學(xué)生--雙曲線

1、2.3 雙曲線2.3.1 雙曲線定義：到兩個(gè)定點(diǎn)F1與F2的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)（|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡（ ）這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)注：（1）距離之差的絕對(duì)值.（2）2a|F1F2|，這兩點(diǎn)與橢圓的定義有本質(zhì)的不同.當(dāng)|MF1|MF2|=2時(shí)，即時(shí)，曲線僅表示 ；當(dāng)|MF1|MF2|=2a時(shí)，即時(shí)，曲線僅表示 ；當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，軌跡是 ；當(dāng)2a|F1F2|時(shí)， . 1. P是雙曲線左支上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是左、右焦點(diǎn)，且焦距為2c，則的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為（ ）A B C D 2.如圖2所示，為雙曲線的左焦點(diǎn)，雙曲線上的點(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱，則的值是（ ）A9 B16 C18

2、D27 2.3.2 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程由兩種不同類型：和（a0，b0），分別表示焦點(diǎn)在 軸和焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線.注：（1）這里的參數(shù)確定了雙曲線的大小和形狀，這里 ，其中|=2c.與橢圓中相區(qū)別，且橢圓中，而雙曲線中，大小不確定。（2）焦點(diǎn)的位置，是雙曲線定位的條件?！?”：若的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在軸上；若的系數(shù)為正，那么焦點(diǎn)在軸上。（3）當(dāng)且僅當(dāng)雙曲線的中心在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上時(shí)，雙曲線的方程才具有標(biāo)準(zhǔn)形式。（4）雙曲線標(biāo)準(zhǔn)形式可以寫為 ，這種形式是焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸不易判斷時(shí)的同一設(shè)法。（5）規(guī)律總結(jié)： 判定方程所表示的曲線類型，在對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論時(shí)，首先要找好討論的分界點(diǎn)

3、，除了區(qū)別曲線類型外，同一類曲線還要區(qū)別焦點(diǎn)在軸上還是在軸上。 確定方程類型時(shí)，首先應(yīng)明確方程表示雙曲線的條件，即?；伞Ｈ艚裹c(diǎn)在軸上，則 ；若焦點(diǎn)在軸上，則 。 常見(jiàn)題型：一是判斷含有參數(shù)的方程的曲線類型；二是已知曲線的類型，求方程中參數(shù)的取值范圍。（6）橢圓與雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系：橢圓雙曲線根據(jù)根據(jù)，（），（，不一定大于）3到兩定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于6的點(diǎn)的軌跡 （ ）A橢圓B線段C雙曲線D兩條射線4方程表示雙曲線，則的取值范圍是（ ） AB C D或5 雙曲線的焦距是（ ）A4BC8D與有關(guān)6若，雙曲線與雙曲線有（ ）A相同的虛軸B相同的實(shí)軸C相同的漸近線D 相同的焦點(diǎn)7.雙曲線的焦

4、距為（ ）A 3B 4C 3D 48. 若橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF1|·|PF2|的值是 （ ）A. B. C. D. 2.3.3 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)這里以焦點(diǎn)在軸為例：標(biāo)注方程為=1（a0，b0）（1） 范圍：由方程可知；。當(dāng)逐漸增大時(shí)，也無(wú)限增大，所以雙曲線是無(wú)限伸展的，不是封閉圖形。（2） 對(duì)稱性：關(guān)于x、y軸均對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱。（3） 頂點(diǎn)：軸端點(diǎn)A1（a，0），A2（a，0），雙曲線與軸沒(méi)有交點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，是沒(méi)有實(shí)數(shù)根的。但是我們把畫在軸上。線段，叫做雙曲線的實(shí)軸，叫做實(shí)半軸；線段，叫做雙曲線的虛軸，叫做虛半軸。注： 雙曲

5、線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，即實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。 雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，實(shí)軸與虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線。 與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是（4） 漸近線：對(duì)于雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)作軸的平行直線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作軸的平行直線，四條直線圍成一個(gè)矩形，矩形的兩條對(duì)角線所在直線方程是。根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知，雙曲線向外無(wú)限伸展時(shí)，總局限在由直線相交而分平面所成的、含雙曲線焦點(diǎn)的兩個(gè)區(qū)域內(nèi)，并與這兩直線無(wú)限接近，但永遠(yuǎn)不相交。這里我們把直線叫做雙曲線=1的漸近線。注： 若雙曲線方程為漸近線方程；若雙曲線方程為漸近線方程；在記憶時(shí)，可將雙曲線方程中的“1”換成“0”，然后因式分解即可得到漸進(jìn)線方程。 若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為；

