專題71瓜豆原理中動點軌跡不確定型最值問題(解析版)

1、專題71瓜豆原理中動點軌跡不確定型最值問題【專題說明】動點枇跡非圓或直線,時，宓本上將此線段轉化為一個三角形中，(D利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求最值。(2)在轉化較難進行時，可借助直角三角形斜邊上的中線及中位線或構建全等圖形進一步轉化求最值?！局R精講】所謂“瓜豆原理”，就是主動點的軌跡與從動點的軌跡是相似性，根據(jù)主、從動點與定點連線形成 的夾角以及主、從動點到定點的距離之比，可確定從動點的軌跡，而當主動點軌跡是其他圖形時， 從動點軌跡必然也是.【精典例題】1、如圖，在反比例函數(shù)y = -2的圖像上有一個動點兒連接月。并延長交圖像的另一支于點5在 X第一象限內(nèi)有一點。，滿

2、足月06。，當點月運動時，點C始終在函數(shù)y =的圖像上運動，若市口 xNG后2,則A的值為()A. 2B. 4C. 6D. 8 【分析】/水公90且月0:。生1:2,顯然點0的軌跡也是一條雙曲線，分別作出人B垂直x軸，垂足分別為.從連接紇 易證，CV=2。從。仁24W,，公.。仁4田八。從 故F4X2=8.【思考】若將條件“SnZ的2”改為“放是等邊三角形”，女會是多少？【模型】一、借助直角三角形斜邊上的中線1、如圖，在AABC中，NC=90 , AOI, BC=2,點A、C分別在x軸、y釉上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是（）A. 6B. 2

3、/6C. 2V5D. 26+2【答案】D【解析】解：如圖，取CA的中點D,連接OD、BD,則 0DXD=Acx4=2, 乙乙由勾股定理行，BD=a/22 + 22-2V2-當0、D、B三點共線時點B到原點的距離最大,所以，點B到原點的最大距離是2+2金.故答案為2+272-9【模型】二、借助三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊1、如圖，已知等邊三角形上邊長為26，兩頂點月、6分別在平面直角坐標系的x軸負半軸、軸的正半軸上滑動，點。在第四象限，連接,則線段0。長的最小值是（）D. y/3A. V3-1B. 3一6C. 3【答案】B【詳解】解：如圖所示：過點。作于點耳 連接0E,是等邊三角

4、形，.CE=ACXsin60 =2/Jx正=3，AE=BE,2V ZA0B=90 ,:E0=aB=6EC-0E20C,.當點。，0, 在一條直線上，此時最短，故X的最小值為：kCE- E0=3-E故選6.2、如圖，NMON=90 ,矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、0N上，當B在邊0N上運動時，A隨之在0M上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=4, BC=2.運動過程中點D到點0的最大距離是.【答案】2+2 【詳解】如圖，取AB的中點E,連接OE、DE、OD,VODOE-DE,.當0、D、E三點共線時，點D到點0的距離最大,此時，VAB=4, BC20E=AEAB=2,2DE= y

5、lAD2+AE2 = 22 + 22 = 272，0D的最大值為：2JJ+2, 故答案為23-2.3、如圖，在ABC中，NACB = 900, NGR = 30。，AB = 6,以線段A3為邊向外作等邊A3。，點 石是線段A3的中點，連結CE并延長交線段于點尸.(1)求證：四邊形8cp。為平行四邊形：(2)求平行四邊形BCFD的面積；(3)如圖，分別作射線CM, CN ,如圖中43。的兩個頂點A, 3分別在射線CN, CM上滑動，在這 個變化的過程中，求出線段co的最大長度.【答案】證明見解析：90；3 + 36.【詳解】(1)在ABC中，/ACB = 90。，/CAB = 30。，./ABC

6、 = 60。，在等邊 aABD 中，/BAD = 60。，./BAD =/ABC = 60。，.E為AB的中點，.AE = BE,又./AEF=NBEC，.nAEF9BEC,在ABC中，NACB = 90。，E為 AB 的中點，.CE = LaB, BE = 1aB, 22/.CE = AE. .-.EAC = ECA = 30, /. BCE = EBC = 60,又.AEF4BEC, ./AFE = 4CE = 60。，又./D = 60。，./AFE = ND = 60。，.-.FC|BD,又:/3=/2 = 60。，也”：,即FD|BC.-四邊形BCFD是平行四邊形：在RSABC中，.

7、/BAC = 30。，AB = 6，BC = 1aB = 3,2, AC = JabLBC2 =舊_ =3褥，二S平行四邊形bcpd = 3x 3 = 90： 取AB的中點G,連結CG, DG, CD /CD.BCE是等邊三角形，BC 二 BE,V ZPBQ=ZCBE=60 ,:.ZQBC=ZPBE,VQB=PB, CB=EB,AAQBCAPBE (SAS),V QC = PE,，當EPLAC時，QC的值最小，在 RtZkAEP 中，NA=30 ,，pe/aeW24ACQ的最小值為4故答案為：J 42、如圖，邊長為12的等邊三角形血中，必是高四所在直線上的一個動點，連結班，將線段笈好繞點萬逆時

8、針旋轉60得到笈V,連結小：則在點必運動過程中，線段小，長度的最小值是（）cIC. 2D. 1. 5A. 6B. 3【答案】B【詳解】解：如圖，取BC的中點G,連接MG,旋轉角為60 ,A ZMBH+ZHBN=60 ,又 V NMBH+ NMBC=NABC二600 ,/. ZHBN=ZGBMVCH是等邊AABC的對稱軸，1二一 AB, 2，HB 二 BG,又MB旋轉到BX, ，B仁 BN,在和NBH中,BG = BHNMBG = ZNBH , MB = NBAANffiGANBH (SAS),，MG 二 NH,根據(jù)垂線段最短，當MG_LCH時，XG最短，即HN最短,此時NBCH=，X60 =3

9、0 , CG=-AB=- X12=6, 222X6=3, 22/HN=3：故選:B.【模型】四、借助中位線 1、如圖，在等腰直角&45。中，斜邊AB的長度為8,以AC為直徑作圓，點P為半圓上的動點，連接BP ,取BP的中點M，則C”的最小值為（）A. 35/5B.C. 710-72 D. 3應-小【答案】C【詳解】I解：連接AP、CP,分別取AB、BC的中點E、F,連接EF、EM和FM,A EM. FM和EF分別是AABP、ZXCBP和AABC的中位線E1AP, FMCP, EFAC. EFAC 2，NEFC= 1800 -ZACB=90 AC為直徑 ，/APC = 90 , HP API C

10、P，點M的運動軌跡為以EF為直徑的半圓上 取EF的中點0,連接0C,點0即為半圓的圓心 當0、爾C共線時，CM最小，如圖所示，CX最小為（X的長, 等腰直角&亞中,斜邊AB的長度為8.AC = BC 二- AB = 4g ；.EF二;AC =2五，F(xiàn)C二;BC = 2E,A0Mx=0F=-EF = V22根據(jù)勾股定理可得0C7OF、FC1=回IACMfOC 0M：=V10-/2即cm最小值為故選c.2、如圖，拋物線,，=5%2-1與無軸交于A B兩點,。是以點。(0,4)為圓心，1為半徑的圓上的動點，E是線段A0的中點，連接OE8。，則線段O石的最小值是()A. 2B. C. -D. 322【答案】A【詳解】 12,:)，= 一廠一1 , 9.,.當丁 = 0時，0 = 一1,解得：x=3,A點與B點坐標分別為:(一3, 0), (3, 0),即：A0二B0二3