五矩陣運算與方程組求解

1、項目五矩陣運算與方程組求解實驗 3 線性方程組實驗?zāi)康氖煜で蠼饩€性方程組的常用命令,能利用Mathematica 命令各類求線性方程組的解 . 理解計算機求解的實用意義.基本命令1. 命令NullSpace A ,給出齊次方程組AX 0 的解空間的一個基.2. 命令LinearSolve A, b ,給出非齊次線性方程組AX b 的一個特解.3. 解一般方程或方程組的命令Solve 見 Mathematica 入門 .實驗舉例求齊次線性方程組的解空間設(shè) A為 m n 矩陣 , X 為 n 維列向量,則齊次線性方程組AX 0 必定有解. 若矩陣 A的秩等于 n ,則只有零解; 若矩陣A的秩小于n

2、 ,則有非零解,且所有解構(gòu)成一向量空間. 命令NullSpace 給出齊次線性方程組AX 0 的解空間的一個基.x1 x2 2x3 x4 0,例 3.1 (教材例 3.1) 求解線性方程組3x1 x2 x3 2x4 0,5x2 7x3 3x40,2x1 3x2 5x3 x40.輸入ClearA;A=1,1, 2, 1,3, 2, 1,2,0,5,7,3,2,3, 5, 1;NullSpaceA則輸出 2,1, 2,3說明該齊次線性方程組的解空間是一維向量空間,且向量( 2,1, 2,3)是解空間的基注 :如果輸出為空集 ,則表明解空間的基是一個空集,該方程組只有零解.x1 x2 2x3 x4

3、0例 3.2 求解線性方程組3x12x2 3x3 2x4 05x2 7x3 3x402x1 3x2 5x3 x40輸入ClearA;A=1,1,2,-1,3,-2,-3,2,0,5,7,3,2,-3,-5,-1;NullspaceA輸出為 因此解空間的基是一個空集, 說明該線性方程組只有零解.例3.3(教材例 3.2) 向量組1 (1,1,2,3), 2 (1, 1,1,1), 3 (1,3,4,5), 4(3,1,5,7)是否線性相關(guān) ?根據(jù)定義, 如果向量組線性相關(guān), 則齊次線性方程組x1 1x2 2 x3 3x4 40有非零解.輸入ClearA,B;A=1,1,2,3,1,1,1,1,1

4、,3,4,5,3,1,5,7;B=TransposeA;NullSpaceB輸出為 2, 1,0,1說明向量組線性相關(guān),且2 124 0非齊次線性方程組的特解x1 x2 2x3 x44例 3.4 (教材例 3.3) 求線性方程組3x12x2x3 2x4 2 的特解 .5x27x33x422x13x25x3x44輸入ClearA,b;A=1,1, 2, 1,3, 2, 1,2,0,5,7,3,2,3, 5, 1;b=4,2, 2,4LinearSolveA,b輸出為1,1, 1,0注 : 命令 LinearSolve 只給出線性方程組的一個特解.x1 x22x3x44例 3.5 求線性方程組3x

5、1 2x2 x3 2x42 的特解 .5x2 7x3 3x422x1 3x2 5x3 x4 4輸入ClearA,b;A=1,1,2,-1,3,-2,-1,2,0,5,7,3,2,-3,-5,-1;b=4,2,2,4LinearsolveA,b輸出為Linearsolve:nosol:Linear equation encountered which has no solution.說明該方程組無解.例 3.6 向量 (2, 1,3,4) 是否可以由向量1 (1,2, 3,1)，2 (5, 5,12,11)，31, 3,6,3線性表示?根據(jù)定義, 如果向量可以由向量組1, 2, 3 線性相關(guān),

6、則非齊次線性方程組x1 1x2 2x3 3有解 .輸入ClearA,B,b;A=1,2,-3,1,5,-5,12,11,0,5,7,3,1,-3,6,3;B=TransposeA;b=2,-1,3,4;LinearsolveB,b輸出為 1 , 1 ,033說明 可以由1, 2 , 3 線性表示, 且 1 11 21, 2333例 3.7 (教材例 3.4) 求出通過平面上三點(0,7),(1,6)和 (2,9)的二次多項式ax2 bx c, 并畫出其圖形.0a 0b c 7根據(jù)題設(shè)條件有1 a 1 b c 6 , 輸入4a2b c 9Clearx;A=0,0,1,1,1,1,4,2,1y=7

7、,6,9p=LinearSolveA,yCleara,b,c,r,s,t;a,b,c.r,s,tfx_=p.x2,x,1;Plotfx,x,0,2,GridLines >Automatic,PlotRange >All;則輸出 a,b,c的值為2, 3,7并畫出二次多項式2x2 3x 7的圖形(略 ).非齊次線性方程組的通解用命令 Solve 求非齊次線性方程組的通解.例 3.8 求出通過平面上三點(0,0),(1,1),(-1,3) 以及滿足f ( 1) 20, f (1) 9的 4次多項式f (x).解 設(shè) f (x) ax4 bx3 cx2 dx e, 則有e0abcde1a

