近五年高考數學數列壓軸題解題方法研究

1、中文摘要本文對近五年高考理科數學數列壓軸題的解題方法進行了研究，在數列通項公式方面和數列不等式方面分別總結了幾點解題方法。為了讓讀者能夠更好地理解每一種方法，本文在每一種方法后面都進行了說明，并且也給出了相應的例子。關鍵詞 ：數列壓軸題，數列通項公式，數列不等式AbstractThis entrance examination for the past five years mathematical science series finale the theme of problem-solving methods have been studied,Term Formula in a few

2、 aspects of the column and several columns the respective inequality problem-solving method of summing up the following points.In order to give readers a better understanding of each method,in this paper, each method are described later in both.And also gives the corresponding examplesKeywords ：Seri

3、es finale title，Sequence by the formula，Series inequality緒論數列作為中學數學的傳統(tǒng)內容，無論是原教學大綱還是新課程標準中都是中學數學的主干知識之一，在高考中占有非常重要的位置，是歷年高考必考內容之一。數列題的題目往往比較簡潔，條件比較少，所以需要比較強的綜合運用所學知識解決問題的能力。正因為數列的這一特點，使得它越來越受到出題者的青睞，從而把它作為高考壓軸題，用以拉開考生的成績。這一點，我們可以從下表得到說明：數列壓軸題的分布表2005年福建卷湖北卷山東卷天津卷浙江卷重慶卷江蘇卷2006年北京理福建理江蘇理江西理全國1全國2山東理浙江理

4、2007年廣東理重慶理湖南理江西理全國1陜西理安徽理2008年北京理福建理廣東理湖北理全國1理陜西理上海理天津理浙江理重慶理2009年江蘇安徽理北京理廣東理湖南理江西理陜西理上海理四川理天津理重慶理從上表我們可以看到，數列作為壓軸題在全國各省市的高考題中出現的比例越來越大，因此，對高考數列壓軸題的解題方法研究就顯得很有必要的，既可以幫助學生進行有針對性的學習，少走彎路，也可以幫助教師進行有針對性的教學，提高教學效率?？v觀近幾年的關于高考數列的論文，不少人對高考數學數列壓軸題的解題進行了研究，也總結了不少的精妙的解題方法。但大多數人都是針對某一道題、某一種解題方法或者某一年高考題的研究，還沒有人

5、對近幾年高考題進行過一次比較系統(tǒng)的方法總結，下面是筆者結合近年各省理科高考題數列壓軸題，在數列通項公式，數列不等式方面總結了一些解題方法，希望對大家有所幫助。1. 數列的通項公式近幾年高考題雖然題目變來變去的，但涉及到求通項公式的問題，總是有一點方法可以遵循的。1.1定義法此種方法是直接根據等差數列和等比數列的定義來求數列的通項公式，一般用來求比較簡單的題目。譬如，在壓軸題第一問出現求數列通項公式時，次種方法往往適用。根據定義法來證明數列是等比數列時，一般是證明例1（2006年高考理科數學·山東卷）已知，點在函數的圖象上，其中（1）證明數列是等比數列；（2）設，求及數列的通項；（3）

6、記，求數列的前項，并證明證明：（1）本題要證明是等比數列根據定義，只要證明要證明，即要證明即要證明由已知得又因為，所以所以是等比數列（2）略（3）略 根據定義法來證明數列是等差數列時，一般是證明或例2（2005年高考數學·江蘇卷22）設數列的前項和為，已知，且，其中A.B為常數求A與B的值；證明：數列為等差數列；證明：不等式對任何正整數都成立解： （過程略）由（）得所以 -得 所以 -得 因為 所以 因為 所以 所以 ，又 所以數列為等差數列答案略這道題在解題過程稍微復雜，但思路是根據等差數列的定義，證得是等差數列。由于定義法比較簡單，07年之后便少有出現在壓軸題里面，但在非壓軸題里

7、這種方法還是常常被用到。1.2數學歸納法有時候，我們無法根據定義來證明一個數列是等差或等比數列也無法根據義把數列通項公式求出來，這時，利用數學歸納法，能起到化難為簡的功效。數學歸納法的解題步驟分為以下兩步：第一步：證明n取最小正整數時，等式成立，第二步：假設n=k(k大于能取得的最小正整數)時等式成立，然后證明n=k+1時等式也成立。第三步：由第一、第二步的結論我們就可以下結論說，等號對一切滿足條件的n都成立例3（2005年高考理科數學·浙江卷20）設點(，0)，和拋物線：yx2axbn(nN*)，其中an24n，由以下方法得到：x11，點P2(x2，2)在拋物線C1：yx2a1xb

