專題二集合與常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第三講函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、第三講函數(shù)的圖象與性質(zhì)1函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系兩個(gè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它們的三要素完全相同時(shí)才表示同一個(gè)函數(shù)，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同的兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)2函數(shù)的單調(diào)性(1單調(diào)性的定義的等價(jià)形式：設(shè)x1，x2a，b，那么(x1x2f(x1f(x2>0>0f(x在a，b上是增函數(shù)；(x1x2f(x1f(x2<0<0f(x在a，b上是減函數(shù)(2若函數(shù)f(x和g(x都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，f(xg(x是減函數(shù)；若函數(shù)f(x和g(x都是增函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，f(xg(x也是增函數(shù)；根據(jù)同增異減判斷復(fù)合函數(shù)yfg(x的單調(diào)性3函數(shù)的奇偶性(1f(x為奇函數(shù)f(xf(x

2、f(xf(x0；f(x為偶函數(shù)f(xf(xf(|x|f(xf(x0.只有當(dāng)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，這個(gè)函數(shù)才能具有奇偶性(2f(x是偶函數(shù)f(x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；f(x是奇函數(shù)f(x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(3奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性(4若f(xa為奇函數(shù)f(x的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0中心對(duì)稱；若f(xa為偶函數(shù)f(x的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱(5在f(x，g(x的公共定義域上：奇±奇奇，偶±偶偶，奇×奇偶，偶×偶偶，奇×偶奇4函數(shù)的周期性的結(jié)論(1若yf(x在xR時(shí)，f(xaf(xa恒成立，則函數(shù)f(x

3、的周期為2|a|.(2若yf(x在xR時(shí)，f(xaf(x或f(xa±恒成立，則函數(shù)yf(x的周期為2|a|.5函數(shù)的圖象對(duì)于函數(shù)的圖象要會(huì)作圖、識(shí)圖、用圖作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點(diǎn)法，二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換重要結(jié)論：(1若函數(shù)yf(x滿足f(axf(ax，即f(xf(2ax，則f(x的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱(2若f(x滿足f(axf(bx，則函數(shù)f(x的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱(3若函數(shù)yf(x滿足f(x2bf(2ax，則該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b成中心對(duì)稱1 (2013·江西函數(shù)yln(1x的定義域?yàn)?(A(0,1 B0,1 C(0,1

4、D0,1答案B解析由得，函數(shù)定義域?yàn)?,12 (2013·山東已知函數(shù)f(x為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(xx2，則f(1等于 (A2 B0 C1 D2答案A解析f(1f(1(112.3 (2013·四川函數(shù)y的圖象大致是 (答案C解析由3x10得x0，函數(shù)y的定義域?yàn)閤|x0，可排除選項(xiàng)A；當(dāng)x1時(shí)，y>0，可排除選項(xiàng)B；當(dāng)x2時(shí)，y1，當(dāng)x4時(shí)，y，但從選項(xiàng)D的函數(shù)圖象可以看出函數(shù)在(0，上是單調(diào)遞增函數(shù)，兩者矛盾，可排除選項(xiàng)D.故選C.4 (2013·北京函數(shù)f(x的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與曲線yex關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(x等于 (Aex

5、1 Bex1Cex1 Dex1答案D解析與yex圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)為yex.依題意，f(x圖象向右平移一個(gè)單位，得yex的圖象f(x的圖象由yex的圖象向左平移一個(gè)單位得到f(xe(x1ex1.5 (2013·江蘇已知f(x是定義在R上的奇函數(shù)當(dāng)x>0時(shí)，f(xx24x，則不等式f(x>x的解集用區(qū)間表示為_答案(5,0(5，解析由已知f(00，當(dāng)x<0時(shí)，f(xf(xx24x，因此f(x不等式f(x>x等價(jià)于或解得：x>5或5<x<0.題型一函數(shù)及其表示例1(1若函數(shù)yf(x的定義域是0,2，則函數(shù)g(x的定義域是 (A0,1 B0,1

6、C0,1(1,4 D(0,1(2已知實(shí)數(shù)a0，函數(shù)f(x若f(1af(1a，則a的值為_審題破題(1f(2x有意義要求2x在f(x的定義域內(nèi)；(2解題的關(guān)鍵是考慮f(1a和f(1a需要代入解析式的哪一段，因而需討論1a和1a與1的大小關(guān)系，即a與0的大小關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于a的方程求解答案(1D(2解析(1因?yàn)閒(x的定義域?yàn)?,2，所以對(duì)g(x，02x2，且x>0，x1，故x(0,1(2首先討論1a,1a與1的關(guān)系，當(dāng)a<0時(shí)，1a>1,1a<1，所以f(1a(1a2a1a；f(1a2(1aa3a2.因?yàn)閒(1af(1a，所以1a3a2，所以a；當(dāng)a>0時(shí)，1a<