6、 若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)在y軸上）；與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是 實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)相等的雙曲線叫做等軸雙曲線，方程記為。所有等軸雙曲線的漸近線方程為，特別地，是一條等軸雙曲線。將雙曲線的實(shí)、虛軸互易，所得雙曲線方程為：.這兩個(gè)雙曲線就是互相共軛的雙曲線.它們有相同的焦距而焦點(diǎn)的位置不同；它們又有共同的漸近線而為漸近線所界定的范圍不一樣.9焦點(diǎn)為，且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程是（ ）ABCD10. 兩共軛雙曲線的離心率分別為，證明：=1.（5） 離心率雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比，叫做雙曲線的離心率。因?yàn)?，所以雙曲線的離心率。由，可以看出越大，也越大。即漸近線

7、的斜率的絕對(duì)值越大。這時(shí)雙曲線的形狀從扁狹逐漸變得開闊。即張口越來(lái)越大。反之，當(dāng)越小，漸近線的斜率絕對(duì)值越小，雙曲線的張口也越小，形狀就越扁。通常用的值來(lái)刻畫雙曲線的扁平程度。注： 若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，漸近線的傾斜角為，則 。 等軸雙曲線的離心率為 。特別地當(dāng) ，分別為y=，此時(shí)雙曲線為等軸雙曲線，可設(shè)為；y=x，y=x。 雙曲線離心率及其范圍的求法：a) 雙曲線離心率的求解，一般可采用定義法、直接法等方法。b) 在解析幾何中，求范圍的問(wèn)題一般可以從以下幾點(diǎn)考慮：（1）與已知范圍聯(lián)系，通過(guò)求值域或解不等式來(lái)完成；（2）通過(guò)判別式大于0；（3）利用點(diǎn)在曲線內(nèi)部形成的不等關(guān)系；（4）利用解析式的

8、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，如等非負(fù)性。注：(1)點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部 .(2)點(diǎn)在雙曲線的外部 .11 雙曲線的兩條準(zhǔn)線將實(shí)軸三等分，則它的離心率為（ ） AB3CD 12. 已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,過(guò)且斜率為的直線交于兩點(diǎn)，若,則的離心率為（ ）AB C D 13. 設(shè)F1和F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn), 若F1,F2，P(0,2b)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則雙曲線的離心率為 （ ） AB2CD314. 設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）ABCD15. 設(shè)是等腰三角形，則以為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的離心率為（ ）AB C D16. 雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別是，過(guò)作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點(diǎn)，若垂直于軸，則雙曲線的

9、離心率為ABCD17求一條漸近線方程是，一個(gè)焦點(diǎn)是的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，并求此雙曲線的離心率18. 過(guò)雙曲線C：的一個(gè)焦點(diǎn)作圓x2+y2=的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若AOB=120°（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線線C的離心率為 19.己知斜率為1的直線l與雙曲線C：相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為，求C的離心率；20. 如圖，和分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率（ ）（A） （B） （C） （D）（6）焦半徑：，（點(diǎn)P在雙曲線的右支上）；，（點(diǎn)P在雙曲線的右支上）；2.3.4 雙曲線的第二定義平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)

10、F的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數(shù)e(e1)時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線這定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線l叫做雙曲線的準(zhǔn)線 準(zhǔn)線：l1：x=，l2：x=，兩準(zhǔn)線之距為注： 定點(diǎn)在直線外。 比值是大于1的常數(shù)。 當(dāng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比是常數(shù)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程是。 運(yùn)用第二定義時(shí)，要注意焦點(diǎn)與準(zhǔn)線是對(duì)應(yīng)的，即左焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)左準(zhǔn)線；右焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)右準(zhǔn)線。 點(diǎn)是雙曲線上的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離是，點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離是，則。即。這樣就可將雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為改點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離問(wèn)題來(lái)解決，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。21雙曲線的右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為_22與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且兩準(zhǔn)線間的距

11、離為的雙曲線方程為_23.點(diǎn)在雙曲線的右支上，若點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離等于，則 ；24. 已知雙曲線與點(diǎn)M（5，3），F(xiàn)為右焦點(diǎn)，若雙曲線上有一點(diǎn)P，使最小，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為 2.3.5 雙曲線定義的運(yùn)用（1）利用雙曲線的定義求雙曲線的方程 如果平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足條件：（定長(zhǎng)），當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為雙曲線；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為射線；如果不含有絕對(duì)值，那么軌跡是一支雙曲線或一條射線。選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，依雙曲線的定義直接寫出方程。（2）雙曲線中的焦點(diǎn)三角形 雙曲線上一點(diǎn)與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形，其中為三角形的三邊，解決與這個(gè)三角形有關(guān)的問(wèn)題要充分利用雙曲線的定義和三角形的邊角關(guān)系、正弦定理、余弦

12、定理。例如：求的面積。 解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是“”形式的“配湊”。25. 設(shè)P為雙曲線上的一點(diǎn)F1、F2是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|：|PF2|=3：2，則PF1F2的面積為（ ）AB12CD2426. 過(guò)雙曲線左焦點(diǎn)F1的弦AB長(zhǎng)為6，則（F2為右焦點(diǎn)）的周長(zhǎng)是（ ）A28 B22C14D1227. 已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，為的右支上一點(diǎn)，且，則的面積等于ABCD28. 設(shè)為雙曲線上的一點(diǎn)，是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的面積為（ ）A B C. D 2.3.6 標(biāo)準(zhǔn)方程的求法（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程就是根據(jù)題意求出的值，并由焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸確定方程形式。常見(jiàn)的類型：一是根據(jù)題意可以判

