北大附中高考數(shù)學專題復習導數(shù)與微分經(jīng)點答疑(三)

1、學科：數(shù)學教學內(nèi)容：導數(shù)與微分經(jīng)點答疑（三）例8設思路啟迪利用三角函數(shù)的關系，將secx寫成，再利用商的求導法則及cosx的導數(shù)公式即可求出規(guī)范解法由上例得類似地可得例9設規(guī)范解法 ysin2x2sinxcosx由法則2得從上面的例子可以看出，ysin2x是一個復合函數(shù)，它由兩個函數(shù)ysinu與u2x復合而成，sin2x的導數(shù)是2cos2x而不是cos2x，那么sin2x的導數(shù)與sinu的導數(shù)和u2x的導數(shù)是什么關系呢？由于，而，即y對x的導數(shù)等于y對中間變量u的導數(shù)再乘以中間變量u對x的導數(shù)一般地，我們有復合函數(shù)的求導法則（4）法則（4）設函數(shù)在點x可導，函數(shù)yf（u）在其對應點也可導，則復

2、合函數(shù)在點x可導，且y對x的導數(shù)等于y對中間變量的導數(shù)再乘以中間變量對自變量x的導數(shù)即：證明：設自變量x有增量x（x0）時，中間變量u和函數(shù)y分別有相應增量u與y，由于在x處可導，從而連續(xù)，即有重復應用法則（4），我們可以把復合函數(shù)求導法則推廣到多次（有限次）復合的情形，如設注：求復合函數(shù)的導數(shù)，首先要把復合函數(shù)進行“分解”，即找出它是由哪幾個“簡單函數(shù)”復合而成這里的“簡單函數(shù)”是指基本初等函數(shù)或多項式函數(shù)因為導數(shù)基本公式中都是基本初等函數(shù)的導數(shù)，而多項式函數(shù)是冪函數(shù)的線性組合，其導數(shù)也易求然后再利用復合函數(shù)的求導法則和導數(shù)的基本公式即可如果“分解”得不徹底，即“分解”出來的函數(shù)不是基本初等

3、函數(shù)或“多項式”函數(shù)，則在利用法則和公式時就要出現(xiàn)錯誤例10思路啟迪該函數(shù)可以分解成兩個函數(shù)，對于這兩個函數(shù)的導數(shù)可利用公式只要正確運用復合函數(shù)求導法則及相應公式即可規(guī)范解法設u4x1,則可看作是由復合而成的，由復合函數(shù)的求導法則得：例11規(guī)范解法設ucosx,則可看作是由與ucosx復合而成，由復合函數(shù)的求導法則得例12思路啟迪函數(shù)ysinlnx是由函數(shù)ysinu與ulnx復合構成這里寫出中間變量u只是為了初學者正確使用復合函數(shù)求導法則，其實，在復合函數(shù)求導法則運用熟練以后，中間變量就不必再寫出來，但復合關系一定要清楚，并且心中記住復合函數(shù)求導的過程規(guī)范解法例13思路啟迪函數(shù)規(guī)范解法例14思

4、路啟迪該函數(shù)是由兩個函數(shù)復合而成，求y對x的導數(shù)，先求y對u即對求導，再乘以u即對x的導數(shù)思路啟迪利用恒等式將寫成，則可看用由與兩個函數(shù)復合而成求由多個函數(shù)經(jīng)多次復合而成的復合函數(shù)的導數(shù)時，就要多次地應用復合函數(shù)求導法則分析上例，怎樣逐次地應用復合函數(shù)的求導法則呢？應先對給定的函數(shù)進行分析，當取什么函數(shù)作為中間變量（不必寫出，心中清楚）時，給定的函數(shù)對此中間變量求導并利用導數(shù)公式本例是把看作中間變量，給定的函數(shù)就可應用冪函數(shù)的導數(shù)公式，根據(jù)復合函數(shù)求導法則，有：這時中間變量仍是變量x的復合函數(shù)，重復剛才所說的方法，本例是把看作中間變量，可利用正弦函數(shù)的導數(shù)公式，由復合函數(shù)的求導法則有：逐次地作