7、;1,1a>1，所以f(1a2(1aa2a；f(1a(1a2a3a1.因?yàn)閒(1af(1a，所以2a3a1，所以a(舍去綜上，滿足條件的a.反思?xì)w納(1求函數(shù)定義域的方法：根據(jù)具體函數(shù)yf(x求定義域時(shí)，只要構(gòu)建使解析式有意義的不等式(組，求解即可；根據(jù)抽象函數(shù)求定義域時(shí)：a.若已知函數(shù)f(x的定義域?yàn)閍，b，其復(fù)合函數(shù)f(g(x的定義域由不等式ag(xb求出b.若已知函數(shù)f(g(x的定義域?yàn)閍，b，則f(x的定義域?yàn)間(x在xa，b時(shí)的值域(2求復(fù)合函數(shù)的函數(shù)值，要先內(nèi)后外；分段函數(shù)問題要準(zhǔn)確代入函數(shù)的解析式，如不能確定要進(jìn)行討論互動(dòng)探究若將例1(2中“f(1af(1a”變?yōu)椤癴(1a

8、f(1a”，則a的取值范圍是_答案a或a>0解析當(dāng)a>0時(shí)，由f(1af(1a得：(22aa1a2a，解得a.所以a>0，當(dāng)a<0時(shí)，由f(1af(1a得：1a2a22aa，解得a，綜上可知，a的取值范圍為a或a>0.變式訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)g(xx22(xR，f(x 則f(x的值域是 (A，0(1， B0，C， D，0(2，答案D解析由x<g(x得x<x22，x<1或x>2；由xg(x得xx22，1x2.f(x即f(x當(dāng)x<1時(shí)，f(x>2；當(dāng)x>2時(shí)，f(x>8.當(dāng)x(，1(2，時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?2，當(dāng)1x2時(shí)，f(x0

9、.當(dāng)x1,2時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?綜上可知，f(x的值域?yàn)椋?(2，題型二函數(shù)的圖象問題例2已知f(x 則下列函數(shù)的圖象錯(cuò)誤的是 (審題破題可以先畫出函數(shù)f(x的草圖，然后變換得到其它函數(shù)的圖象，也可以利用特殊點(diǎn)進(jìn)行排除答案D解析先在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出函數(shù)yf(x的圖象，再將函數(shù)yf(x的圖象向右平移1個(gè)長(zhǎng)度單位即可得到y(tǒng)f(x1的圖象，因此A正確；作函數(shù)yf(x的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形，即可得到y(tǒng)f(x的圖象，因此B正確；yf(x的值域是0,2，因此y|f(x|的圖象與yf(x的圖象重合，C正確；yf(|x|的定義域是1,1，且是一個(gè)偶函數(shù)，當(dāng)0x1時(shí)，yf(|x|，相應(yīng)這部分圖象不是一條線段，因

10、此選項(xiàng)D不正確反思?xì)w納(1作圖：應(yīng)注意在定義域內(nèi)依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，選取關(guān)鍵的一部分點(diǎn)連接而成(2識(shí)圖：在觀察、分析圖象時(shí)，要注意到圖象的分布及變化趨勢(shì)，具有的性質(zhì)，找準(zhǔn)解析式與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系(3用圖：在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、最值、零點(diǎn)時(shí)，要注意用好其與圖象的關(guān)系，結(jié)合圖象研究變式訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x2x2，則函數(shù)y|f(x|的圖象可能是 (答案B解析函數(shù)f(x2x2是把函數(shù)y2x的圖象向下平移兩個(gè)單位得到的圖象，由2x2<0得x<1，即在(，1上，函數(shù)f(x2x2的圖象位于x軸下方，根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)，不難看出把x軸下方的部分對(duì)稱到x軸上方后得到函數(shù)y|f(x|的圖象故選B.

11、題型三函數(shù)的性質(zhì)問題例3(1(2012·山東定義在R上的函數(shù)f(x滿足f(x6f(x，當(dāng)3x<1時(shí)，f(x(x22；當(dāng)1x<3時(shí)，f(xx.則f(1f(2f(3f(2 013等于 (A335 B337 C1 678 D2 012(2設(shè)f(x是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(xx2，若對(duì)任意的x2，2，不等式f(xt2f(x恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 (A，B(，C43，D(，43，審題破題(1先判斷函數(shù)的周期性，再求函數(shù)值；(2利用函數(shù)f(x的單調(diào)性先脫去f，然后分離t，再求最值得t的范圍答案(1B(2B解析(1利用函數(shù)的周期性和函數(shù)值的求法求解f(x6f(x，T6