13、定出焦點(diǎn)的位置，從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，利用待定系數(shù)法確定的值，二是未給出坐標(biāo)系，需建立坐標(biāo)系，然后根據(jù)雙曲線的定義確定方程。主要步驟是先定位，后定量。（2）求雙曲線的方程也可以運(yùn)用前面求軌跡方程的方程，如：直接法、定義法、轉(zhuǎn)化法等。（3）在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí)注意以下幾點(diǎn)： 動(dòng)點(diǎn)是否滿足雙曲線的全部定義； 條件“”是否成立； 是否使同時(shí)成立； 焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸是否明確； 將給定焦點(diǎn)組成的的邊化為的關(guān)系。（4）利用待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程需注意： 如果雙曲線的中點(diǎn)心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，方程為 ； 如果雙曲線的中點(diǎn)心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，方程為 ； 如果已知雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)式，但不知焦點(diǎn)所處的位置，

14、也可把方程設(shè)為 。 利用上述方法求方程時(shí)，根據(jù)題意可得到關(guān)于或的二元方程組，解方程組來(lái)求值。29. 已知雙曲線（a0,b0）的一條漸近線為y=kx(k0),離心率e=,則雙曲線方程為A=1B C.D30. 已知雙曲線C與雙曲線=1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（3，2）.求雙曲線C的方程31.已知雙曲線的漸近線方程是，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上且焦距是10，則此雙曲線的方程為 ； 32. 已知點(diǎn)，動(dòng)圓與直線切于點(diǎn)，過(guò)、與圓相切的兩直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為A BC（x > 0） D2.3.7 與漸近線有關(guān)問(wèn)題的處理方法（1）求雙曲線的漸近線方程若雙曲線方程為漸近線方程 ；若雙曲線方程為漸近線方程 ；在記憶時(shí)

15、，可將雙曲線方程中的“ ”換成“ ”，然后因式分解即可得到漸進(jìn)線方程。（2）有共同漸近線的雙曲線系方程及應(yīng)用 若雙曲線與有相同漸近線，可設(shè)為 ；與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是。即 。故與有相同漸近線的方程為。實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)相等的雙曲線叫做等軸雙曲線，方程記為 。所有等軸雙曲線的漸近線方程為 ，特別地，是一條等軸雙曲線。若漸近線方程為 雙曲線可設(shè)為 ；（3）漸近線與離心率綜合問(wèn)題的求解 由漸近線中的關(guān)系，結(jié)合建立含有的方程，進(jìn)而求。33. 設(shè)雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1 只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為 A B 5C D34.已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線的

16、焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ；漸近線方程為 。35. 過(guò)點(diǎn)（1，3）且漸近線為的雙曲線方程是36.焦點(diǎn)為（0，6），且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程是 （ ）A B C D37. 以橢圓的右焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程是 A B C D 2.3.8 直線與雙曲線的位置關(guān)系（1）直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法 聯(lián)立方程組； 消元，轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 計(jì)算。當(dāng)，直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，相交；當(dāng)，直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，相切；當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，相離。要注意項(xiàng)或項(xiàng)系數(shù)是否為零的情況，否則容易漏解。38. 已知雙曲線的準(zhǔn)線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，則直線y=kx+2與橢圓至多有一個(gè)交點(diǎn)的充要條件是

17、AKBK C.KD （2）弦長(zhǎng)公式當(dāng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，則。其中涉及等值，運(yùn)用韋達(dá)定理來(lái)解決。若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則。（3）雙曲線的切線方程（1）雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是.（2）過(guò)雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.（3）雙曲線與直線相切的條件是.39給出下列曲線：4x+2y1=0; x2+y2=3; ，其中與直線y=2x3有交點(diǎn)的所有曲線是（ ）A B C D40直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，則=_41過(guò)點(diǎn)且被點(diǎn)M平分的雙曲線的弦所在直線方程為 42已知不論b取何實(shí)數(shù)，直線y=kx+b與雙曲線總有公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍.43. 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是，一條漸近線的方程是.求雙曲線C的方程；44. 雙曲線的一弦中點(diǎn)為（2，1），則此弦所在的直線方程為 （ ）A. B. C. D. 但是，“設(shè)而不求”的手段應(yīng)當(dāng)慎用.不問(wèn)條件是否成熟就濫用，也會(huì)出漏子.請(qǐng)看：45. 在雙曲線上，是否存在被點(diǎn)M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.46已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與雙曲線x2y21的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為定值，且cosF1PF2的最小值為.（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)M(0，1)，若斜率為k(k0)的直線l與P點(diǎn)的軌跡交于不同