人教版高中數(shù)學(xué)全套教案導(dǎo)學(xué)案273 參數(shù)方程

1、本資料來源于七彩教育:/ 27.3 參數(shù)方程 【知識(shí)絡(luò)】 1. 參數(shù)方程的概念. 2. 曲線的參數(shù)方程與普通方程的互化. 3. 利用曲線的參數(shù)方程解決有關(guān)問題. 【典型例題】 2?sin?2x?()?化為普通方程為 例1.（1）3將參數(shù)方程 為參數(shù)（C） 2?siny?y?x?2y?x?2y?x?2(2?x?3)y?x?2(0?y?1) DC A B222?siny?sin10?x?2?sin. 提示：將即可，但是代入1?x?t? )t(t?表示的曲線是 （2 ）參數(shù)方程為 為參數(shù) （D） ?y?2?A一條直線 B兩條直線 C一條射線 D兩條射線 x?2,或x?2x2y?，所以表示兩條射線提示

2、：表示一條平行于 軸的直線，而1?x?1?t? 2?22?16?yxA,)BABt(?的中點(diǎn)坐和圓 （3）直線為參數(shù)交于兩點(diǎn)，則 3? t?33y? ?2標(biāo)為 （D） (3,?3)(3,?(?3,3)3)3)?(3, C AD B 13t?t 2221216)?(1?(?33?tt)0?8t?8t?8,4t?t ，得提示： 212221?x?1?4?x?3 ?2? 中點(diǎn)為 y?33? 4?33?y?2x?3?4t?5?)t(? （ 為參數(shù) 4）直線的斜率為_. y?4?5t4?y?4?5t5?k提示： 44x?3tx?4t?tx?軸上截得的弦長(zhǎng)為 （為參數(shù)）在5（）拋物線 . 2ty1?4 ?

3、1?t0y?. ，得提示：令 211t?tx(2,0),(?2,0)2?x?2x?. 軸交于點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)，拋物線與 221?tt?cose)?(e?x? ?2?化為普通方程：分別在下列兩種情況下，把參數(shù)方程例2. 1?t?t?)siny?(ee ?2?t 為參數(shù)，）為常數(shù)；（1?t 為參數(shù)，為常數(shù)；2（）?|x|?1,且y?0cosx?0,y?0t?；時(shí)，即（1）當(dāng) 解：xy?,sincos?0t?時(shí)， 當(dāng) 11tt?t?t)?e)e(e(e 2222xy22?11?sincos? ，即 而 112?tt2t?t)?e(e(e?e) 441t?t?|x|?1,且y?0)?(ee?xZk?k

4、?,0y?； 2）當(dāng)時(shí)，即，（ 2?1t?t?,k?Zy?k?(e?e)x?00x?；，當(dāng)時(shí)，即 222x2x2y?ttt?2e?e?e? ?k?sincoscos?Zk?,? ，即時(shí)，得當(dāng) y222yx2?t?tt?e?e2?e ?sinsincos?2x2y2x2ytt?(e)(?)?22e 得 ?sinsincoscos22yx?1。 即 22?sincos?)y(x,Ml的參數(shù)方程. 的直線求經(jīng)過點(diǎn)例3.傾斜角為000Mxy)yM(x,lM軸的平行線，作作軸的平行線，過點(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn) 解：設(shè)點(diǎn)0Ql. 兩直線相交于點(diǎn)向上的方向?yàn)檎较?規(guī)定直線 ?MM|MM|M,MMMl,

5、重合時(shí)由三角函數(shù)定義,因當(dāng)與同方向或, 0000?sinM?cosMQM?M,QMM; 有000 MM,MQ,QMMMl同時(shí)改變符與,反方向時(shí), 上式依然成立. 當(dāng)000tMQ?MMx?x,?tQM?y?y, , 設(shè),取 為參數(shù)0000?sin?t,y?x?x?t?tcoscos,y?y?tsinxx?y, , 即0000?cos?tx?x?0l?. 的參數(shù)方程為直線?sin?ty?y?022?2y?yx)y(x,P上的動(dòng)點(diǎn)， 4.已知點(diǎn)是圓例y2x?的取值范圍；）求 （1a0?y?ax的取值范圍。 2）若恒成立，求實(shí)數(shù)（?cos?x?，）設(shè)圓的參數(shù)方程為 解：（1?sin1?y? ?)?1?

