2c2， 2222將y2 b2 b2x2代入 式解得x23c 2a a ，ac又x20 ，所以離心率a2 ，所以2c2 a2 3c2，e ca33，22 .專題限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練C： y2 2px(p> 0)的準(zhǔn)線為l，過M(1,0)且斜率為3的直線與l 相交于點(diǎn)A，與 C 的一個交點(diǎn)為B，若AM MB，則p等

32、于()A 1B 2C 3D 4答案 B解析 如圖，由AB 的斜率為3，知 60°，又AM MB， M 為 AB 的中點(diǎn)過點(diǎn)l 于點(diǎn)P，則 ABP 60°， BAP 30°.1 |BP| 21|AB| |BM|.M 為焦點(diǎn)，即p 1 ， p 2.22y 1 的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2，3A281B 16C 1D 0B 作 BP 垂直準(zhǔn)線P 為雙曲線右支上一點(diǎn)，則PA1PF2答案 A解析 由已知得x， y) 4x2 xA1(1,0)， F2(2,0)設(shè)P(x， y) (x 1)，則PA1·PF2 ( 1 x，5.令f(x) 4x2 x 5， 則 f(x)在

33、 1 ， )上單調(diào)遞增，所以當(dāng)y) ·(2x 1 時(shí)，函數(shù) f(x)取最小值，即PA1 · PF2取最小值，最小值為2.22xy3設(shè)大為AB 是過橢圓a2 b2(a>b>0)中心的弦，橢圓的左焦點(diǎn)為F1( c,0)，則F1AB 的面積最()A bcB abC ac2D b2答案 A解析 如圖， 由橢圓對稱性知O 為 AB 的中點(diǎn)，則 F1OB 的面積為 F1AB 面積的一半又 OF1 c， F1OB 邊 OF1上的高為yB， 而 yB的最大值為b.所以 F1OB 的面積最大值為21cb.所以 F 1AB 的面積最大值為bc.4 已知點(diǎn)A（ 1,0）， B（1,0

34、）及拋物線y2 2x，若拋物線上點(diǎn)P 滿足 |PA| m|PB|，則m 的最大值為()C. 3D. 2答案解析據(jù)已知設(shè)則有m |PA|PB|x 1 2 2xx 1 2x1 x24 x 1P(x， y)，x1 2 y2據(jù)基本不等式有m3.故選 C.x 1 y4x 1 x2 1141，x x141x x1413，2 x× x即 m 的最大值為5 直線3x 4y 4 0 與拋物線D，則|AB|的值為|CD|x2 4y和圓x2 （y 1）2 1 從左到右的交點(diǎn)依次為A、 B、 C、()A 161B 16答案 B解析 由3x 4y 4 0，2x 4y得x2 3x 4 0，xA1 ，xD4，直線

35、3x4y40 恰過拋物線的焦點(diǎn)F(0,1)， |AF|yA154，|DF | yD 1 5， |AB| |AF| 1 1|CD| |DF | 1 16.故選B.226 過橢圓C： ax2 by2 1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A的斜率為k的直線交橢圓C 于另一個點(diǎn)B，且點(diǎn)B 在 x軸上的射影恰好為右焦點(diǎn)F，若1<k<1，則橢圓離心率的取值范圍是32A (4， 4)B(23， 1)1C (2，23)D(0，12)答案解析點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)是c，故 B 的坐標(biāo)（c，11k (3， 2)，b2B(c，b ) 又A( a,0)，aa2 c21 e2a則斜率k22.c a ac a ac

36、 ae 1A， B， C， D（如圖所示）， 則 |AB| ·|CD|（）7已知拋物線y2 4x，圓F： （x 1）2 y2 1，過點(diǎn) F 作直線l，自上而下順次與上述兩曲線交于點(diǎn)的值A(chǔ)等于1B 最小值是1C等于4D 最大值是4答案 A解析 設(shè)直線 l： x ty 1，代入拋物線方程， 得y2 4ty4 0.設(shè) A（x1， y1）， D（x2， y2），根據(jù)拋物線定義|AF| x1 1， |DF | x2 1，故 |AB| x1， |CD | x2，所以 |AB| ·|CD | x1x2 y41· y42y11y62 ，x a2上存在P 使線段c而 y1y24，代

37、入上式，得|AB| ·|CD | 1.故選A.228設(shè)F1， F2分別是橢圓2 y2 1 （a>b>0）的左，右焦點(diǎn)，若在直線abPF1 的中垂線過點(diǎn)A. 0，22C. 22， 1F2，則此橢圓離心率的取值范圍是B. 0，33D. 33， 1（）答案 D解析 設(shè) P ac ， y ， F 1P 的中點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為2bc，y2 ，kQF2存在時(shí)，則cy kF1P a2 c2，由 kF1P·kQF21，得y2 a2 c2 ·c22c2 b2， y2 0，但注意到b2 2c2 0，即2c2 b2>0，即 3c2 a2>0，即e2>1 ，故

38、3<e<1.33當(dāng) kQF2不存在時(shí)，b2 2c2 0， y 0，a23此時(shí) F2為中點(diǎn)，即a c 2c，得e3，c3綜上，得33 e<1 ，即所求的橢圓離心率的范圍是33， 1 .二、填空題9已知橢圓的焦點(diǎn)是F1（ 22，0）和F2（22，0），長軸長是6，直線yx2 與此橢圓交于 A、 B 兩點(diǎn)，則線段AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)是答案解析 9， 155x2 y2 1 ，直線與橢圓相交有 9x2 9y2 9，y x 2，191270，AB 中點(diǎn)(x0，y0)有x0(xAxB)，y0x02 ，所以，255則10x2 36xAB 中點(diǎn)坐標(biāo)是 9， 1 5， 5 .10點(diǎn)P 在拋物線x2

39、4y 的圖象上，F(xiàn) 為其焦點(diǎn)，點(diǎn)A( 1,3)，若使|PF| |PA|最小，則相應(yīng) P 的坐標(biāo)為答案 1， 14解析 由拋物線定義可知PF 的長等于點(diǎn)P 到拋物線準(zhǔn)線的距離，所以過點(diǎn)A 作拋物線準(zhǔn)線的垂線，與拋物線的交點(diǎn) 1 ， 41 即為所求點(diǎn)P 的坐標(biāo)，此時(shí)|PF| |PA|最小11 斜率為3的直線l 過拋物線y2 4x的焦點(diǎn)且與該拋物線交于A， B 兩點(diǎn)， 則 |AB|答案1632B(x2， y2 )兩點(diǎn)，則y21解析 如圖，過A 作 AA1 l ， l 為拋物線的準(zhǔn)線過B 作 BB1l ， 拋物線y2 4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，過焦點(diǎn)F 作 FM A1A交A1A于 M 點(diǎn)，直線 l 的

40、傾斜角為60°，所以|AF| |AA1| |A1M|4 |AM| 2 |AF| ·cos 60°，所以|AF| 4，同理得|BF | 4，3故 |AB| |AF| |BF| 16.312已知拋物線y2 4x，過點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1， y1)， y2的最小值是答案 32解析(1)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x 4， 代入y2 4x， 得交點(diǎn)為(4,4)， (4， 4)， y12 y22 16 16 32.(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y k(x 4)，與y2 4x聯(lián)立，消去x得 ky2 4y16k0，由題意知k0，則y1 y2，y1y216.y1y2(y1y2) 2y1y22 kk32>32.綜合 (1)(2)知 (y21 y22)min 32.三、解答題2213 (2013 天津·)設(shè)橢圓xa2 yb2 1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為3 ，過點(diǎn) F 且與 x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為4 3.(1)求橢圓的