2016年高考四川卷理數(shù)試題(解析版)

1、2016四川省高考理科數(shù)學(xué)試題解析本試題卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）. 第卷1至2頁，第卷3至4頁，共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘. 考生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試題卷、草稿上答題無效. 考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.第卷（選擇題 共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.1. 設(shè)集合，Z為整數(shù)集，則集合中元素的個數(shù)是（ ）A3B4C5D6【答案】C【解析】由題可知， ，則中元素的個數(shù)為5 選C2. 設(shè)為虛數(shù)單位，則的展開式中含的項為（ ）AB C D【答案】A【解析】由題可知， 含

2、的項為 選A3. 為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點（ ）A向左平行移動個單位長度B向右平行移動個單位長度C向左平行移動個單位長度D向右平行移動個單位長度【答案】D【解析】由題可知， ，則只需把的圖象向右平移個單位   選D4. 用數(shù)字1，2，3，4，5構(gòu)成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（ ）A24B48C60D72【答案】D【解析】由題可知，五位數(shù)要為奇數(shù)，則個位數(shù)只能是1,3,5；分為兩步：先從1,3,5三個數(shù)中選一個作為個位數(shù)有，再將剩下的4個數(shù)字排列得到，則滿足條件的五位數(shù)有.選D 5. 某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司201

3、5年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）A2018年B2019年C2020年D2021年【答案】B【解析】設(shè)年后該公司全年投入的研發(fā)資金為200萬元 由題可知， 解得，因資金需超過200萬，則取4，即2019年選B6. 秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的數(shù)書九章中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法，如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例。若輸入n，x的值分別為3，2. 則輸出v的值為（ ）A9B18C20D3

4、5【答案】B【解析】初始值，程序運行過程如下表所示 跳出循環(huán)，輸出 選B7. 設(shè)p：實數(shù)x，y滿足，q：實數(shù)x，y滿足 則p是q的（ ）A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】如圖， 表示圓心為，半徑為的圓內(nèi)區(qū)域所有點（包括邊界）； 表示內(nèi)部區(qū)域所有點（包括邊界）.實數(shù)滿足則必然滿足，反之不成立. 則是的必要不充分條件.故選A8. 設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的拋物線上任意一點，M是線段PF上的點，且，則直線OM斜率的最大值為（ ）A B C D1【答案】C【解析】如圖，由題可知，設(shè)點坐標(biāo)為顯然，當(dāng)時，；時，要求最大值，不妨設(shè).則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?

5、故選C9. 設(shè)直線，分別是函數(shù)圖象上點，處的切線，與垂直相交于點P，且，分別與y軸相交于點A，B，則的面積的取值范圍是（ ）A B C D【答案】A【解析】由題設(shè)知：不妨設(shè)點的坐標(biāo)分別為：，其中， 則由于分別是點處的切線，而，得：的斜率為，的斜率為；又與垂直，且，可得：， 我們寫出與的方程分別為： ： 此時點的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，由此可得：、兩式聯(lián)立可解得交點的橫坐標(biāo)為的面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立 而，所以故選A.10. 在平面內(nèi)，定點A，B，C，D滿足，動點P，M滿足，則的最大值是（ ）A B C D 【答案】B【解析】由題意，所以到三點的距離相等，是的外心； 所以，同理可得，從而是的垂心

6、；的外心與垂心重合，因此是正三角形，且是的中心；所以正三角形的邊長為；我們以為原點建立直角坐標(biāo)系，三點坐標(biāo)分別為 。由，設(shè)點的坐標(biāo)為，其中，而，即是的中點，可以寫出的坐標(biāo)為則當(dāng)時，取得最大值。故選B.第卷 （非選擇題 共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分11. _【答案】【解析】由題可知，（二倍角公式）12. 同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是_【答案】【解析】由題可知，在一次試驗中，試驗成功（即至少有一枚硬幣正面向上）的概率為 2次獨立試驗成功次數(shù)滿足二項分布，則13. 已知三棱錐的四個面都是腰長

7、為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是_【答案】【解析】由題可知， 三棱錐每個面都是腰為2的等腰三角形，由正視圖可得如下俯視圖，且三棱錐高為，則面積14. 已知函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時，則_.【答案】【解析】首先，是周期為2的函數(shù)，所以； 而是奇函數(shù)，所以， 所以：，即 又，時，故，從而15. 在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)不是原點時，定義的“伴隨點”為；當(dāng)是原點時，定義的“伴隨點”為它自身，平面曲線上所有點的“伴隨點”所構(gòu)成的曲線定義為曲線的“伴隨曲線”，現(xiàn)有下列命題： 若點的“伴隨點”是點，則點的“伴隨點”是點A； 單位圓的“伴隨曲線”是它自身； 若曲線關(guān)于