5、下去，直至最后一個中間變量對x求導數(shù)為止（本例最后一個中間變量即為）從上面分析看到，要逐次地應用復合函數(shù)求導法則，關鍵在于選擇中間變量，選擇的原則是某個函數(shù)做中間變量時，給定的函數(shù)變可應用導數(shù)公式思路啟迪可看作復合而成，而是由x與兩個函數(shù)的和所構成，可看作是與復合而成規(guī)范解法思路啟迪由于x0與x0時函數(shù)的結構不相同，因此須用導數(shù)定義求解法注：一般情況求分段函數(shù)的導函數(shù)可以按照以下步驟來完成若函數(shù)在各段開區(qū)間為可導，應分別求出它在各區(qū)間內(nèi)的導數(shù)判斷分段點處的可導性（）若函數(shù)在點不連續(xù)，則它在點不可導（）若函數(shù)在點連續(xù)，按分段點左、右側的不同解析式分別求出其左、右導數(shù)當左、右導數(shù)存在并且相等時，則

6、函數(shù)在點可導；當左、右導數(shù)存在，但不相等；或其中至少有一個導數(shù)不存在，則在點就不可導例23證明可導的偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù)，而可導的奇函數(shù)的導函數(shù)為偶數(shù)并對這個事實加以幾何解釋思路啟迪要證明一個函數(shù)是奇數(shù)，需證明，有f（x）f（x）,而要證明一個函數(shù)是偶函數(shù)，需證明f（x）f（x）規(guī)范證法設f（x）為偶函數(shù)，則對xR有f（x）f（x），同理可證：可導的奇函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù)這個事實說明：凡對稱于Oy軸的圖形，其對稱點的切線也關于Oy軸對稱；凡關于原點對稱的圖形，其對稱點的切線相互平行思路啟迪是由sinnx與兩個函數(shù)所構成；而是由sinu與unx復合而成；是由與復合而成規(guī)范解法例25設函數(shù)討論：

7、（1）n取何值時，f（x）在x0連續(xù)。（2）n取何值時，f（x）在x0可導思路啟迪要使函數(shù)f（x）在點連續(xù)，需使要使函數(shù)f（x）在點可導，需使極限存在，只要能緊扣函數(shù)的連續(xù)與可導的這兩個定義，本題將會迎刃而解此極限當n1>0時存在，因此n2時，f（x）在x0可導，此時，可以看出，反函數(shù)xlny對y的導數(shù)，等于直接函數(shù)對于x的導數(shù)的倒數(shù)；反之亦然一般地，我們有（反函數(shù)求導法則）法則（5）若函數(shù)yf（x）在點x處有導數(shù)，且，則它的反函數(shù)在相應點上也有導數(shù)，且證明：設x有增量x0，相應地y的增量為y（y0）,由于yf（x）在點x可導，從而連續(xù)因此故有例26求yarcsinx的導數(shù)同理可得：思路

8、啟迪函數(shù)可以看作yarccotu與兩個函數(shù)復合而成借助復合函數(shù)數(shù)求導法則及前面的公式即可求出前面，我們不僅把所有的基本初等函數(shù)的導數(shù)（作為我們的公式）都求了出來，而且還給出了函數(shù)的和、差、積、商的求導法則與復合函數(shù)的求導法則，因此，現(xiàn)在我們可以說：一切初等函數(shù)的求導問題均已解決事實上，根據(jù)初等函數(shù)的定義，初等函數(shù)是可用一個式子表示的，而這個式子是由基本初等函數(shù)（常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)）經(jīng)過有限次的四則運算和有限次復合而構成的，所以任何初等函數(shù)的導數(shù)都可以利用基本公式和上述求導法則求出來因此，前面給出的公式和求導法則，對于求導運算是非常重要的，我們必須熟練掌握，并能熟練運用為了便于查閱和記憶，現(xiàn)將這些公式和求導法則歸納如下導數(shù)的基本公式：求導法則：求導數(shù)運算稱為微分法，它是微積分學最基本運