8、bcde34a 3b 2c d 204a 3b 2c d 9輸入Cleara,b,c,d,e;qx_=a*x4+b*x3+c*x2+d*x+e;eqs=q0= =0,q1= =1,q-1= =3,q -1= =20,q 1= =9;A,y=LinearEquationsToMatriceseqs,a,b,c,d;p=LinearSolveA,y;fx_=p.x4,x3,x2,x,1;Plotfx,x,-1,1,GridLines->Automatic,PlotRange->All;則輸出所求多項式f (x)19 x4 31 x3 27 x235 x,4444非齊次線性方程組的通解用

9、命令 solve 求非齊次線性方程組的通解.x1 x22x3 x412x1 x2x3 2x43例 3.9 解方程組1234x1x3x4 23x1x23x45輸入solvex-y+2z+w=1,2x-y+z+2w=3,x-z+w=2,3x-y+3w=5,x,y,z,w 輸出為x2-w+z,y1+3z即 x12 x4x3 , x21 3x3 .于是,非齊次線性方程組的特解為(2,1,0,0). 對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為(1,3,1,0)與 (-1,0,0,1).x1 2x2 3x3 4x4 4例 3.10 解方程組x2x3 x43x1 3x2x417x23x3 x43解法 1 用命令 so

10、lve輸入solvex-2y+3z-4w=4, y-z+w=-3,x+3y+w=1,-7y+3z+3w=-3,x,y,z,w輸出為x-8,y3, z 6, w 0即有唯一解x18 , x23 ，x36 ， x40 .解法 2 這個線性方程組中方程的個數(shù)等于未知數(shù)的個數(shù), 而且有唯一解,此解可以表示為 x A 1b .其中A 是線性方程組的系數(shù)矩陣,而 b 是右邊常數(shù)向量. 于是 , 可以用逆陣計算唯一解 .輸入ClearA,b,x;A=1,-2,3,-4,0,1,-1,1,1,3,0,1,0,-7,3,1;b=4,-3,1,-3;x=InverseA.b輸出為-8,3,6,0解法 3 還可以用

11、克拉默法計算這個線性方程組的唯一解. 為計算各行列式, 輸入未知數(shù)的系數(shù)向量, 即系數(shù)矩陣的列向量.輸入Cleara,b,c,d,e;a=1,0,1,0;b=-2,1,3,-7;c=3,-1,0,3;d=-4,1,1,1;e=4,-3,1,-3;Dete,b,c,d/ Deta,b,c,dDeta,e,c,d/ Deta,b,c,dDeta,b,e,d/ Deta,b,c,dDeta,b,c,e/ Deta,b,c,d輸出為-8360ax1x2 x31例3.10 （教材例 3.5） 當(dāng) a為何值時,方程組x1ax2x31 無解、有唯一解、有無窮x1x2 ax31多解?當(dāng)方程組有解時,求通解.先

12、計算系數(shù)行列式,并求a ,使行列式等于0.輸入Cleara;Deta,1,1,1,a,1,1,1,a;Solve% 0,a則輸出a2,a1,a1當(dāng) a 2 , a 1 時 ,方程組有唯一解.輸入Solvea*x y z 1,x a*y z 1,x y a*z 1,x,y,z則輸出 x, y, z2a 2a 2a當(dāng) a 2 時 ,輸入Solve 2x+y+z=1,x 2y+z=1,x+y 2z=1,x,y,z 則輸出說明方程組無解.當(dāng) a =1 時 ,輸入Solvex+y+z=1,x+y+z=1,x+y+z=1,x,y,z則輸出x1 y z說明有無窮多個解.非齊次線性方程組的特解為(1,0,0)

13、,對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為為 ( 1,1,0)與 ( 1,0,1).2x1 x2 x3x4 1例 3.11 (教材例 3.6) 求非齊次線性方程組3x12x2 x3 2x44 的通解 .x1 4x2 3x3 5x42解法 1 輸入A=2,1, 1,1,3, 2,1, 3,1,4, 3,5;b=1,4, 2;particular=LinearSolveA,bnullspacebasis=NullSpaceAgeneralsolution=t*nullspacebasis1+k*nullspacebasis2+Flattenparticular generalsolution/MatrixForm解法 2 輸入B=2,1, 1,1,1,3, 2,1, 3,4,1,4, 3,5, 2RowReduceB/MatrixForm根據(jù)增廣矩陣的行最簡形, 易知方程組有無窮多解. 其通解為x11/71/76/7x2k5/7t9/75/7（k,t 為任意常數(shù)）x3100x4010實驗習(xí)題2x1 x2 3x3 0,1 .解方程組2x1 x2 x3 0,4x1 x2 2x3 0.2x1 4x2 5x3 3x40,2 .解方程組3x1 6x2 4x3 2x4 0,4x1 8x2 17x3 11x40.x1 2x2 3x3 4x4 4,3 . 解方程組x2 x3 x43,x1 x3