12、.當(dāng)3x<1時(shí)，f(x(x22；當(dāng)1x<3時(shí)，f(xx，f(11，f(22，f(3f(31，f(4f(20，f(5f(11，f(6f(00，f(1f(2f(61，f(1f(2f(6f(7f(8f(12f(2 005f(2 006f(2 0101，f(1f(2f(2 0101×335.而f(2 011f(2 012f(2 013f(1f(2f(32，f(1f(2f(2 0133352337.(2設(shè)x<0，則x>0.f(x(x2，又f(x是奇函數(shù)，f(xx2.f(x在R上為增函數(shù)，且2f(xf(x故f(xt2f(xf(xxtx在2，2上恒成立，由于xtx(1xt，

13、要使原不等式恒成立，只需(1(2tt即可反思?xì)w納(1周期函數(shù)f(x的最小正周期T必須滿足下列兩個(gè)條件：當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(xTf(x；T是所在正周期中最小的一個(gè)(2函數(shù)的單調(diào)性往往和不等式相結(jié)合，應(yīng)用時(shí)要看清函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必要時(shí)可以利奇偶性作適當(dāng)變換；去掉函數(shù)符號(hào)“f”然后求解變式訓(xùn)練3(1若f(x是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(11，f(22，則f(3f(4等于(A1 B1 C2 D2答案A解析由于函數(shù)f(x的周期為5，所以f(3f(4f(2f(1，又f(x為R上的奇函數(shù)，f(2f(1f(2f(1211.(2已知函數(shù)f(xx3x，對(duì)任意的m2,2，f(mx2f(x<

14、0恒成立，則x的取值范圍為_答案(2，解析易知原函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，故f(mx2f(x<0f(mx2<f(xf(x，此時(shí)應(yīng)有mx2<xmxx2<0，對(duì)所有m2,2恒成立，令g(mxmx2，此時(shí)只需即可，解之得2<x<.典例(14分已知函數(shù)f(x是奇函數(shù)(1求實(shí)數(shù)m的值；(2若函數(shù)f(x在區(qū)間1，a2上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍規(guī)范解答解(1函數(shù)f(x是奇函數(shù)，f(xf(x 2分當(dāng)x>0時(shí)，x<0，有(x2mx(x22x，即x2mxx22x.m2. 6分(2由(1知f(x當(dāng)x>0時(shí)，f(xx22x(x121，當(dāng)x1，時(shí)，f(x單

15、調(diào)遞減；當(dāng)x(0,1時(shí)，f(x單調(diào)遞增 9分當(dāng)x<0時(shí)，f(xx22x(x121，當(dāng)x(，1時(shí)，f(x單調(diào)遞減；當(dāng)x1,0時(shí)，f(x單調(diào)遞增綜上知：函數(shù)f(x在1,1上單調(diào)遞增 12分又函數(shù)f(x在區(qū)間1，a2上單調(diào)遞增解之得1<a3.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3 14分評(píng)分細(xì)則(1利用特殊值計(jì)算m應(yīng)驗(yàn)證，否則扣1分；(2判斷函數(shù)單調(diào)性，要注意區(qū)間的端點(diǎn)，寫成開區(qū)間的扣1分，并且以下不得分；(3最后a的范圍寫成不等式不扣分閱卷老師提醒(1解決本題要抓住分段函數(shù)奇偶性的定義，可設(shè)x>0或x<0，從而x<0或x>0，這樣可代入解析式求m.(2本題可通過f(x的圖

16、象直觀地看出函數(shù)f(x的單調(diào)區(qū)間有關(guān)分段函數(shù)的單調(diào)性問題，不但要注意每一段上的單調(diào)性，還應(yīng)注意“接點(diǎn)”處函數(shù)值的大小1 (2012·天津下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(1,2內(nèi)是增函數(shù)的為 (Aycos 2x，xR Bylog2|x|，xR且x0Cy，xR Dyx31，xR答案B解析利用逐項(xiàng)排除法求解選項(xiàng)A中函數(shù)ycos 2x在區(qū)間上單調(diào)遞減，不滿足題意；選項(xiàng)C中的函數(shù)為奇函數(shù)；選項(xiàng)D中的函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故選B.2 (2013·山東函數(shù)yxcos xsin x的圖象大致為 (答案D解析函數(shù)yxcos xsin x為奇函數(shù)，排除B.取x，排除C；取x，排除A，故選D.3