6、1?x2?y?2cos5?sinsin( ?)?1?5?15?5?1?sin( 15?2x?y?5?1?5?1,5?1y?2x. 的取值范圍為,即?1?a?sin?x?y?a?cos0 （2）? ?12?1?2sin(?a?(cos?sin)?1, 4 ?1,?)2?a的取值范圍為 . 實(shí)數(shù) 【課內(nèi)練習(xí)】 ?tx?t()?與參數(shù)方程為） 1. （D 為參數(shù) 等價(jià)的普通方程為 y?21?t?22yy22?1)x?x?x?1?1(0 A B 4422yy22?2)x1,0?y?x?1(0?y?2)1(0?x? DC 4422yy222,tx?1,?x11?t?x,?2?0?t0,01t1,y?提示

7、： 而得 44?2cos?1?x?CC?上的點(diǎn)的軌跡是 （為參數(shù)），則曲線D）2.若曲線（的參數(shù)方程為 2?siny?x?2y?2?0(2,0)為端點(diǎn)的射線 B以 A直線 22?1?(x?1)y(0,1)(2,0)為端點(diǎn)的線段 和 D以C圓 x?2y?2?0(0?x?2,0?y?1) 提示：將曲線的參數(shù)方程化為普通方程得x?2?5t?)t(?與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是 3.曲線 為參數(shù) （B） y?1?2t?2111)、(,0)(0,)、(,0)(0, B A 25525(8,0)、(0,)(8,0)(0,?4)、 D C 9112)1?2t?(0,yt?y0?x 曲線與；，此時(shí)軸的交點(diǎn)為提示：令， ，

8、得 555111,0)?5t?(t?x?2x0y?. 令 曲線與軸的交點(diǎn)為，得 ，此時(shí) 222x?2?t?22?25?3)1)?(y(x?)t(?所截得的弦長(zhǎng)為 為參數(shù)直線 被圓 （C） 4.y?1?t?1 82984093?43 CD B A 4 ?2 x?2?2t?x?2?tt?2x ?2?代入提示： ，把直線t?y?1y?1?t 2? ?2t1y? 2?22222?7t?2?t)0?25,tx?3)(?y?1)(?25?5?t)(2?( 得 2 41tt)?4ttt?(t?2t?t?82 ，弦長(zhǎng)為22121121x?3?at?(3,?1)t(? 5.直線 恒過定點(diǎn)_. 為參數(shù)y?1?4t

9、?y?14(x?3)?a(y?1)?0x?3且 提示：將參數(shù)方程化為乭方程得，當(dāng)時(shí)，此方程對(duì)于任a(3,?1). 都成立，所以直線恒過定點(diǎn)何1?x?2?t? ?2 22t(144x?y)?直線 6.被圓 截得的弦長(zhǎng)為_. 為參數(shù)1?t?1y ?2 120?x?y?1?d? ，提示：直線為，圓心到直線的距離 22 214 2214?)?(2 ，得弦長(zhǎng)為.弦長(zhǎng)的一半為 222?pt2x?(tttpNM,)?，且和為參數(shù)，已知曲線上的兩點(diǎn)為正常數(shù)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為7. 21y?2pt? MN0t?t?4p|t| ，那么 =_. 2112?pt?2x2y?2pxMN?垂直于拋物線的對(duì)稱軸，提示：參數(shù)方程

10、，線段表示的曲線為拋物線 y?2pt?|MN|?2p|t?t|?2p|2t| 112y?2x?3化為參數(shù)方程. 8. 選取適當(dāng)參數(shù)，把直線方程x?t?txy?2t?3?由此得直線的參數(shù)方程為. ，則 解：選， y?2t?3?x?t?1?y?2t?11?t?x?. ，則 由此得直線的參數(shù)方程為也可選 ，y?2t?1?可見，曲線的參數(shù)方程隨參數(shù)選取的不同而不同，同一條曲線可以有多種不同形式的參數(shù)方程. ?costx?v?0?1. 9.已知彈道曲線的參數(shù)方程為2?gtsin?y?vt? 02?時(shí)，彈道曲線的普通方程和射程；（1 ）求發(fā)射角 3?v?時(shí)射程最大可以變動(dòng)，求證：當(dāng)（2）設(shè). 是定值， 0