8、1上，點A1(x1，0)到P2的距離是A1到C1上點的最短距離，點在拋物線：yx2anxbn上，點(，0)到的距離是到上點的最短距離()求x2及C1的方程()證明是等差數列解：（）（過程略）（）設點是上任意一點，則令則由題意得即又，即通過觀察，我們發(fā)現時，上式等號成立，于是，下面用數學歸納法證明確實所要求的等差數列第一步：證明n取最小正整數時等號成立，在此題中，n可以取一切正整數，因此先證明n=1時等號是否成立。當時，等式成立；第二步：假設當（k>1）時，等式成立，即，下證明n=k+1時等式也成立當時，由知，又，即時，等式成立第三步：由第一、第二步知，等式對成立，故是等差數列例4（200

9、7年高考理科數學·江西卷22）設正整數數列滿足：，且對于任何，有（1）求，；（2）求數列的通項解：（1），（過程略）（2）由，猜想：下面用數學歸納法證明1當，時，由（1）知均成立；2假設成立，則，則時由得因為時，所以，所以又，所以故，即時，成立由1，2知，對任意，數學歸納法雖然比較好用，但我們要先觀察分析題目給出的條件，根據條件進行合理的猜測，然后再用數學歸納法來證明自己的猜測。數學歸納法在08，09年也得到了廣泛的應用，有興趣的東西可以去看看。1.3等比差數列法等比差數列在高中課本里沒專門介紹，但在高考壓軸題中常常會遇到，等比差數列有兩個特點：1、如果把非數列項去掉的話，數列就變成

10、了等比數列；2、如果把式子中所有數列項的系數都改成1的話，數列就變成了等差數列。我們可以根據這兩個特點來判斷一個數列是不是等比差數列。常見的等比差數列有以下兩種類型：1.3.1（p、q為常數）的形式。求此種等比差數列的通項公式時，我們可以按照以下的方法來求解：設存在一個數k，使得，下求k和p、q的關系由得，所以因此，這是以p為公比，為通項的等比數列，根據等比數列的相關知識，可以求出的通項公式，進而求出的通項公式。因此求此種等比差數列的通項公式時，通常是把等比差數列轉化成的形式，然后根據等比數列的相關知識，把數列的通項公式求解出來。例5（06年高考理科數學·福建卷22）已知數列滿足（I

11、）求數列的通項公式；（II）證明：解：（I）數列為等比差數列設，解得k=1是以為首項，2為公比的等比數列。即（II）略有時候，題目不是直接給出的形式，而是給出了別的能夠轉化成形式的題目，這是我們就先轉化成的形式，然后再利用上述的方法來求解。例6（2008年高考理科數學·陜西卷22題）已知數列的首項，（）求的通項公式；（）證明：對任意的，；（）證明：解：（），又，是以為首項，為公比的等比數列，（）略（）略同種類型的題目也見于2007年的高考理科數學·全國1卷中。1.3.2（p是常數）的形式。此種類型的等比差數列比第一種類型復雜了點，但解題方法沒變，仍是想方設法把轉化成（p是常

12、數）的形式，再利用等比數列的相關知識來求解例7（2006年高考理科數學·全國1卷）設數列的前項的和，n=1，2，3（）求首項與通項；（）設，n=1,2,3證明：解：（）由 Sn=an×2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=S1= a1×4+ 所以a1=2.再由有 Sn1=an1×2n+, n=2,3，4,將和相減得: an=SnSn-1= (anan1)×(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而數列 an+2n是首項為a1+2=4,公比為4的等比數列,即 : an+2n=4

13、15;4n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,（）略1.4由遞推公式求出數列通項公式很多時候，試題為了增加難度，只是給出一個看似毫無規(guī)律的遞推公式，讓我們從遞推公式中找出數列的通項公式。遇到這種題目，我們一般的解題方法是：或者利用把問題轉化，或者是把問題轉化成的關系，又或者把問題轉化成的關系例8（2007年高考理科數學·陜西卷22）已知各項全不為零的數列ak的前k項和為Sk,且SkN*),其中a1=1.()求數列ak的通項公式;()對任意給定的正整數n(n2),數列bk滿足（k=1,2,，n-1）,b1=1.求b1+b2+bn.解：（）當，由

14、及，得當時，由，得因為，所以從而，故()略在這道題當中，題目只是給出了SkN*)這個遞推關系式，于是，我們可以利用把問題轉化成，最后得到答案這樣，我們就吧一個看似陌生的問題轉化成我們熟悉的問題來解答。例9（2009年高考理科數學·江西卷）各項均為正數的數列，且對滿足的正整數都有（1）當時，求通項（2）證明：對任意，存在與有關的常數，使得對于每個正整數，都有解：（1）由得將代入化簡得所以故數列為等比數列，從而即可驗證，滿足題設條件.在這道當中，題目只是給出了這個遞推公式，通過變換，我們可以把問題轉化成,這時候，再用上面的遞推結構法便能很好的得到了答案。利用遞推公式來求解通項公式的方法要

