對絕對值不等式的一個猜想的證明及應(yīng)用(終稿)

1、對含絕對值不等式的一個猜想的證明及應(yīng)用 馬乾凱、雷添淇 ( 沈陽大學(xué) 沈陽市數(shù)學(xué)會， 遼寧 沈陽 110044 )猜想：設(shè)函數(shù)（）.若時，無最大值；若時，,無最小值；若時，. （ 當(dāng)，、 ）證明：(方法一）（）.當(dāng)n=1時，猜想顯然成立.現(xiàn)考慮時的情況：（I）若時，不妨假設(shè)（）當(dāng)時，當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時，當(dāng)時， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.為R上的連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上存在最大值和最小值. 閉區(qū)間且在上均為直線段在上均有最值，且最值均在端點(diǎn)處取得.又且是R上的連續(xù)函數(shù)，因此，可畫出在R上的圖象草圖由圖象可知：無最大值；（II）若時，不妨假設(shè)（）令 由（I）可知，； 無最大值.無最小值； .（III

2、）若時，不妨假設(shè)（）當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時，當(dāng)時， 為R上的連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上存在最大值和最小值.閉區(qū)間且在上均為直線段在上均有最值，且最值均在端點(diǎn)處取得.因此，可畫出在R上的圖象草圖由圖象可知：；.綜上（I）、（II）、（III），時猜想的成立.因此，猜想成立，證畢.（方法二：數(shù)學(xué)歸納法）當(dāng)n=1時，顯然成立. 當(dāng)n=2時，函數(shù)A. 若時不妨假設(shè)（1） 當(dāng)時 （2） 當(dāng)時 （3） 當(dāng)時 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又為R上的連續(xù)函數(shù) 在閉區(qū)間上存在最大值和最小值. 當(dāng) 即在上為直線段在上的最值在端點(diǎn)處取得.又且是R上的連續(xù)函數(shù)，因此，可畫出函數(shù)在R上的圖象草圖如下：或由圖象可知：；無最

3、大值. B. 若時不妨假設(shè) 函數(shù) 令 即此時為A情況. 由A可知 ； 無最大值. 無最小值；.C. 若時， 不妨假設(shè) 函數(shù) （1）當(dāng)時 （2）當(dāng)時 （3）當(dāng)時 為R上的連續(xù)函數(shù) 在閉區(qū)間上存在最大值和最小值.又在上為直線段 在上的最值在端點(diǎn)處取得. 因此，可畫出在R上的圖象草圖如下：或由圖象可知：；.綜上A、B、C，當(dāng)時，猜想的結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)（）時，猜想的結(jié)論成立.則當(dāng)時，不妨假設(shè)（）此時函數(shù)把數(shù)列按從小到大重新排列得到新數(shù)列 ， ，（）則其中，且當(dāng)時.令根據(jù)假設(shè)可知：若時， 令 ； 無最大值.令（I）若，則，無最大值.當(dāng)>時，由前面證明n=2時可知，當(dāng)=時，故，綜合，時，.（II）若，則；，故.當(dāng)時，由可知且；.當(dāng)=時，由可知則.綜合，時，；.（III）若，（不合題意）綜上（I）、（II）、（III），當(dāng)時，函數(shù)的最小值.又時，；無最大值.若，無最大值.故，當(dāng)時，；無最大值.若時不妨假設(shè)（）此時函數(shù)令 ； 無最大值.無最小值； .若時不妨假設(shè)（）當(dāng)時 當(dāng)時 當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)時為R上的連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上存在最大值和最小值.閉區(qū)間且在上均為直線段在上均有最值，且最值均在端點(diǎn)處取得.因此，可畫出在R上的圖象草圖由圖象可知：；.即當(dāng)時，猜想的結(jié)論成立.綜上所述，猜想成立.應(yīng)用:例：設(shè)，試討