8、軸對稱，則其“伴隨曲線”關(guān)于軸對稱； 一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.其中的真命題是_（寫出所有真命題的序號）.【答案】【解析】 設(shè)的坐標(biāo)，伴隨點，的伴隨點橫坐標(biāo)為，同理可得縱坐標(biāo)為故. 錯誤； 設(shè)單位圓上的點的坐標(biāo)為，則的伴隨點的坐標(biāo)為，所以也在單位圓上，即：點是點延順時針方向旋轉(zhuǎn). 正確； 設(shè)曲線上點的坐標(biāo)，其關(guān)于軸對稱的點也在曲線上所以點的伴隨點，點的伴隨點，與關(guān)于軸對稱。正確； 反例：例如這條直線，則，而這三個點的伴隨點分別是，而這三個點不在同一直線上下面給出嚴(yán)格證明：設(shè)點在直線，點的伴隨點為，則，解得.帶入直線方程可知：，化簡得：，當(dāng)時，是一個常數(shù)，的軌跡是一條直線；當(dāng)時，不是一個

9、常數(shù)，的軌跡不是一條直線.所以，直線“伴隨曲線”不一定是一條直線. 錯誤.三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或步驟16. （本小題滿分12分）我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸），一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費. 為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（I）求直方圖中a的值；（II）設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，

10、并說明理由；（III）若該市政府希望使85%的居民每月均用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x（噸），估計x的值，并說明理由.【解析】（I）由概率統(tǒng)計相關(guān)知識，各組頻率之和的值為1 頻率=(頻率/組距)*組距 得（II）由圖，不低于3噸人數(shù)所占百分比為 全市月均用水量不低于3噸的人數(shù)為：(萬)（III）由圖可知，月均用水量小于2.5噸的居民人數(shù)所占百分比為：即的居民月均用水量小于2.5噸,同理，88%的居民月均用水量小于3噸，故假設(shè)月均用水量平均分布，則（噸）. 注：本次估計默認(rèn)組間是平均分布，與實際可能會產(chǎn)生一定誤差。17. （本小題滿分12分）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且.（I）證明：；（I

11、I）若，求.【解析】（I）證明：由正弦定理可知原式可以化解為和為三角形內(nèi)角 , 則，兩邊同時乘以，可得由和角公式可知，原式得證。（II）由題,根據(jù)余弦定理可知， 為為三角形內(nèi)角， 則，即 由（I）可知， 18. （本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為.（I）在平面PAB內(nèi)找一點M，使得直線平面PBE，并說明理由；（II）若二面角的大小為，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.【解析】（I）延長，交直線于點， 為中點， ， ， ， 即 ， 四邊形為平行四邊形， ， ， ， 面， 面， ，面， 面 故在面上可找到一點使得面.（II）過作交于點，連結(jié)，過

12、作交于點， ，與所成角為， ， ，面，且，面，面，且，面，為所求與面所成的角，面，即.為二面角所成的平面角,由題意可得，而,四邊形是平行四邊形，四邊形是正方形， ， ， ， .19. （本小題滿分12分）已知數(shù)列的首項為1，為數(shù)列的前n項和，其中，.（I）若成等差數(shù)列，求的通項公式；（II）設(shè)雙曲線的離心率為，且，證明：.【解析】（I）由題-可知 當(dāng)時，-，兩式相減可得即從第二項開始為公比的等比數(shù)列，當(dāng)時，帶入可得，即為公比的等比數(shù)列根據(jù)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質(zhì)可得即，求解可得或由題可知，（II）證明：由雙曲線的性質(zhì)可知，由（I）可得，為首項為1，公比為的等比數(shù)列故，即為首項為1，公比為的等

13、比數(shù)列，通項公式為 原式得證.20. （本小題滿分13分）已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的3個頂點，直線與橢圓E有且只有一個公共點T.（I）求橢圓E的方程及點T的坐標(biāo)；（II）設(shè)O是坐標(biāo)原點，直線平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點A、B，且與直線l交于點P. 證明：存在常數(shù)，使得，并求的值.【解析】（I）設(shè)短軸一端點為，左，右焦點分別為， 則. 由題意，為直角三角形. 解得， . 代入可得 . 與橢圓只有一個交點，則，解得. .由，解得，則，所以的坐標(biāo)為。（II）設(shè)在上，由，平行. 得的參數(shù)方程為 代入橢圓得. . 整理可得 . 設(shè)兩根為， 則有. 而，.故有.由題意. ， 故存在這樣的.21. （本小題滿分14分