15、求考生要有比較強的推理能力，因此近兩年也比較受出題者的喜愛。當然，處理上述幾種方法可求得數列通項公式外，還有一個不常用的方法偶爾也在試卷中出現，這里不一一介紹了。2.數列不等式從這五年的高考題來看，凡是涉及到數列不等式的問題，大部分是以證明題的形式出現。要驗證這些證明題，高考中往往用到了下面幾種方法:2.1數學歸納法這種方法在高考中出現的頻率很高，從2006年到2009年，很多涉及到不等式的證明題都可以用數學歸納法來證明?？忌灰獓栏癜凑諗祵W歸納法的三個步驟，進行嚴謹地運算，便能很好地得到了答案。例10（2005年高考數學·重慶卷22數列）an滿足.（）用數學歸納法證明：；（）已知不

16、等式，其中無理數e=2.71828.解：（）證明：（1）當n=2時，不等式成立.（2）假設當時不等式成立，即那么. 這就是說，當時不等式成立根據（1）、（2）可知：成立.（）略2.2分析法所謂分析法，就是先假設結論成立，由此出發(fā)，利用不等式的有關性質，推出已知條件或絕對不等式，然后再倒推回去得出結論。例11（2005年高考數學·江蘇卷23）設數列的前項和為，已知，且，其中A.B為常數求A與B的值；證明：數列為等差數列；證明：不等式對任何正整數都成立解:略要證明對任何正整數m、n都成立，由分析法知，要證 只要證 ，由(2) 可知，所以，故只要證 ，即要證明所以結論成立。用分析法證明不等

17、式時，一定要注意推理過程必須是可逆的。否則推理過程不一定成立2.3反證法反證法也是證明數列不等式的重要方法，它是在假設結論不成立的條件下，通過正確的邏輯推理，推出與已知條件或與已知的正確結論相矛盾的結果，從而說明假設不對，故應肯定原結論成立。例12（2009年高考理科數學·重慶卷21）設個不全相等的正數依次圍成一個圓圈（）若，且是公差為的等差數列，而是公比為的等比數列；數列的前項和滿足：，求通項；（）若每個數是其左右相鄰兩數平方的等比中項，求證：解：（）（過程略）（）由題意得由得由，得， 故. 又，故有.下面反證法證明：若不然，設若取即，則由得，而由得，得由得而由及可推得（）與題設矛

18、盾，同理若P=2，3，4，5均可得（）與題設矛盾,因此為6的倍數由均值不等式得由上面三組數內必有一組不相等（否則，從而與題設矛盾），故等號不成立，從而又，由和得因此由得2.4放縮法在不等式的證明中，常常用舍掉一些正（負）項，或在分式中放大（或縮小）分母或分子，最終達到證明不等式的目的，這種證明方法，通常成為放縮法。常用的放縮法關系式有（n為自然數）：或；或；或；或。例13（2009年高考理科數學·廣東卷21）已知曲線從點向曲線引斜率為的切線，切點為（1）求數列的通項公式；（2）證明：解：（1），（過程略）（2）證明：由于，可令函數，則，令，得，給定區(qū)間，則有則函數在上單調遞減，即在恒

19、成立，又，則有，即一般地說，證明時如果從出發(fā)，就用縮小法，如果從出發(fā)，則用放大法，不論用放大法還是用縮小法，其目的一是把數列放大或縮小成等比數列或等差數列，二是放大或縮小后通過合并化成簡單的式子。本例利用放大法把式子合并化成簡單式子同種類型的題目在2006年高考數學福建卷和江西卷也有出現，有興趣的朋友也可以去看看。小結本文對近五年高考理科數學數列壓軸題的解題方法進行了研究。在數列通項公式方面，得到了以下四點常見的解題方法：1.1定義法1.2數學歸納法1.3等比差數列法1.3.1（p、q為常數）的形式轉化成的形式1.3.2（p是常數）的形式轉化成（p是常數）的形式1.4由遞推公式求出數列通項公式

20、在數列不等式方面也得到了以下的四點解題方法：2.1數學歸納法2.2分析法2.3反正法2.4放縮法為了讓讀者能夠更好地理解每一種方法，本文在每一種方法后都給出了說明，而且在每一種方法后還給出了相應的例題。結束語從近五年的試題來看，每一年所考的方法變化并不大，但試題的題目一年比一年的要長，而且一年比一年的要難讀懂，考生如果想在數列壓軸題上面多拿點分數，除了要熟悉上面解題方法外，還需要點耐心。在上面的幾種方法中，數學歸納法、等比差數列法以及放縮法在數列通項公式以及數列不等式方面頻繁被用到，我想，在2010年的高考中，這三種方法出現的機率也很多。本文之前，尚沒有人系統(tǒng)地對近五年高考理科數列壓軸題解題方法進行了研究