17、 如果函數(shù)f(xax22x3在區(qū)間(，4上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(Aa> BaCa<0 Da0答案D解析當(dāng)a0時(shí)，f(x2x3，在定義域R上是單調(diào)遞增的，故在(，4上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，二次函數(shù)f(x的對(duì)稱軸為直線x，因?yàn)閒(x在(，4上單調(diào)遞增，所以a<0，且4，解得0>a.綜合得a0.4 設(shè)f(x為偶函數(shù)，對(duì)于任意的x>0的數(shù)，都有f(2x2f(2x，已知f(14，那么f(3等于 (A2 B2 C8 D8答案D解析f(x為偶函數(shù)，f(1f(14，f(3f(3，當(dāng)x1時(shí)，f(212·f(21，f(32×48，f(38.5 若偶函數(shù)

18、f(x在(，0內(nèi)單調(diào)遞減，則不等式f(1<f(lg x的解集是 (A(0,10 B.C. D.(10，答案D解析因?yàn)閒(x為偶函數(shù)，所以f(xf(|x|，因?yàn)閒(x在(，0內(nèi)單調(diào)遞減，所以f(x在0，上單調(diào)遞增由|lg x|>1，即lg x>1或lg x<1，解得x>10或0<x<.6 已知定義在R上的函數(shù)yf(x滿足以下三個(gè)條件：對(duì)于任意的xR，都有f(x4f(x；對(duì)于任意的x1，x2R，且0x1x22，都有f(x1f(x2；函數(shù)yf(x2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱則下列結(jié)論中正確的是 (Af(4.5f(7f(6.5Bf(7f(4.5f(6.5Cf(7f(6

19、.5f(4.5Df(4.5f(6.5f(7答案A解析由已知得f(x是以4為周期且關(guān)于直線x2對(duì)稱的函數(shù)f(4.5f(4f(，f(7f(43f(3，f(6.5f(4f(又f(x在0,2上為增函數(shù)所以作出其在0,4上的圖象知f(4.5f(7f(6.5專題限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練一、選擇題1 已知函數(shù)f(xlg(1x的定義域?yàn)镸，函數(shù)y的定義域?yàn)镹，則MN (Ax|x<1且x0 Bx|x1且x0Cx|x>1 Dx|x1答案A解析Mx|x<1，Nx|x0，MNx|x<1且x0，故選A.2 (2012·廣東下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，上為增函數(shù)的是 (Ayln(x2 ByCyx Dyx

20、答案A解析對(duì)于A選項(xiàng)，可看成由函數(shù)yln u，ux2復(fù)合而成，由于兩函數(shù)都為增函數(shù)，單調(diào)性相同，所以函數(shù)yln(x2在(2，上為增函數(shù)B、C均為減函數(shù)對(duì)于D選項(xiàng)，yx在(，1，(1，上為增函數(shù)3 下列函數(shù)中既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是 (Ay2|x| Bylg(xCy2x2x Dylg 答案D解析根據(jù)奇偶性定義知，A、C為偶函數(shù)，B為奇函數(shù)，D的定義域?yàn)閤|x>1不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選D.4 (2013·湖南函數(shù)f(x2ln x的圖象與函數(shù)g(xx24x5的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 (A3 B2 C1 D0答案B解析畫出兩個(gè)函數(shù)f(x，g(x的圖象，由圖知f(x，g(x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為

21、2.5 設(shè)函數(shù)f(x則滿足f(x2的x的取值范圍是 (A1,2 B0,2C1， D0，答案D解析當(dāng)x1時(shí)，21x2，解得x0，所以0x1；當(dāng)x>1時(shí)，1log2x2，解得x，所以x>1.綜上可知x0.6 已知函數(shù)f(x是(，上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是(A(0,3 B(0,3C(0,2 D(0,2答案D解析由題意，得解得0<a2.7 方程log(a2x2x有解，則a的最小值為 (A2 B1 C. D.答案B解析方程log(a2x2x等價(jià)于2xa2x，即a2x2x2x×21，當(dāng)且僅當(dāng)2x×，即2x，x1時(shí)取等號(hào)，所以選B.8 定義在(，上的偶函數(shù)f(x滿足

22、f(x1f(x，且f(x在1,0上是增函數(shù)，下面五個(gè)關(guān)于f(x的命題中：f(x是周期函數(shù)；f(x的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱；f(x在0,1上是增函數(shù)；f(x在1,2上為減函數(shù)；f(2f(0，正確命題的個(gè)數(shù)是 (A1 B2 C3 D4答案C解析由于f(x1f(x，所以f(x2f(x1f(x，函數(shù)f(x是以2為最小正周期的周期函數(shù)，故命題正確；由于f(2xf(xf(x，故函數(shù)f(x的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，命題正確；偶函數(shù)在定義域上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反，故命題不正確；根據(jù)周期性，函數(shù)在1,2上的單調(diào)性與1,0上的單調(diào)性相同，故命題不正確；根據(jù)周期性，命題正確故選C.二、填空題9 (2012·江蘇函數(shù)f(x的