11、41?x?vt? 0?2?， 時(shí)，彈道曲線的參數(shù)方程為1解：（）發(fā)射角 331?2gtt?yv ?022? 3112g2x 22gty?vt?3xy?x?ttx?v. 由， 并化簡(jiǎn)，得，得代入 00222vv200 22vv33000y?0?x?x. ，可知射程為，得令或gg22 2v3g2 203?x?xy，射程為. 彈道曲線的普通方程為 2vg20?cosvtx?0?t?1， 消去（2）證明：由彈道曲線的參數(shù)方程2?gty?vtsin? 02?22?2vsinx1?0?gxtan?y?，由（1）知，射程為得到它的普通方程為， 22?gcos2v02?v?0?0?0?2. ，當(dāng) 時(shí)射程最大，

12、為， g4222yx?1x?2y?12?0的距離的最小值上找一點(diǎn)，使這一點(diǎn)到直線. 10.在橢圓 1612 ?12sin?434cos?4cosx?d? ，解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為 ?5sin3y?2? ? 5544 ?)?cos2cos(?3sin3?3 553 ?455?d(2,?3)?1?)cos(. ，即當(dāng)時(shí)，此時(shí)所求點(diǎn)為 min533 作業(yè)本 t1?xy參數(shù)的參數(shù)方程是 1.把方程 化為以 （D） 1?x?sintx?tantx?cost? t?x2?11?1? DC A B 1y?y?y? ty?tant2costtsin?xx1xy?都取不到一切非零實(shí)數(shù). C中的可取一切非零實(shí)數(shù)，

13、而提示：A，B，?2cos?x?09?43x?y?為參數(shù)）的位置關(guān)系是 2. 直線： （其中 （與圓：D） ?2sin?y?A相切 B相離 C直線過圓心 D相交但直線不過圓心 922?xy4?O(0,0)3x?4y?9?0, 的距離為，圓心到直線提示：圓的普通方程為 59?20. 5?2cos4?x?為參數(shù)）的焦距為 3.橢圓 （ （B） ?5siny?1? 29292121 D2 B 2 A C 221)?(y(x?4)?1， 提示：橢圓的普通方程為 42522?yx 1?a?5,c?21. ，橢圓可通過平移將其方程化為 425x?a?t?PtPP(a,b)t(ll? 上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)是的參

14、數(shù)方程為為參數(shù)與，則點(diǎn)4.直線111y?b?t? 2|t| . 之間的距離是 1 22222 ?2?t2|t)?bt?2t?|ta(|PP|?a?t)?t?(b?距離為. 提示：11111111?2cos?4x?tcosx?5? 5.直線 與圓，或 相切，則 _. ?2sinsint?yy?66?22?y?4)4?(x0tan?y?x(4,0)，提示：直線為，圓心為，圓為 ?sin|4?11|4tan| ?cos?sin?sin2?|4sin?|? ， 由 或， 1222?tan1?| ?cos?5?. 或 66xy9MM12 和6. 動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，點(diǎn)作等速直線運(yùn)動(dòng)，它在軸和軸方向的分速度分別為A(1,1)M的軌跡的參數(shù)方程，求點(diǎn)位于. t(x,y)M ，的坐標(biāo)為，點(diǎn)解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x?1?9t,y?1?12t(t?0)，由題設(shè)知， x?1?9t?t?0M?）點(diǎn)（的軌跡的參數(shù)方程為. y?1?12t?x?1?t?22x?y?4?截得的弦長(zhǎng). 7.設(shè)直線的參數(shù)方程為，求直線被圓y?1?t?2224?t(1?t)?(1?t1t?1t?1， ，得解：把直線的參數(shù)方程代入圓的方程，得 或， x?0x?2?21,(2,0)BA(0,2)? 直線與圓的交點(diǎn)為和，分別代入直線方程，得 y?2y?0?21 2222|AB|?. ，